2022-2023學(xué)年浙江省高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)卷2

絕密★考試結(jié)束前2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷（浙江專用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．已知，且，其中是虛數(shù)單位，則等于（）A．5 B． C． D．13．設(shè)，，則等于（）A． B．1 C．2 D．34．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個(gè)球，甲袋有5個(gè)紅球，5個(gè)白球；乙袋有7個(gè)紅球，3個(gè)白球，隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，表示恰好摸到一個(gè)紅球與一個(gè)白球的事件的概率，則等于（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上的圖象大致是（）A． B．C． D．6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．8．2022年第二十四屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復(fù)，直到無(wú)窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為，周長(zhǎng)為，面積為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，則（）A． B．C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞減10．已知，則（）A． B．C． D．11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且，則（）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是12．已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)________．14．已知，都是正數(shù)，則的最小值是______.15．已知直線：與直線關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)___________.16．設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)積為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求C；(2)求的取值范圍.19．（12分）近年來(lái)，水旱災(zāi)害是我國(guó)出現(xiàn)頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災(zāi)害.如何在水旱災(zāi)害發(fā)生的各個(gè)階段，利用信息系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)盡可能多地獲取相關(guān)信息，對(duì)防汛抗旱的形勢(shì)和問(wèn)題作出正確的判斷，制訂科學(xué)的決策方案是新時(shí)期流域水旱災(zāi)害防御需要面對(duì)的新問(wèn)題.今年入汛以來(lái)，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強(qiáng)度大、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)．依據(jù)該地A河流7月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖乙所示.(1)以此頻率作為概率，試估計(jì)A河流在7月份水位的50百分位數(shù)及在7月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率；(2)A河流域某企業(yè)，在7月份，若沒(méi)受1、2級(jí)災(zāi)害影響，利潤(rùn)為600萬(wàn)元；若受1級(jí)災(zāi)害影響，則虧損200萬(wàn)元；若受2級(jí)災(zāi)害影響，則虧損1200萬(wàn)元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案：方案等級(jí)費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）方案一無(wú)措施0方案二防控1級(jí)災(zāi)害50方案三防控2級(jí)災(zāi)害200試問(wèn)，如僅從利潤(rùn)考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點(diǎn)，，．(1)證明：平面；(2)若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．21．（12分）如圖，橢圓的離心率為，上的點(diǎn)到直線的最短距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.22．（12分）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在上的最大值為0，①求a的取值范圍；②若恒成立，求正整數(shù)k的最小值．絕密★考試結(jié)束前2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試卷（浙江專用）數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解不等式，明確集合的元素，根據(jù)集合交集運(yùn)算，可得答案.【詳解】由，則，即，由，則，即，，故選：A.2．已知，且，其中是虛數(shù)單位，則等于（）A．5 B． C． D．1【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算，得到，再使用模長(zhǎng)公式求解.【詳解】由得：，即，解得，從而.故選：B3．設(shè)，，則等于（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用指對(duì)數(shù)互換和冪的運(yùn)算性質(zhì)求得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，，得，則，則，則，則.故選：B4．甲?乙兩袋中各有大小相同的10個(gè)球，甲袋有5個(gè)紅球，5個(gè)白球；乙袋有7個(gè)紅球，3個(gè)白球，隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，表示恰好摸到一個(gè)紅球與一個(gè)白球的事件的概率，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，根據(jù)條件概率及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】設(shè)事件為“取到甲袋”，事件為“取到乙袋”，則，，則.故選：C.5．函數(shù)在上的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，由此排除兩個(gè)選項(xiàng)，再取特值判斷并排除一個(gè)選項(xiàng)即可作答.【詳解】，，而，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，選項(xiàng)A，B不滿足；又，，于是得，選項(xiàng)C不滿足，D符合題意.故選：D6．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令雙曲線左焦點(diǎn)，利用給定條件證得四邊形為矩形，再利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理列式求解作答.