概率統(tǒng)計(jì)講課稿第五章(第三,四節(jié))

1第三節(jié)常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差的定義及計(jì)算公式(一)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差EX=xP{X=x},iiiE[g(X)]=g(x)P{X=x},iiiDX=(xEX)2P{X=x},iiiDX=E(XEX)2=EX2(EX)2,E[g(X,Y)]=g(x,y)P{X=x,Y=y},ijijij(二)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,2Rn12n12n12n(三)數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)iiiii=1i=1,,D(XY)=E(XY)2[E(XY)]2XXX有12n12nD(nkX+b)=nk2DX。iiiii=1i=100XP1p3求EX,DX.DX=EX2(EX)2=pp2=p(1p)p。。求EX,DX.解方法一nkk=1=nkn!kk=1n1n1ki=0EX2=E[X(X1)+X]=E[X(X1)]+EXnkk=1kk=2nnpnCkpkqnknpnnpCipiqn2i+npn2n2k=2i=0DX=EX2(EX)24方法二XX.,X相互獨(dú)立,nii則X=nX~B(n,p),ii=1EX=p,DX=p(1p).ii,iii=1i=1i=1iii=1i=1.i=1k!k!求EX,DX.5 解 解k=0，入于是。概率密度求EX,DX.006000202222222解解的概率密度為 (2幾ww ( 7 ( ( ( (正態(tài)分布的性質(zhì)定理設(shè)X~N(山,(2),X,X相互獨(dú)立,N(kkb,k2(2+k2(2)112211221212定理設(shè)(X,X)~N(山,(2;山,(2;p),22(2)X,X相互獨(dú)立一p(2)X,X相互獨(dú)立一p=0;11221212定理設(shè)隨機(jī)變量12n12m82n+1n+2n+m例6P126習(xí)題31已知隨機(jī)變量X,X,X,XY=X+X2與Y=XX的聯(lián)合概率密112234度.度1212正態(tài)分布,ii12DY=DX+DX=22,112EY=EXEX==0,DY=D2(X)=X+DX=22,YNYNYN),12f(y)=e2(y)2,1Y122幾12Y22幾2f(y,y)f2(y).f(y)12Y1Y2219例7設(shè)X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,求解X的概率密度為3(2)12.例8設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX都求EX*,DX*.DXDX=E(XEX)=(EXEX)=0,=XEX1E(X*)2=E()2XEX1E(X*)2=E(DXDXDXDXDX*=E(X*)2(EX*)2=102=1.稱X*=XEX為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.量D(X+Y)=E[(X+Y)E(X+Y)]2EY=E(XEX)2+E(YEY)2+2E[(XEX).(YEY)]第四節(jié)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系.下面引進(jìn)的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)就能起這個(gè)作用.一.協(xié)方差則稱它為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差.YD(XY)=E[(XY)E(XY)]2定理若X與Y相互獨(dú)立,則E(XY)=EX.EY,二.相關(guān)系數(shù)定義7設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，協(xié)方差Cov(X,Y)則稱數(shù)值為隨機(jī)變量X與Y的相關(guān)則稱數(shù)值DX.DY系數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差,記作p,或簡(jiǎn)記作p,即XYp=p=.XYDX.DY則稱X與Y不相關(guān).定理若X與Y相互獨(dú)立,且DX>0,DY>0，Cov(X,Y)p=p==0,XYDX.DY即X與Y不相關(guān).但是由X與Y不相關(guān),推不出X與Y相互獨(dú)立.對(duì)于相關(guān)系數(shù)Cov(X,Y)p=p=,XYDX.DY則有(1)成立|p|1;(2)|p|=1的充要條件是由此可知,相關(guān)系數(shù)p刻劃了隨機(jī)變量X與Y之間線性關(guān)系的近似程度.當(dāng)|p|越接近于1時(shí),X與Y越接近線性關(guān)系.當(dāng)|p|=1時(shí),X與Y之間以概X即相當(dāng)于(XEX)與(YEY)線性相關(guān)。)另一個(gè)極端情形是當(dāng)p=0時(shí),X與Y之間不存在線性關(guān)系(即相當(dāng)于(XEX)與(YEY)不線性相關(guān)),故此時(shí)稱X與Y不相關(guān).0000，，(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零)幾幾000幾XYDX.DY從而X與Y不相關(guān);于是X的概率密度為Ywl它XY所以X與Y不獨(dú)立.解由題設(shè)條件知,X~N(,2),EX,DX2,1122122(12)2(12)222212122122(12)expy2x122(12)21 (裝)1 (裝)1122w1X2 裝1裝1裝112pXYDX.DY裝裝1122則X與Y相互獨(dú)立一p=0(X,Y),X與Y的獨(dú)立性與不相關(guān)性是等價(jià)的;對(duì)一般隨機(jī)變量(X,Y),X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān),反之不真;).且Z=X2Y+1,(1)當(dāng)p=0時(shí),求Z的概率密度f(wàn)(z)及D(XY);Z(2)當(dāng)p=時(shí),求E[(YX)Y]及2解(1)由題設(shè)條件及p=0知,X與Y相互獨(dú)立,所以Z=X2Y+1服從正態(tài)分布,于是得到EZ=E(X2Y+1)DZ=D(X2Y+1)Z172幾且E(XY)=EX.EY=0,于是D(XY)=E(XY)2[E(XY)]21(3)當(dāng)p=p=時(shí),XY2XY1=21=1,2故XXY-101-11818018011818但X與Y不獨(dú)立.證明由已知條件可以分別計(jì)算出X,Y的邊沿分布XP-138028138YY-101P382838則有EX=(1)3+02+13=0,888EX2=(1)2+02+128884DX=EX2(EX)2=3,4因Y與X的分布律相同,3故EY=EX=0,DY=DX=,4E(XY)=xyP{X=x,Y=y}ijijij1188=0,Cov(X,Y)p==0,XYDX.DY即得X與Y不相關(guān);P{X=0}.P{Y=0}=,因此X與Y不相互獨(dú)立.例5接連不斷地?cái)S一顆骰子,直到出現(xiàn)小于5點(diǎn)為止,以X表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù),以Y表示擲骰子的次數(shù).Y(3)證明X與Y相互獨(dú)立;(4)求EX,EY,E(XY).解(1)依題意知X的可能取值為1,2,3,4;Y的kki則P(B)=P(A)k6,ki6B+A+A+A+A=S,kkk2k3k4{X=i,Y=j}=“擲骰子j次,最后一次擲出i點(diǎn),前(j1)次擲出5點(diǎn)或6點(diǎn)”=B...BA,1j1ji(各次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相互獨(dú)立)P{X=i,Y=j}=()j1.=.(6