對平面鑲嵌的再探究

對平面鑲嵌的再探究山東惠民皂戶李鄉(xiāng)中學康風星251717一、一種正多邊形構(gòu)成的鑲嵌：要用正多邊形鑲嵌成一個平面的關(guān)鍵是看：這種正多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)是否是360°，在正多邊形里，正三角形的每個內(nèi)角都是60°，正四邊形的每個內(nèi)角都是90°，正六邊形的每個內(nèi)角都是120°，這三種多邊形的一個內(nèi)角的倍數(shù)都是360°，而其他的正多邊形的每個內(nèi)角的倍數(shù)都不是360°，所以說：在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以密鋪，而其他的正多邊形不可密鋪.一般三角形、四邊形也可以密鋪.雖然它們的內(nèi)角未必都相等二、下面我們來探索用兩種正多邊形鑲嵌平面的條件：要用兩種正多邊形鑲嵌成一個平面的關(guān)鍵是看：對于某個拼結(jié)點處幾個內(nèi)角的和能否構(gòu)成360°先從簡單的兩種正多邊形開始探索。正三角形與正方形正方形的每個內(nèi)角是90°，正三角形的每個內(nèi)角是60°，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x個60°角，有y個90°角，則：60x+90y=360即：2x+3y=12又x、y是正整數(shù)解得：x=3,y=2即：每個頂點處用正三角形的三個內(nèi)角，正方形的兩個內(nèi)角進行拼接.(如下圖)正三角形與正六邊形正三角形的每個內(nèi)角是60°，正六邊形的每個內(nèi)角是120°，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x個60°角，有y個120°角，即：60x+120y=360°即x+2y=6x、y是正整數(shù)解得：即：每個頂點處用四個正三角形和一個正六邊形，或者用二個正三角形和兩個正六邊形如下圖.

（3）正三角形和正十二邊形正三角形的每個內(nèi)角是60°，正六邊形的每個內(nèi)角是150°，對于某個拼結(jié)點處，設(shè)有x個60°角，有y個150°角，即：60x+150y=360°即2x+5y=12x、y是正整數(shù)解得：x=1，y=2即：每個頂點處用一個正三角形和兩個正十二邊形。如圖1（4）正四邊形與正八邊形如上經(jīng)討論后可得：90x＋135y=360°即x+2y=12x、y是正整數(shù)解得：x=1，y=2即：每個頂點處用一個正四角形和兩個正八邊形。如圖2如圖1如圖1如圖2三、三種不同正多邊形的鑲嵌假如用三種不同正多邊形的鑲嵌，必須在一個頂點處，正多邊形的內(nèi)角和為360度。如果正多邊形的邊數(shù)為N],N2,N3且每一個頂點處，一種正多邊形只有一個，那么根據(jù)平面鑲嵌的條件，必須有設(shè)正多邊形的邊數(shù)分別為n設(shè)正多邊形的邊數(shù)分別為n〔、n2、n3(n［、<n2><n3)（n廠2）x180。則1＋(n2—2)x180。2＋(n3—2)x180。3=360n1n2n31111n1n2n32這樣，上式的正整數(shù)解可列表如下：

NoNoNi：'i:.'3'23343'5'3:6斗74.3斗n2N3'7-423'.=24g13'ID15\i125-20612g：塔根據(jù)上表，可以得到一些用不同正多邊形鑲嵌的圖案。至于用其他更多個正多邊形組成的鑲嵌，有興趣的同學，可以仿照上面的方法自己去研究由以上討論可找到鑲嵌平面的條件.結(jié)論：由n種正多邊形組合起來鑲嵌成一個平面的條件：一個頂點處的各角之和為360度；每個正多邊形的頂點