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文檔簡介
專題26平面向量的應(yīng)用一、關(guān)鍵能力理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題;會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題。二、教學(xué)建議從近三年高考情況來看,本講一直是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.預(yù)測2022年高考將考查向量數(shù)量積的運(yùn)算、模的最值、夾角的范圍.題型以客觀題為主,試題難度以中檔題為主,有時(shí)也會與三角函數(shù)、解析幾何交匯出現(xiàn)于解答題中.三、自主梳理 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要有以下方面:(1)證明線段相等、平行,常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,有時(shí)也用到向量減法的意義.(2)證明線段平行、三角形相似,判斷兩直線(或線段)是否平行,常運(yùn)用向量平行(共線)的條件:a∥b?a=λb(或x1y2-x2y1=0).(3)證明線段的垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形,判斷兩直線(線段)是否垂直等,常運(yùn)用向量垂直的條件:a⊥b?a·b=0(或x1x2+y1y2=0).(4)求與夾角相關(guān)的問題,往往利用向量的夾角公式cosθ=eq\f(a·b,|a||b|).(5)向量的坐標(biāo)法,對于有些平面幾何問題,如長方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐標(biāo)系,把向量用坐標(biāo)表示,通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.2.向量在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中對物理背景問題主要研究下面兩類:(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用點(diǎn)的向量,它與前面學(xué)習(xí)的自由向量不同,但力是具有大小和方向的量,在不計(jì)作用點(diǎn)的情況下,__可用向量求和的平行四邊形法則,求兩個(gè)力的合力__.(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量,因而__可用求向量和的平行四邊形法則,求兩個(gè)速度的合速度__.四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、利用向量處理平面幾何圖形例1-1(判斷點(diǎn)的位置)(2021·濟(jì)南市·山東師范大學(xué)附中)設(shè)為所在平面上一點(diǎn),且滿足,若的面積為2,則面積為_______________.對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021·上海普陀區(qū)·高三二模)如圖,在△中,,,.若為△內(nèi)部的點(diǎn)且滿足,則________.例1-2(兩條直線垂直)在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是邊AC上靠近點(diǎn)A的一個(gè)三等分點(diǎn),試問:在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P,使得PC⊥BM?對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021·江蘇蘇州市)我們知道,“有了運(yùn)算,向量的力量無限”.實(shí)際上,通過向量運(yùn)算證明某些幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)”簡便多了.下面請用向量的方法證明“三角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知,,是的三條高,求證:,,相交于一點(diǎn).例1-3(求線段的長)(2021·濟(jì)南市·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué))在平面四邊形ABCD中,AB=4,AD=2,對角線AC與BD交于點(diǎn)E;E是BD的中點(diǎn),且;若,求BD的長.例1-4(證明角相等)△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是邊BC的中點(diǎn),BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.例1-5(判斷證明三角形形狀)(2021·寧夏銀川市·銀川一中高三其他模擬(理))若為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),且滿足,則的形狀為______.(填:等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形)對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué))已知非零向量與滿足,且,則為()A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形例1-6(向量與三角恒等變換公式結(jié)合)已知A,B,C的坐標(biāo)分別是A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα).(1)若|eq\o(AC,\s\up6(→))|=|eq\o(BC,\s\up6(→))|,求角α的值;(2)若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=-1,求eq\f(2sin2α+sin2α,1+tanα)的值.對點(diǎn)訓(xùn)練1.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(eq\r(2)a-c)eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))=ceq\o(CB,\s\up7(→))·eq\o(CA,\s\up7(→)).(1)求角B的大??;(2)若|eq\o(BA,\s\up7(→))-eq\o(BC,\s\up7(→))|=eq\r(6),求△ABC面積的最大值.考點(diǎn)二、向量與解析幾何結(jié)合例2-1.已知A,B是半徑為eq\r(2)的⊙O上的兩個(gè)點(diǎn),eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))=1,⊙O所在平面上有一點(diǎn)C滿足|eq\o(OA,\s\up7(→))+eq\o(OB,\s\up7(→))-eq\o(OC,\s\up7(→))|=1,則向量eq\o(OC,\s\up7(→))的模的取值范圍是________.例2-2.(2021·吉林吉林市·高三三模(文))已知?為平面上的兩個(gè)定點(diǎn),且,該平面上的動線段的端點(diǎn)?,滿足,,,則動線段所形成圖形的面積為()A.36 B.60 C.72 D.108對點(diǎn)訓(xùn)練1.