相平面法例題解析相平面法例題超詳細(xì)步驟解析

相平面法例題解析一、線性系統(tǒng)的相平面法例題(一般用于選擇填空)：二階線性系統(tǒng)|x+二階線性系統(tǒng)|x+23x+e2x二o|相軌跡奇點(diǎn)類型、穩(wěn)定性與根的分布關(guān)系例已知線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程e+ae+be=0，分別給出系統(tǒng)在相平面中具有(a)穩(wěn)定焦點(diǎn)和(b)鞍點(diǎn)時(shí)，參數(shù)a和b的取值范圍。解：由方程求出兩根為解：由方程求出兩根為si,2一a土a2一4b2(a)穩(wěn)定焦點(diǎn)0<匚<1，系統(tǒng)具有一對(duì)負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根，a>0、a2<4b且b>0；(b)鞍點(diǎn)，系統(tǒng)具有符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)極點(diǎn)b<0。例已知某二階線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為e+2e+4e=0，則系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型和當(dāng)輸入r(t)=5-1(t)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分別為―B 。A.穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，g；B?穩(wěn)定的焦點(diǎn)，0；C.穩(wěn)定的焦點(diǎn)，g；D.穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，0。例：設(shè)線性系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)(即輸出初始值為0),試?yán)孟嗥矫娣▽?duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行分析。其中，r(t)?e(t)Ks(Ts+1)-r(t)=R?1(t),R為常數(shù):r(t)=R-1,R為常數(shù):c(t)解：因分析系統(tǒng)穩(wěn)定性故從閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)出發(fā)，由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)= K ，則C(s)[Ts2+S+K]=KR(s)。于是描述該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：R(s)Ts2+s+KTc+c+Kc=Kr繪制e-e相平面相軌跡【注】把相變量變成誤差，分析最終奇點(diǎn)位置表示穩(wěn)態(tài)誤差情況。當(dāng)然c-c也行。但是若沒(méi)要求，一般建議e-e相平面。因?yàn)閑=r一c，即c=r一e，所以，Te+e+Ke=Tr+r (1)

1）r（t）=R?l（t）,R為常數(shù)：r=r=0，于是得出關(guān)于誤差e的運(yùn)動(dòng)方程:Te+e+Ke=0,注：如果線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，可以不用解析法求相軌跡，而直接根據(jù)此時(shí)特征方程根的分布情況，分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡。根據(jù)1-4kT的正負(fù)分為a)0<1，a)0<1，s1,2土嚴(yán)；b）加1-1±J1-4kTs=1,2 2T。注：負(fù)的根。奇（異）點(diǎn)：令e=0且e=0，代入運(yùn)動(dòng)方程Te+e+Ke=0，則e=0，故奇點(diǎn)為（0,0）。—————————————————以下為說(shuō)明————————————————【注：奇（異）點(diǎn)求法是令e=0且e=0，代入運(yùn)動(dòng)方程。但是，要注意：只有當(dāng)線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，可直接根據(jù)此時(shí)特征方程根的分布情況，分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡，即此時(shí)必須求奇點(diǎn)。關(guān)于這一點(diǎn)請(qǐng)看下面【特別對(duì)比；若線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程非典型，此時(shí)可用解析法求相軌跡，而不需求奇點(diǎn)。這一結(jié)論也適用于非線性系統(tǒng)相平面分析?！咎貏e對(duì)比】實(shí)際上，對(duì)于上面的運(yùn)動(dòng)方程Te+e+Ke=0我們直接根據(jù)此時(shí)特征方程根的分布情況，分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡，這樣很簡(jiǎn)單。但是，如果你想- --e一KeTOC\o"1-5"\h\zdee 丁用解析法求相軌跡也可以。根據(jù)斜率方程〒=-，則分離變量并積分得dee eJe（-e一Ke）de=TJeede

