第七章定解問題

第七章定解問題第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.目標：建立描述物理過程的微分方程。2.操作：物理過程由物理量的變化描述→選取物理量，

物理量的微分表示它的變化；物理過程服從物理規(guī)則（牛頓定律，庫倫定律等）→建立微分方程。第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.均勻弦的微小橫振動變化二、幾種基本的方程第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月A.弦的橫振動B.無窮小的一段弦BC.受力分析和運動方程弦的原長現(xiàn)長弦長的變化產生回到原位置的張力第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月沿x-方向，不出現(xiàn)平移弦長質量密度B段的質量沿垂直于x-軸方向第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月小振動：第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波動方程。波速第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月D.受迫振動

在上式推導過程中，出現(xiàn)的力是弦內的張力，外力為零。在受到與弦垂直方向的周期力的作用時，弦運動為受迫振動。設單位長度上弦受力，則dx受力為。最后得受迫振動方程第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2.均勻桿的縱振動A.桿的彈性力學基本力學方程：胡克定律Y：楊氏模量，單位面積上的應力。桿中選L=dx長一段時刻t，x一端位移

u，x+dx一端位移u+du。桿的伸長第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.運動方程更長的dx，兩端的相對伸長和應力將不同，桿受力牛頓定律：即為波速第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月補充連續(xù)性方程連續(xù)分布的某種物理量，如介質：建立座標密度：單位容積中物理量的多少流強度：單位時間通過單位面積的該物理量（v為流速）單位時間沿x-方向凈流入量第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月單位時間凈流入量等于由密度增加的量二者相等得連續(xù)性方程表示物質的總量守恒第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.流體力學與聲學方程A.連續(xù)介質性質：當振動在液體和氣體中傳播時，液體和氣體就成為傳播振動的連續(xù)介質。在其中取一個小的立方體，可以定義介質在此的密度ρ，速度v和壓強P。振動引起密度的疏密變化。

第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在靜止的介質中，介質的速度為零，并且有壓強和密度。當振動出現(xiàn)時，介質中各處有介質的振動速度v，振動的傳播速度－聲速；顯然，v<<聲速，并且設密度的相對變化

s為B.拉普拉斯假定歐拉方程（流體動力學方程）連續(xù)性方程物態(tài)方程聲傳播為絕熱過程：過程方程第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.方程s,v小量,f=0第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月4.真空電磁波方程電磁學的麥克斯韋方程（微分形式）真空時：第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月5.擴散方程A.擴散現(xiàn)象系統(tǒng)的濃度u(x)不均勻時，將出現(xiàn)物質從高濃度處到低濃度處的轉移，叫擴散。第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.菲克定律濃度梯度：擴散流強度：單位時間通過單位面積的物質的量C.擴散方程D均勻三維連續(xù)性方程帶入菲克定律第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月建立微分方程的兩類方法1.直接從方程出發(fā)麥克斯韋方程菲克定律+連續(xù)性方程=擴散方程歐拉方程（流體動力學方程）連續(xù)性方程絕熱過程第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻桿的縱振動2.從分析物理對象出發(fā)均勻弦的微小橫振動第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月6.熱傳導方程熱傳導:熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉移。熱力學問題。熱力學第一定律：熱力學過程交換的熱量熱力學過程外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的內能熱傳導過程dW=0，系統(tǒng)傳導的熱量就是內能的改變。系統(tǒng)的溫度熱流強度：單位時間通過單位面積的熱量。第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月能量守恒，滿足連續(xù)性方程熱流強度：單位時間通過單位面積的熱量。傅立葉定律：熱傳導系數(shù)建立熱傳導與擴散間的對比濃度－溫度擴散流強度－熱流強度斐克定律－傅立葉定律＋連續(xù)性方程＝熱傳導方程一維：第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三維它們形式完全相同，通稱為擴散方程。7.穩(wěn)定分布擴散方程的解一般含時不含時的解滿足方程此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足拉普拉斯方程。第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月8.真空靜電場高斯定理真空還有又最后：9.薛定諤方程擴散類方程第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2定解條件一、常微分方程定解問題回顧對于某個未知函數(shù)，它的微分方程是它的導數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個代數(shù)方程，得導數(shù)。由積分，從導數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。通常通過未知函數(shù)在自變量的一個特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分常數(shù)。從而定解。積分一次，出現(xiàn)一個積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學物理方程的定解問題1.初始條件類似于常微分方程定解過程的初值。偏微分方程，對每個自變量的每次積分都出現(xiàn)一個積分常數(shù)。復雜！t＝0:初始條件。x,y,z＝0，l:邊界條件自變量特定值：初始“位移”初始“速度”T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程還需要初始速度。第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月注：和是空間座標的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！例如t=0:特定的時間，變化的空間。第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2.邊界條件以一維情況為例特定的空間，變化的時間。邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導數(shù)兩項。不同的邊界條件決定了這兩項的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。A.第一類邊界條件只與函數(shù)在空間特定位置的值有關，與其導數(shù)無關。如：a.兩端固定的弦振動和如上圖第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月b.細桿熱傳導或隨時間變化的溫度恒溫c.擴散恒定濃度，或隨時間變化的濃度。B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定。a.細桿的縱振動。當端點“自由”，即無應力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：b.細桿熱傳導。端點絕熱，熱流強度為零：由傅立葉定律：第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.第三類邊界條件位移和速度的組合a.細桿熱傳導。端點“自由”冷卻。牛頓冷卻定律：T為環(huán)境溫度。根據(jù)傅立葉定律，在x=l處：負x方向正x方向在x=0處第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月b.細桿縱振動。端點與固定點彈性連接。應力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點一般表達式：這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.銜接條件系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質急劇變化的點－躍變點。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細桿在x=0處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構成銜接條件。銜接條件更加依賴于具體的物理情況。橫向力作用于點。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。例又，橫向力應與張力平衡：這兩個等式就是銜接條件。第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月求解數(shù)學物理方程方法：行波法駐波法積分變換格林函數(shù)法第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4達朗貝爾公式定解問題（一）波動方程的達朗貝爾公式

將和看作如同數(shù)－算子，可以加減乘除：A.坐標變換行波法因式分解第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月當a=1沿x和t求導，變成沿對角線求導。變換：第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月即第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.通解對積分：積分常數(shù)依賴于

再積分：為兩個待定函數(shù)的和。第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月坐標變換：新、舊坐標時間同，新坐標的原點X=0在舊坐標中有坐標，在舊坐標中以速度d沿正向運動。f1(x+at)保持形狀不變，以速度d運動沿x軸反方向運動。意義函數(shù)f2(x-at)保持形狀不變，以速度d運動沿x軸正方向運動。第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.定解達朗貝爾公式

確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件。設初始條件第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月行波一半一半第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例解：設第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月從達朗貝爾公式可以看出，波動方程度解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產生出超出初始條件的，額外的形式來。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程度解時的重要性。第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）端點的反射一個端點固定設初始條件為邊界條件達朗貝爾公式是無限長弦的公式。第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月上式中后兩項無意義。必須將u(x,t)延拓到作奇延拓：x第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱點延拓第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月半波損失第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一個端點自由設初始條件為邊界條件應該是偶延拓第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月偶延拓第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月無半波損失第57頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）躍變點的反射

無限長桿，x<0，x>0兩部分的楊氏模量和密度分別為。x=0是躍變點。設有行波