第七章窄帶隨機(jī)過程

第七章窄帶隨機(jī)過程第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月目錄窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)希爾伯特變換窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì)窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page3

一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，若它的功率譜密度在頻率軸的某個(gè)區(qū)域之外為零，或者說，它的功率譜帶寬為有限值，那么，便稱它為限帶隨機(jī)過程，簡稱限帶過程。在限帶過程中，根據(jù)其功率譜分布區(qū)域的不同，分為低通過程和帶通過程。若平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)其功率譜密度具有以下特點(diǎn)則稱X(t)為低通過程。第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page4若X(t)的功率譜密度滿足則稱X(t)為帶通過程。第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page5若在上式中，則稱X(t)為高頻窄帶隨機(jī)過程，簡稱窄帶隨機(jī)過程。第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page6一、正弦型信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法簡單的正弦型信號(hào)可以表示為很明顯，s(t)是t的實(shí)值函數(shù)，稱s(t)為實(shí)信號(hào)。第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page7對(duì)于式的正弦信號(hào)來說，一種最常用的復(fù)數(shù)表示形式是復(fù)指數(shù)函數(shù)。定義復(fù)指數(shù)函數(shù)為或式中稱之為復(fù)包絡(luò)。比較以上兩式可得，第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page8

將復(fù)指數(shù)函數(shù)展開，可得式中，s(t)是原來的實(shí)信號(hào)，是另一個(gè)實(shí)信號(hào)。第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page9設(shè)s(t)是任意實(shí)信號(hào)，具有頻譜，根據(jù)前面的討論，任何實(shí)信號(hào)都具有雙邊帶的頻譜。為了簡化分析，我們想尋找一種復(fù)信號(hào)，它同時(shí)滿足式中，是該復(fù)信號(hào)的頻譜。二、任意信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page10利用令則第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page11

現(xiàn)在假定我們已經(jīng)找到一個(gè)復(fù)信號(hào)，它的頻譜滿足又從而第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page12解析信號(hào)進(jìn)一步得出上式給出了解析信號(hào)的虛部和它的實(shí)部（即原來的實(shí)信號(hào)）s(t)之間的關(guān)系式，把它稱為希爾伯特（Hilbert）變換，記作第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page13歸納以上的討論，可以得出幾點(diǎn)結(jié)論：（1）對(duì)應(yīng)于任何實(shí)信號(hào)s(t)，都可以找到一個(gè)同時(shí)兩個(gè)條件的復(fù)信號(hào)。（2）可將此復(fù)信號(hào)表示成解析表達(dá)式其虛部是s(t)的希爾伯特變換，即（3）式給出的是一種非常重要的復(fù)信號(hào)的表示形式。通常把它稱為s(t)的解析信號(hào)或s(t)的預(yù)包絡(luò)。第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page14三、高頻窄帶信號(hào)的復(fù)數(shù)表示方法所謂高頻窄帶信號(hào)（或簡稱窄帶信號(hào)）是指信號(hào)的頻譜限制在載波頻率附近的一個(gè)頻率范圍內(nèi)，而且此頻帶范圍遠(yuǎn)小于載波頻率。常將窄帶信號(hào)表示為展開可以得到其中由于、都是低頻限帶信號(hào)?？梢?，和也都是低頻限帶信號(hào)，且與彼此正交。第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page151.窄帶信號(hào)的復(fù)解析表示

若s(t)為窄帶信號(hào)，其振幅頻譜如下圖所示，定義窄帶信號(hào)的解析信號(hào)為式中，。從而的振幅頻譜如下頁圖所示。窄帶信號(hào)頻譜舉例第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page16解析信號(hào)的振幅頻譜第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page172.窄帶信號(hào)的復(fù)指數(shù)表示定義s(t)的復(fù)指數(shù)函數(shù)為

式中

通常，將稱為的復(fù)包絡(luò)；將稱為復(fù)載頻。可見，復(fù)包絡(luò)也是低頻限帶信號(hào)。即，復(fù)指數(shù)函數(shù)的實(shí)部就是窄帶信號(hào)s(t)。第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page18下面再來求的頻譜。

對(duì)下式兩端作傅里葉變換，并利用傅里葉變換的相乘性質(zhì)及可得可見，具有單邊帶頻譜。第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page19下面我們?cè)賮砬髲?fù)指數(shù)函數(shù)的頻譜與原來實(shí)信號(hào)s(t)的頻譜之間的關(guān)系:

或上式說明，用復(fù)指數(shù)信號(hào)表示實(shí)窄帶信號(hào)s(t)時(shí)，雖然它的實(shí)部仍為原來的實(shí)信號(hào)s(t)，但是，它的頻譜不滿足即。這是復(fù)指數(shù)信號(hào)與解析信號(hào)的差別。第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)過程的一般概念與預(yù)備知識(shí)Page20下圖畫出了窄帶信號(hào)條件下，、和之間的關(guān)系。第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page21

定義：在區(qū)間內(nèi)給定實(shí)值函數(shù)x(t)，它的希爾伯特變換記作（或者記作）用代入上式，進(jìn)行變量置換，可得到上式的等效形式為

第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page22下面給出希爾伯特變換的兩個(gè)重要性質(zhì)：（1）希爾伯特變換相當(dāng)于一個(gè)正交濾波器。