【詳解】令雙曲線右焦點(diǎn)，則其左焦點(diǎn)，連接，如圖，顯然與互相平分于點(diǎn)O，即四邊形為平行四邊形，又，則，因此四邊形為矩形，令，由得，由雙曲線定義知，，在中，，即，解得，在中，，而，于是得，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B7．實(shí)數(shù)分別滿足，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知即，構(gòu)造函數(shù)，確定其在上單調(diào)遞減，可得，又設(shè)，其在上單調(diào)遞增，所以得，即可判斷的大?。辉贅?gòu)造函數(shù)，可得恒成立，可判斷，最值可得結(jié)果.【詳解】解：由已知得，①設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即，所以，又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以則，所以；②設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在上，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，恒成立；取時(shí)，；綜上得故選：C.8．2022年第二十四屆北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，任意畫一個(gè)正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形．一直重復(fù)，直到無(wú)窮，形成雪花曲線，．設(shè)雪花曲線的邊長(zhǎng)為，邊數(shù)為，周長(zhǎng)為，面積為，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．【答案】D【分析】根據(jù)已知寫出、、的通項(xiàng)公式且時(shí)，應(yīng)用累加法求通項(xiàng)，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】據(jù)題意知：，∴，A錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；∴，由也滿足上式，則，所以不構(gòu)成等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；由上，，則，D正確.故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)得0分，部分選對(duì)得2分）9．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，則（）A． B．C．的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上單調(diào)遞減【答案】AD【分析】利用函數(shù)圖像先把解析式求出來(lái)，然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】由圖像可知函數(shù)的最大值為2，最小值為，所以，，又，又，所以又，所以，所以，故正確，將的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得，故錯(cuò)誤．由，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故錯(cuò)誤．由即，所以選項(xiàng)正確.故選：．10．已知，則（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對(duì)AB，根據(jù)二項(xiàng)式公式求解對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)求解即可；對(duì)CD，利用賦值法分別求與和判斷即可.【詳解】對(duì)A，為展開(kāi)式中最高次項(xiàng)系數(shù)，只能由展開(kāi)式的最高次項(xiàng)相乘，故為，即，故A正確；對(duì)B，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對(duì)D，令，則，結(jié)合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，且，則（）A．的最小值是B．C．三棱錐的體積是定值D．三棱錐的外接球表面積的取值范圍是【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)可求得點(diǎn)的軌跡，從而可判斷AB；證明平面，即可判斷C；由三棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線上，設(shè)球心為，，根據(jù)，將用表示，從而可求得外接球半徑的范圍，即可判斷D.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)椋?，得，所以，則，得，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，則，綜上，，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡即為線段，對(duì)于A，，即的最小值是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，所以，故B正確；對(duì)于C，，則為定值，由點(diǎn)的軌跡即為線段，且，所以，又平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，則在中，外接圓的圓心即為點(diǎn)，則三棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線上，設(shè)球心為，，則，即，所以，則，因?yàn)?，所以，即三棱錐的外接球的半徑，所以三棱錐的外接球表面積的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.12．已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】本題首先利用求導(dǎo)證明為奇函數(shù)，再證明其還為周期為4的函數(shù)，再通過(guò)合理賦值可一一核對(duì)各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),則，兩邊求導(dǎo)得,所以為奇函數(shù),因?yàn)?,所以,故,所以,即的周期且,在，中,令,可得,所以，故A正確；令，可得，而為奇函數(shù)，則，所以，則，故B正確;令得,,則,無(wú)法求得,同理令得,,因此,相加得,只有在時(shí),有,但不一定為0,因此C錯(cuò)誤;在中,令得,,在中,令得,,兩式相加得,即，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的周期性和奇偶性結(jié)合的問(wèn)題難度較大，需要通過(guò)合理賦值才能得到相應(yīng)的結(jié)果.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)________．【答案】【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可考慮正弦型函數(shù)，，再利用周期計(jì)算，選擇一個(gè)作答即可.【詳解】由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個(gè)，可取.故答案為：.14．已知，都是正數(shù)，則的最小值是______.【答案】【分析】設(shè)，，解出，，代入化簡(jiǎn)得，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，故設(shè)，，則聯(lián)立解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：.15．已知直線：與直線關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)在圓：上運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)___________.