R 0本來(lái)可以求出e-e之間的相軌跡滿足的方程，但是這里K，T不知為何值，因此即使得到e-e之間的相軌跡方程，也還是不會(huì)畫圖。【特別對(duì)比】—————————————以上為說(shuō)明————————————————————初始值：e(0)=r(0)-c(0)=R?1(t)-0=R初始值：e(0)=r(0)-c(0)=0-0=0因此，在e-e平面作相軌跡。如圖可見(jiàn)，系統(tǒng)穩(wěn)定（當(dāng)0<1時(shí)奇（異）點(diǎn)（0,0）為穩(wěn)定的焦點(diǎn)，當(dāng)C>1時(shí)奇（異）點(diǎn)為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)）；當(dāng)r（t）為階躍信號(hào)時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0。r=0。代入r=0。代入（1）式,2)r(t)=R?t,R為常數(shù)：當(dāng)t>0，r=R，Te+e+Ke=R（注意：不是前面的典型二階系統(tǒng)形式了）R R所以，設(shè)x=e一k（e=x+k）。貝uTx+x+Kx=0（注，可按照上面的畫圖了）。奇點(diǎn)仍為（0,0）。根據(jù)1-4kT的正負(fù)分為

2T2Ta)0<匚<1,s=T土j24^；b)匚>1。s 遷。注：負(fù)的根。2T2TTOC\o"1-5"\h\z1,2 2T 1,2 5R R Rx(0)=e(0)-—=r(0)-c(0)-—=—— R初始值： K KK，即(-—,R)。如圖。x(0)=e(0)=r(0)-c(0)=R KR同理可見(jiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定。但是，要分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，需要e=x+繪制e-e平面的KR相軌跡（只要坐標(biāo)平移把X-x的奇點(diǎn)移到（—,0）即可）。即在e-e平面系統(tǒng)的奇點(diǎn)為KR R（,0）。由圖可見(jiàn)，系統(tǒng)在斜坡輸入信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為〒。?K K總結(jié)：相平面法分析時(shí)關(guān)鍵先求二階線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及初始值;線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況：線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸入信號(hào)的形式。二、非線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般填空或計(jì)算）：要求：1?正確求出非線性系統(tǒng)在每個(gè)線性區(qū)的相軌跡方程，也就是e-e（或c-c）之間的關(guān)系方程：會(huì)畫相軌跡（模型中是給具體數(shù)的）?！P(guān)鍵要確定開(kāi)關(guān)線方程。探※※如果發(fā)生自持振蕩，會(huì)計(jì)算振幅和周期?！咀?非線性系統(tǒng)的相平面法一般應(yīng)：1） 按照信號(hào)流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線性部分形成不同分區(qū)。連在一起就形成了不同線性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，即含有c或者e的運(yùn)動(dòng)方程。2） 探※※根據(jù)不同線性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程的條件方程確定開(kāi)關(guān)線方程。開(kāi)關(guān)線方程確定很關(guān)鍵。3） 探※※根據(jù)不同線性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去t法）不同線性分區(qū)對(duì)應(yīng)的相軌跡方程，即c-c和e-e之間關(guān)系；4） ※根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及自持振蕩的周期和振幅等。特別指出：如果非線性系統(tǒng)的某個(gè)線性分區(qū)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程同典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，也可以不用解析法，而根據(jù)此時(shí)特征方程根的分布情況，直接分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡。例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)。