已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點(diǎn),作PQ⊥l,垂足為Q,且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))+\f(1,2)\o(PQ,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))-\f(1,2)\o(PQ,\s\up6(→))))=0.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;(2)若EF為圓N:x2+(y-1)2=1的任一條直徑,求eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的最值.考點(diǎn)三、向量在物理中的應(yīng)用例3.(2021·云南昆明市·高三三模(理))兩同學(xué)合提一捆書,提起后書保持靜止,如圖所示,則與大小之比為___________.對點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021·全國高一課時(shí)練習(xí))如圖,重為的勻質(zhì)球,半徑為,放在墻與均勻的木板之間,端鎖定并能轉(zhuǎn)動,端用水平繩索拉住,板長,與墻夾角為,如果不計(jì)木板的重量,則為何值時(shí),繩子拉力最???最小值是多少?對點(diǎn)訓(xùn)練2.【多選題】(2021·浙江高一期末)在水流速度為的河水中,一艘船以的實(shí)際航行速度垂直于對岸行駛,則下列關(guān)于這艘船的航行速度的大小和方向的說法中,正確的是()A.這艘船航行速度的大小為B.這艘船航行速度的大小為C.這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為D.這艘船航行速度的方向與水流方向的夾角為鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1.向量滿足,,,則向量與的夾角為()A.45° B.60° C.90° D.120°2.已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動,且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6B.7C.8D.93.已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,3)[(1-λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+(1-λ)eq\o(OB,\s\up6(→))+(1+2λ)·eq\o(OC,\s\up6(→))],λ∈R,則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過()A.△ABC的內(nèi)心 B.△ABC的垂心C.△ABC的重心 D.AB邊的中點(diǎn)4.已知在△ABC中,AB=1,BC=eq\r(6),AC=2,點(diǎn)O為△ABC的外心,若eq\o(AO,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→)),則有序?qū)崝?shù)對(x,y)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5),\f(3,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5),\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(4,5),\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5),\f(4,5)))5.在△ABC中,AB=5,AC=6,cosA=eq\f(1,5),O是△ABC的內(nèi)心,若eq\o(OP,\s\up6(→))=xeq\o(OB,\s\up6(→))+yeq\o(OC,\s\up6(→)),其中x,y∈[0,1],則動點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A.eq\f(10\r(6),3)B.eq\f(14\r(6),3)C.4eq\r(3)D.6eq\r(2)6.如圖,已知平面四邊形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點(diǎn)O.記I1=eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)),I2=eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)),I3=eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→)),則()A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3二、多項(xiàng)選擇題7.已知向量,函數(shù),下列命題,說法正確的選項(xiàng)是()A.B.的圖像關(guān)于對稱C.若,則D.若,則8.在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))=c,eq\o(BC,\s\up6(→))=a,eq\o(CA,\s\up6(→))=b,在下列命題中,是真命題的為()A.若a·b>0,則△ABC為銳角三角形B.若a·b=0,則△ABC為直角三角形C.若a·b=c·b,則△ABC為等腰三角形D.若(a+c-b)·(a+b-c)=0,則△ABC為直角三角形三、填空題9.在△ABC中,AB=2AC=6,eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(BA,\s\up6(→))2,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)eq\o(PA,\s\up6(→))2+eq\o(PB,\s\up6(→))2+eq\o(PC,\s\up6(→))2取得最小值時(shí),eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=________.10.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(y,2))),C(x,y),若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)),則動點(diǎn)C的軌跡方程_________.11.已知|a|=2|b|≠0,且關(guān)于x的函數(shù)f(x)=eq\f(1,3)x3+eq\f(1,2)|a|x2+a·bx在R上有極值,則向量a與b的夾角的范圍是________.12.已知的頂點(diǎn)平面,點(diǎn)B,C在平面異側(cè),且,,若,與所成的角分別為,,則線段長度的取值范圍為______.四、解答題13.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-1,0),|eq\o(OC,\s\up6(→))|=1,且∠AOC=θ,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若θ=eq\f(3π,4),設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動點(diǎn),求|eq\o(OC,\s\up6(→))+eq\o(OD,\s\up6(→))|的最小值;(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),向量m=eq\o(BC,\s\up6(→)),n=(1-cos
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