新教材人教A版數(shù)學(xué)課件4-4-3不同函數(shù)增長的差異

4.4.3不同函數(shù)增長的差異

1859年，當(dāng)澳大利亞的一個(gè)農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了.兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番.兔子每年能生產(chǎn)4到6次，一窩6-10只1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只，這個(gè)國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失.絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子.整個(gè)20世紀(jì)中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過.這種現(xiàn)象能否用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解釋呢？請進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí)！1.掌握常見增函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)并體會其增長快慢.(重點(diǎn)）2.結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義.3.學(xué)會分析具體的實(shí)際問題,能夠建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題.(難點(diǎn)）4.了解數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，通過實(shí)例比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)能增長的差異。

體會課堂探究的樂趣，汲取新知識的營養(yǎng)，讓我們一起吧！進(jìn)走課堂例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.請問，你會選擇哪種投資方案？方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述.設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述；思路分析：2.如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型？1.依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報(bào)效益，還是累計(jì)回報(bào)效益？方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述；注意x與y的意義3.三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何？4.要對三種方案作出選擇，就要對它們的增長情況進(jìn)行分析，如何分析？根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷三種方案所得回報(bào)的增長情況如表和圖：2y＝4020406080100120O4681012yxy＝10xy＝0.4×2x－1函數(shù)圖象是分析問題的好幫手讀圖和用圖

可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多.這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的.由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但二者增長情況很不相同.從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多，在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少，在第5～8天，方案二最多，第9天開始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得

多；到第30天，所得回報(bào)已超過2億元.下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)：結(jié)論：投資1～6天,應(yīng)選擇方案一;投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三.天數(shù)回報(bào)/元方案一二三40123456789101180120160200240280320360400440103060100150210280

3604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2A【變式練習(xí)】例2：某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎勵(lì)，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎勵(lì)模型：y＝，y＝log7x＋1，y＝x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？某個(gè)獎勵(lì)模型符合公司要求，就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎勵(lì)時(shí)，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤.于是，只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可.兩個(gè)要求【解題關(guān)鍵】1．確定x的取值范圍，即函數(shù)的定義域．2．通過圖象說明選用哪個(gè)函數(shù)模型？為什么？的圖象.解:借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)思考：812345672004006008001000y＝xy＝log7x＋1y＝xOy＝5yx觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型，x的圖象都有一部分在直線y=5的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方，這說明只有按模型y=log7x+1進(jìn)行獎勵(lì)時(shí)才符合公司的要求，下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷.

首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎金總數(shù)不超過5萬元.

對于模型，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=20時(shí)，y=5,因此，當(dāng)x>20時(shí)，y>5,所以該模型不符合要求；對于模型x，由函數(shù)圖象，并利用計(jì)算器，可知在區(qū)間（805，806）內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時(shí)，y>5,所以該模型也不符合要求；對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求.

計(jì)算按模型y=log7x+1獎勵(lì)時(shí)，獎金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立如何判斷該式是否成立令

綜上所述，模型確實(shí)能符合公司要求.時(shí)，所以,當(dāng)說明按模型獎勵(lì),獎金不會超過利潤的25%，

利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象由圖象可知它是遞減的，因此即構(gòu)造函數(shù)C【變式練習(xí)】微課：指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異比較1.列表并在同一坐標(biāo)系中畫出下面這三個(gè)函數(shù)的圖象（a=2).xyo1122345y=2xy=x2y=log2

x2.結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo).

從圖象看出y=log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，且總在另外兩函數(shù)圖象的下方，y=x2的圖象與y=2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)(2，4)和（4，16）.ABy=2xxyo1121623434y=x2y=log2x差異明顯3.根據(jù)圖象,分別寫出使不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的自變量x的取值范圍.使不等式log2x<2x<x2的x的取值范圍是(2，4);使不等式log2x<x2<

2x的x取值范圍是(0，2)∪(4,+∞).…640049003600…1.21×10241.18×10211.15×1018…807060250016009004001000y=x21.13×10151.10×10121.07×1091.05×10610241y=2x50403020100x結(jié)合上述探究，你有什么收獲？分別就指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)作出比較.指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)舉例：y=x2y=2xxxo50100y1.10×10121.13×1015y=2xy=x2圖象為上升快慢明顯不同

一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn,但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有ax>xn.指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較對于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間（0，+∞）上,隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣.盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有l(wèi)ogax<xn.對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較1）在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax（a>1)，y=logax(a>1)和y=xn（n>0）都是增函數(shù).因此總會存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有l(wèi)ogax<xn<ax.2）隨著x的增大，y=ax（a>1)的增長速度越來越快，會

遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn（n>0）的增長速度.3）隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，

會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn（n>0）的增長速度.【提升總結(jié)】

不同函數(shù)增長的差異核心知識方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)注意函數(shù)模型的選擇數(shù)學(xué)建模的一般步驟：1、實(shí)際問題。2、理解問題。3、數(shù)學(xué)建模。4、求解模型。5、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?。?shù)學(xué)建模：選擇合適的數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。指數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)模型【解題關(guān)鍵】DB,,,,y＝1－x(0≤x≤10)4.銀行的定期存款中，存期為1年、2年、3年、5年的年利率分別為2.25%,2.43%,2.70%,2.88%，現(xiàn)將1000元人民幣存入銀行，求:應(yīng)怎樣存取以使5年后得到的本金和利息總和最大？解：存5年共有6種存款方式：（1）一次性存入5年，本金和利息的總和為1000+5×1000×2.88%=1144（元）.（2）存一個(gè)三年，再存一個(gè)兩年(1000+3×1000×2.70%)(1+2×2.43%)=1133.