【答案】6【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)，從而得到直線恒過(guò)點(diǎn)，求出圓心，從而得到，數(shù)形結(jié)合得到動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值.【詳解】變形為，令，解得：，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，故直線恒過(guò)點(diǎn)，變形為，圓心為，半徑為1，故圓心與的距離為，則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最大值為BC的長(zhǎng)加上半徑，即.故答案為：616．設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：．四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)積為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)前項(xiàng)和為【分析】（1）首先令，求出首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)求出為等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.（2）首先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而通過(guò)（1）求出的通項(xiàng)公式，代入后利用裂項(xiàng)相消的方法進(jìn)行求和即可.【詳解】（1）由題意：①，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，②，由①-②得：，由為正項(xiàng)數(shù)列，得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.因此可得（2）由于數(shù)列的前項(xiàng)的乘積為，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；符合通項(xiàng)，故得.由（1）可知：，，令為的前項(xiàng)和，.18．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)若，求C；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由題給條件求得，進(jìn)而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構(gòu)造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【詳解】（1）由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則（2）A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為19．（12分）近年來(lái)，水旱災(zāi)害是我國(guó)出現(xiàn)頻率最高，影響范圍和造成損失較大的自然災(zāi)害.如何在水旱災(zāi)害發(fā)生的各個(gè)階段，利用信息系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)盡可能多地獲取相關(guān)信息，對(duì)防汛抗旱的形勢(shì)和問(wèn)題作出正確的判斷，制訂科學(xué)的決策方案是新時(shí)期流域水旱災(zāi)害防御需要面對(duì)的新問(wèn)題.今年入汛以來(lái)，某市降雨量比常年偏多兩成以上，且強(qiáng)度大、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)．依據(jù)該地A河流7月份的水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖甲所示；依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造，得到水位與災(zāi)害等級(jí)的頻率分布條形圖如圖乙所示.(1)以此頻率作為概率，試估計(jì)A河流在7月份水位的50百分位數(shù)及在7月份發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率；(2)A河流域某企業(yè)，在7月份，若沒(méi)受1、2級(jí)災(zāi)害影響，利潤(rùn)為600萬(wàn)元；若受1級(jí)災(zāi)害影響，則虧損200萬(wàn)元；若受2級(jí)災(zāi)害影響，則虧損1200萬(wàn)元．現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對(duì)方案：方案等級(jí)費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）方案一無(wú)措施0方案二防控1級(jí)災(zāi)害50方案三防控2級(jí)災(zāi)害200試問(wèn)，如僅從利潤(rùn)考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)該企業(yè)應(yīng)選擇第二種方案，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，由中位數(shù)的定義求解中位數(shù)；設(shè)該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，發(fā)生1級(jí)災(zāi)害為事件，根據(jù)頻率分布直方圖和條形圖，利用條件概率，由求解；（2）由（1）得到7月份該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率和1級(jí)災(zāi)害的概率以及發(fā)生2級(jí)災(zāi)害的概率，利用分布列，求期望即可.【詳解】（1）解：頻率分布直方圖中6個(gè)小矩形的面積分別是0.1，0.25，0.3，02，0.1，0.05，設(shè)7月份的水位中位數(shù)為，則，∴，解得，∴7月份的水位中位數(shù)為37.5；設(shè)該河流7月份水位小于40米為事件，水位在40米至50米為事件，水位大于50米為事件，在，，，設(shè)發(fā)生1級(jí)災(zāi)害為事件，由條形圖可知：，，，∴，，，∴；（2）由（1）可知7月份該河流不發(fā)生災(zāi)害的概率為，發(fā)生1級(jí)災(zāi)害的概率為0.155，發(fā)生2級(jí)災(zāi)害的概率為設(shè)第種方案的企業(yè)利潤(rùn)為，①若選擇方案一，則的取值可能為600，，，∴，，∴的分布列為：600∴（萬(wàn)元）②若選擇方案二，則的取值可能為550，，且，的分布列為：550∴（萬(wàn)元）③若選擇方案三，則不會(huì)受任何災(zāi)害影響，該企業(yè)7月份的平均利潤(rùn)為（萬(wàn)元）∴最大，∴從利潤(rùn)考慮，該企業(yè)應(yīng)選擇第二種方案.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形且，M為的中點(diǎn)，，．(1)證明：平面；(2)若，與平面所成的角為45°，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明、來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得二面角的余弦值并轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）因?yàn)樵诤蚏t中，，，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，平面，所以平面．?）因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，則，所以，由勾股定理知：，可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，所以，，由（1）知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，取，得，所以，設(shè)二面角