問(wèn)題1.問(wèn)題1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=(t)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。問(wèn)題2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：?jiǎn)栴}1：1)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，死區(qū)特性的表達(dá)式：'x=0,Ie1<2<x=e-2,e>2x=e+2,e<-2線性部分：孚)=丄，則運(yùn)動(dòng)方程為：c=xX(s)s2繪制e-e平面相軌跡圖。因?yàn)閑=r-c，c=r-e，c=r-e，c=r-e。代入貝TOC\o"1-5"\h\ze=-x+r (1)- 「e=0, -|e1<2--1當(dāng)t>0，r=0，r=0。代入，則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程<e=2-e,e>2 IIe=-e-2,e<-2 III由于非線性特性有3個(gè)分區(qū)，相平面e-e分為3個(gè)線性區(qū)?！咀ⅰ慨?dāng)相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性；否則先代非線性特性后代輸入，則需要同時(shí)寫多個(gè)非線性的運(yùn)動(dòng)方程。系統(tǒng)開(kāi)關(guān)線：e=±2。由題意知初始條件e(0)=r(0)-c(0)=4，e(0)=r(0)-c(0)=0在II區(qū)，則從初始值出發(fā)繪制相軌跡：注：用解析法中的斜率法求：上課時(shí)按照此方法求相軌跡方程：【I區(qū)：e+【I區(qū)：e+e-2=0 (不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式,么辦-一用解析法求根軌跡)。八 dee2—e根據(jù)斜率方程== ，則分離變量并積分得deee不能直接根據(jù)根的分布繪制根軌跡。怎Je(2-e)de=Jeede則e-e之間的相軌跡方程為 (e-2)2+e2=4結(jié)論：II區(qū)相軌跡是以圓心(2,0)(也是該區(qū)的奇點(diǎn)，不用求)為中心的圓，與右開(kāi)關(guān)線e=2交于A(2,-2)I區(qū)：e=0，e=常數(shù)=-2，水平線，與左開(kāi)關(guān)線e=-2交于B(-2，-2)III區(qū)：e+e+.2=0(不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的形式---用解析法求根軌跡))dee-e-2根據(jù)斜率方程=-= ，則分離變量并積分得deeeJe-(2+e)de=Jeede(注意新的初始值B(-2，-2))-2 -2則e-e之間的相軌跡方程為 ??(e+2)2+e2=4

結(jié)論：III區(qū)相軌跡是以圓心（-2,0）（也是該區(qū)的奇點(diǎn)，不用求）為中心的圓。以此例推，出現(xiàn)了一個(gè)封閉橢圓，在非線性系統(tǒng)中稱為極限環(huán)。整圖可見(jiàn)，奇點(diǎn)（0，0）可看成中心點(diǎn)。問(wèn)題2：若相平面中出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)一一對(duì)應(yīng)著非線性的自持振蕩問(wèn)題：自持振蕩的周期怎么算呢幅值怎么算呢如圖：這是個(gè)橢圓，周期：T=4(t+1)CAADde，II區(qū)：t=J2de=J2de，CA4e4 4-(e-2)2這是因?yàn)椋篹2+(e-2)2=4fe=—Q4—(e—2)2,注意，e在圖中為負(fù)的。區(qū)：t=JQ—de=J0—de二1 .ad2e2 22）振幅一一代表此時(shí)的位移，也就是此時(shí)與橫軸的交點(diǎn)位置大小一一即C點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這是因?yàn)?，?duì)于整個(gè)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)是（0,0）。