2022新高考數(shù)學高頻考點題型歸納26平面向量應用（學生版）

專題26平面向量的應用一、關(guān)鍵能力理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題。二、教學建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的一個熱點內(nèi)容．預測2022年高考將考查向量數(shù)量積的運算、模的最值、夾角的范圍．題型以客觀題為主，試題難度以中檔題為主，有時也會與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題中.三、自主梳理 1.向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要有以下方面：(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時也用到向量減法的意義．(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩直線(或線段)是否平行，常運用向量平行(共線)的條件：a∥b?a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)證明線段的垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(線段)是否垂直等，常運用向量垂直的條件：a⊥b?a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．(4)求與夾角相關(guān)的問題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)．(5)向量的坐標法，對于有些平面幾何問題，如長方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐標系，把向量用坐標表示，通過代數(shù)運算解決幾何問題．2．向量在物理中的應用數(shù)學中對物理背景問題主要研究下面兩類：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點的向量，它與前面學習的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不計作用點的情況下，__可用向量求和的平行四邊形法則，求兩個力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四邊形法則，求兩個速度的合速度__．四、高頻考點+重點題型考點一、利用向量處理平面幾何圖形例1-1（判斷點的位置）（2021·濟南市·山東師范大學附中）設(shè)為所在平面上一點，且滿足，若的面積為2，則面積為_______________．對點訓練1.（2021·上海普陀區(qū)·高三二模）如圖，在△中，，，．若為△內(nèi)部的點且滿足，則________．例1-2（兩條直線垂直）在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是邊AC上靠近點A的一個三等分點，試問：在線段BM(端點除外)上是否存在點P，使得PC⊥BM?對點訓練1.（2021·江蘇蘇州市）我們知道，“有了運算，向量的力量無限”.實際上，通過向量運算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點”.已知，，是的三條高，求證：，，相交于一點.例1-3（求線段的長）（2021·濟南市·山東省實驗中學）在平面四邊形ABCD中，AB=4，AD=2，對角線AC與BD交于點E；E是BD的中點，且；若，求BD的長.例1-4（證明角相等）△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是邊BC的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB＝∠FDC．例1-5（判斷證明三角形形狀）（2021·寧夏銀川市·銀川一中高三其他模擬（理））若為所在平面內(nèi)任意一點，且滿足，則的形狀為______．（填：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形）對點訓練1.（2021·四川省內(nèi)江市第六中學）已知非零向量與滿足，且，則為（）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形例1-6（向量與三角恒等變換公式結(jié)合）已知A，B，C的坐標分別是A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．(1)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，求角α的值；(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－1，求eq\f(2sin2α＋sin2α,1＋tanα)的值．對點訓練1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(eq\r(2)a－c)eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝ceq\o(CB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→)).(1)求角B的大?。?2)若|eq\o(BA,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|＝eq\r(6)，求△ABC面積的最大值．考點二、向量與解析幾何結(jié)合例2-1.已知A，B是半徑為eq\r(2)的⊙O上的兩個點，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝1，⊙O所在平面上有一點C滿足|eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))|＝1，則向量eq\o(OC,\s\up7(→))的模的取值范圍是________．例2-2.（2021·吉林吉林市·高三三模（文））已知?為平面上的兩個定點，且，該平面上的動線段的端點?，滿足，，，則動線段所形成圖形的面積為（）A．36 B．60 C．72 D．108對點訓練1.已知平面上一定點C(2，0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(PQ,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(PQ,\s\up6(→))))＝0．(1)求動點P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最值．考點三、向量在物理中的應用例3.（2021·云南昆明市·高三三模（理））兩同學合提一捆書，提起后書保持靜止，如圖所示，則與大小之比為___________．對點訓練1.（2021·全國高一課時練習）如圖，重為的勻質(zhì)球，半徑為，放在墻與均勻的木板之間，端鎖定并能轉(zhuǎn)動，端用水平繩索拉住，板長，與墻夾角為，如果不計木板的重量，則為何值時，繩子拉力最小？最小值是多少？對點訓練2.【多選題】（2021·浙江高一期末）在水流速度為的河水中，一艘船以的實際航行速度垂直于對岸行駛，則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中，正確的是（）A．這艘船航行速度的大小為B．這艘船航行速度的大小為C．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D．這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為鞏固訓練一、單項選擇題1．向量滿足，，，則向量與的夾角為（）A．45° B．60° C．90° D．120°2.已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC.若點P的坐標為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6B.7C.8D.93.已知A，B，C是平面上不共線的三點，O為坐標原點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))]，λ∈R，則點P的軌跡一定經(jīng)過()A.△ABC的內(nèi)心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB邊的中點4.已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))5.在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的內(nèi)心，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y∈[0，1]，則動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A.eq\f(10\r(6),3)B.eq\f(14\r(6),3)C.4eq\r(3)D.6eq\r(2)6.如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O.記I1＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，I2＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，I3＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))，則()A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3二、多項選擇題7.已知向量，函數(shù)，下列命題，說法正確的選項是（）A．B．的圖像關(guān)于對稱C．若，則D．若，則8.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，在下列命題中，是真命題的為()A．若a·b>0，則△ABC為銳角三角形B．若a·b＝0，則△ABC為直角三角形C．若a·b＝c·b，則△ABC為等腰三角形D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，則△ABC為直角三角形三、填空題9.在△ABC中，AB＝2AC＝6，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))2，點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，則當eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(PB,\s\up6(→))2＋eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值時，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.10．平面上有三個點A(－2，y)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則動點C的軌跡方程_________．11．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是________．12.已知的頂點平面,點B,C在平面異側(cè),且,,若,與所成的角分別為,,則線段長度的取值范圍為______.四、解答題13．在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，設(shè)點D為線段OA上的動點，求|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cos