希爾伯特變換等效為90°移相的線性濾波器第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page23

推廣：若是低頻帶限的平穩(wěn)信號(hào)（功率譜的最高非零頻率限制在以下），則有：并且有：H[奇函數(shù)]=偶函數(shù)，H[偶函數(shù)]=奇函數(shù)第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page24（2）希爾伯特逆變換為第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換希爾伯特變換的性質(zhì)（1）兩次變換等于反相第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page27（4）對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，它的希爾伯特變換也是平穩(wěn)的，并且有：證明：第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page29（5）希爾伯特變換是正交變換。當(dāng)輸入是平穩(wěn)信號(hào)時(shí)，有：這表明：與功率相等且彼此正交。證明：由性質(zhì)（3）可得：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以是奇函數(shù)，即希爾伯特變換前、后信號(hào)的功率相等。于是可得：因此，在同一時(shí)刻上與彼此正交。第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page30第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page31第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page32第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page33第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page34第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)Page35分析條件X(t)是任意的寬平穩(wěn)、數(shù)學(xué)期望為零的實(shí)窄帶隨機(jī)過程。已知窄帶過程的包絡(luò)和相位相對(duì)于ω0都是慢變化過程，則很明顯Ac(t),As(t)相對(duì)于ω0為慢變部分。第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)Page36性質(zhì)1：X(t)是均值為0的平穩(wěn)過程，則Ac(t),As(t)也是均值為0的平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)性質(zhì)2：自相關(guān)函數(shù)相同：平均功率相同：方差相同：性質(zhì)3：功率譜密度相同

第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)Page37第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)Page38性質(zhì)4：互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)為奇函數(shù)：在同一時(shí)刻兩者正交：性質(zhì)5：互功率譜密度

第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page39窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布假定窄帶高斯過程X(t)的均值為零,方差為σ2寬帶噪聲N(t)高頻窄帶系統(tǒng)包絡(luò)檢波相位檢波窄帶高斯過程X(t)平方律檢波第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page40窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布若X(t)為高斯過程，則Ac(t),As(t)也應(yīng)為高斯過程，并且都具有零均值和方差σ2

由于Ac(t),As(t)在同一時(shí)刻是互不相關(guān)的，且二者都是高斯過程，所以，它們?cè)谕粫r(shí)刻也是互相獨(dú)立的。

第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page41窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布又由于A(t)和Φ(t)的聯(lián)合概率密度為即可得第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page42窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布包絡(luò)的一維概率密度為瑞利分布相位的一維概率密度為均勻分布在同一時(shí)刻窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page43窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布包絡(luò)和相位的二維概率分布求包絡(luò)和相位的二維概率密度的步驟如下：先求出四維概率密度

然后轉(zhuǎn)換為

最后再推導(dǎo)出,

第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page44窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布兩過程獨(dú)立四維的聯(lián)合分布可以用二維分布來表示：

（1）求第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page45窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page46窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布（2）求第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page47窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布其它第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page48窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布（3）求的二維分布第一類零階修正貝塞爾（Bessel）函數(shù)包絡(luò)的二維分布第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page49窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布相位的二維分布窄帶隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的二維分布彼此是不獨(dú)立的第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page50余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布隨機(jī)余弦信號(hào)為已知常數(shù)，在上均勻分布。均值為零，方差為的平穩(wěn)隨機(jī)過程。關(guān)于偶對(duì)稱。（均為高斯分布）高斯窄帶噪聲理解分析過程第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page51余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布合成信號(hào)合成信號(hào)的包絡(luò)合成信號(hào)的相位第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page52窄帶高斯隨機(jī)過程的包絡(luò)和相位的概率分布（1）求在給定條件下的方差二維條件概率密度均值高斯過程第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page53余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布（2）求在給定條件下的由于：包絡(luò)與相位的二維條件概率密度第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page54余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布（3）求包絡(luò)的一維概率密度包絡(luò)的一維概率密度n=2的萊斯分布a=0時(shí)，變?yōu)槿鹄植迹辞懊嬲瓗н^程的包絡(luò)分布第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page55余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布當(dāng)r<<1時(shí)，（小信噪比時(shí)）（瑞利分布）當(dāng)r>>1時(shí)，（大信噪比時(shí)）討論：第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page56余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布(高斯分布)包絡(luò)的概率密度函數(shù)第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page57余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布（4）求相位的一維概率密度當(dāng)r0時(shí)，（小信噪比時(shí)）（均勻分布）概率積分函數(shù)第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page58余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布其均值為

，方差為高斯分布當(dāng)r→∞時(shí)，（無噪聲）當(dāng)r>>1時(shí)，（大信噪比時(shí)）第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page59余弦信號(hào)與窄帶高斯過程之和的概率分布相位的概率密度函數(shù)信噪比r極小時(shí)，接近均勻分布信噪比r較大時(shí)，在θ附近接近高斯分布信噪比趨于r→∞時(shí)，趨于在上的一個(gè)沖激相位的一維概率密度總結(jié)第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page60窄帶高斯過程包絡(luò)平方的概率分布若窄帶高斯過程通過平方律檢波器，其輸出是包絡(luò)的平方，即為窄帶高斯過程的包絡(luò)服從瑞利分布，即已知，則Ut的概率密度為窄帶高斯過程的包絡(luò)平方為指數(shù)分布窄帶高斯噪聲包絡(luò)平方的分布第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page61窄帶高斯過程包絡(luò)平方的概率分布包絡(luò)平方因?yàn)榘j(luò)服從萊斯分布包絡(luò)平方的概率密度余弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲包絡(luò)平方的概率分布第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page62窄帶高斯過程包絡(luò)平方的概率分布

分布

定義：若n個(gè)互相獨(dú)立的高斯變量X1,X2,…,Xn的數(shù)學(xué)期望都為零，方差為

，則的分布是具有n個(gè)自由度的中心

分布（1）中心

分布

第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page63窄帶高斯過程包絡(luò)平方的概率分布概率密度為

性質(zhì)：兩個(gè)互相獨(dú)立的具有分布的隨機(jī)變量之和仍為分布，若它們的自由度分別為n1和n2，其和的自由度為n=n1+n2。