對(duì)于該點(diǎn)，最大的位移就是振幅，因此是C點(diǎn)的橫坐標(biāo)4。例3：具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析2006-B（15分）非線性控制系統(tǒng)如圖。問(wèn)題1：設(shè)r=0,繪制起點(diǎn)在c=2,c=0的c-c相軌跡圖。（10分）00解：?jiǎn)栴}1（10分）：解：?jiǎn)栴}1（10分）：1）非線性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式：x=2）線性部分：器=2所以描述線性部分的運(yùn)動(dòng)方程為:0,<2,、_2,1el<1e>1 ；e<-1c=0|e|<1c=x貝卜c=2e>1c=—2e<—1問(wèn)題2：計(jì)算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間。（5分）?r入e■1vx1c101s2繪制c-c平面相軌跡。e=r—c，令r=0,e=—c.c二0,Icl<1I則各區(qū)的運(yùn)動(dòng)方程\c=-2,c>1 II注意：條件方程也要改成c-c的。??c二2,c<-1IIIV??開(kāi)關(guān)線方程：c=土1由已知條件，起點(diǎn)c=2，c=0，(2,0)從II區(qū)開(kāi)始，下面繪制相軌跡：00【注】用解析法中消去參變量時(shí)間t的方法求相軌跡方程：上課時(shí)按照此方法求的，以下同。當(dāng)然如果用斜率法求相軌跡方程也可以。不過(guò)，這個(gè)例子c為常數(shù)，消去參變量時(shí)間t的方法更適合。??II區(qū)：c=-2,積分得c=-2t+c=-2t；再積分得c=-t2+ct+c=-t2+2；000上兩式聯(lián)立消去中間變量，則c=-0.25c2+0.25c2+c=-0.25c2+2(即00c2=-4(c-2)),可見(jiàn)相軌跡為開(kāi)口向左的拋物線，.且在右開(kāi)關(guān)線c=1處的交點(diǎn)為c=1,由1=-0.25c2+2，得c=-2，故交點(diǎn)為(1,-2)。?0101I區(qū)：c=0，積分得c=c=-2;再積分得c=ct+c=-2t+101-0101?可見(jiàn)，相軌跡為平行橫軸的直線(因?yàn)榭v坐標(biāo)不變-2,而橫坐標(biāo)雖時(shí)間變化);?????且在左開(kāi)關(guān)線處的交點(diǎn)為c=-1,c=-2-—(-1,-2)0202III區(qū)：c=2積分得c=2t+c=2t-2；再積分得c=12+ct+c=12-2t-1；02?0202兩式聯(lián)立消去中間變量，則c=0.25c2-0.25c2+c=0.25c2-2，(即0202°c2=4(c+2))可見(jiàn)相軌跡為開(kāi)口向右的拋物.線。且在開(kāi)關(guān)線處的交點(diǎn)(-1,2)。以此類推，求得如圖的極限環(huán)：圖中可見(jiàn)整個(gè)非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)(0,0)可看成中心點(diǎn)。注意:每個(gè)區(qū)的初始值是不同的。每個(gè)區(qū)的初始值的求法就是根據(jù)上一個(gè)區(qū)的區(qū)域根軌跡方程可以求出進(jìn)入下一區(qū)的初始值，以此一個(gè)個(gè)區(qū)經(jīng)過(guò)后，會(huì)變成一個(gè)連續(xù)的曲線軌跡——非線性系統(tǒng)的相軌跡。c=1cc=1m； id A11I ? I問(wèn)題2：運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為T=4(f11dc+f0-dc)=4(f1 1 dc+f0丄dc)=6(因?yàn)镮I區(qū)c=-0.25c2+2,c1c 2-J4(2-c) 1-2則=c，注意，c在圖中為負(fù)的。注意：并不是所有開(kāi)關(guān)線都是垂直于橫軸的，開(kāi)關(guān)線關(guān)鍵要看各個(gè)線性區(qū)域的邊界條件。例4:20XX年非線性控制系統(tǒng)如下圖所示。圖中r（t）=2?l（t）。1、 以c-c為相變量，寫出相軌跡分區(qū)運(yùn)動(dòng)方程（8分）；2、 若M二，畫出起始于c（0）=0、c（0）=0的相軌跡（4分）；3、 利用相軌跡計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量（3分）。2）線性部分： c=e-b （1）注意線性部分關(guān)鍵是產(chǎn)生c的運(yùn)動(dòng)方程，但是更關(guān)鍵的是，此運(yùn)動(dòng)方程必須能與非線性特性的輸出產(chǎn)生關(guān)系。3）繪制以c-c平面的相軌跡。因此，e=r-c代入式（1）中，則貝0c=r-c-b即運(yùn)動(dòng)方程為c-c+b+r=0因?yàn)閞（t）亍2?l（t），貝I」 c+b-c+2=0（2）式（2）中代入