陜西省榆林市第十中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題

榆林十中第2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中考試高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘；命題：高二數(shù)學(xué)組第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分）1．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，若是無理數(shù)，則至少有一個(gè)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)不都是無理數(shù) B．假設(shè)至少有一個(gè)是有理數(shù)C．假設(shè)都是有理數(shù) D．假設(shè)至少有一個(gè)不是無理數(shù)3．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)的極坐標(biāo)可以為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．5．古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為（） 三角錐垛正視 三角錐垛俯視（參考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15806．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．8．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．2023年賀歲檔共有七部電影，根據(jù)貓眼專業(yè)版數(shù)據(jù)顯示，截止到2023年1月29日13時(shí)，2023年度大盤票房（含預(yù)售）突破了90億元大關(guān)．其中歷史題材的輕喜劇《滿江紅》位列第一，總票房已經(jīng)達(dá)到了30億+，科幻題材的《流浪地球2》也擁有近25億元的票房，現(xiàn)有編號(hào)為1，2，3，4的4張電影票，要分給甲、乙兩個(gè)人，每人至少分得一張，那么不同分法種數(shù)為（）A．10 B．14 C．16 D．1210．曲線與直線及軸所圍成的圖形的面積為（）A． B． C．1 D．11．一個(gè)均勻小正方體的6個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字0，兩個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字1，一個(gè)面上標(biāo)有數(shù)字2．將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的兩個(gè)數(shù)字之積是0的概率為（）A． B． C． D．12．若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．4 B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13．某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次高考模擬測試，這次測試的數(shù)學(xué)成績，且，規(guī)定這次測試的數(shù)學(xué)成績高于120分為優(yōu)秀．若該校有1200名高三學(xué)生參加測試，則數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是______．14．某12人的興趣小組中，有5名“三好學(xué)生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競賽，用表示這6人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則當(dāng)取______時(shí)，對應(yīng)的概率為．15．馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如表123??請小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“!”處無法完全看清，且兩個(gè)“?”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“?”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案______．16．已知函數(shù)．①在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；③若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則；④在上有最大值，無最小值．上述說法正確的是______．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本小題滿分10分）已知二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512．（1）求的值：（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)．18．（本小題滿分12分．已知函數(shù)在處有極值36．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．19．（本小題滿分12分）新個(gè)體經(jīng)濟(jì)是中國經(jīng)濟(jì)社會(huì)數(shù)字化轉(zhuǎn)型條件下出現(xiàn)的新生事物，指微商電商，網(wǎng)絡(luò)直播、職業(yè)創(chuàng)作者等，下表是2021年1至4月份某市新增“微商電商”的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：月份1234新增微商電商個(gè)數(shù)90105125140（1）請利用所給數(shù)據(jù)求新增微商電商個(gè)數(shù)與月份之間的線性回歸方程，并預(yù)測該市2021年5月新增“微商電商”的個(gè)數(shù)（結(jié)果用四舍五入法保留整數(shù)）；（2）一般認(rèn)為當(dāng)時(shí)，線性回歸方程的擬合效果非常好；當(dāng)時(shí)，線性回歸方程的擬合效果良好．試問該線性回歸方程的擬合效果是非常好還是良好?說明你的理由．，，，，，．20．（本小題滿分12分）一盒子中有8個(gè)大小完全相同的小球，其中3個(gè)紅球，4個(gè)白球，1個(gè)黑球．（1）若不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，求在第一次取到紅球的條件下，第二次也取到紅球的概率；（2）若從盒中有放回的取球3次，求取出的3個(gè)球中白球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（本小題滿分12分）在科學(xué)、文化、藝術(shù)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，出現(xiàn)過大量舉世矚目的“左撒子”天才，如：相對論提出者愛因斯坦，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)者牛頓，鐳的發(fā)現(xiàn)者居里夫人，諾貝爾獎(jiǎng)獲得者楊振寧，著有《變形記》的小說家弗蘭茲卡夫卡，乒乓球女將王楠等．正因?yàn)槿绱硕嗟摹白笃沧印痹诓煌I(lǐng)域取得了卓越的成就，所以越來越多的人認(rèn)為“左粒子”會(huì)更聰明，這是真的嗎?某學(xué)校數(shù)學(xué)社成員為了了解真相，決定展開調(diào)查．他們從學(xué)生中隨機(jī)選取100位同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們慣用左手還是慣用右手，并通過測驗(yàn)獲取了他們的智力商數(shù)，將智力商數(shù)不低于120視為高智商人群，統(tǒng)計(jì)情況如下表．智力商數(shù)不低于120智力商數(shù)低于120總計(jì)慣用左手4610慣用右手167490總計(jì)2080100（1）能否有的把握認(rèn)為智力商數(shù)與是否慣用左手有關(guān)?（2）從智力商數(shù)不低于120分的這20名學(xué)生中，按慣用左手和慣用右手采用分層抽樣，隨機(jī)抽取了5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人代表學(xué)校參加區(qū)里的素養(yǎng)大賽，求這2人中至少有一人是慣用左手的概率．參考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82822．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．參考答案1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義求其共軛復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及所在象限位置．【詳解】由已知可得，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，該點(diǎn)在第一象限．故選：A．2．C【分析】反證法中“至少有一個(gè)是無理數(shù)”的假設(shè)為“假設(shè)都不是無理數(shù)”，對照選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】依題意，反證法中“至少有一個(gè)是無理數(shù)”的假設(shè)為“假設(shè)都不是無理數(shù)”，即“假設(shè)都是有理數(shù)”．故選：C．3．B【分析】根據(jù)及點(diǎn)位于第三象限計(jì)算可得．【詳解】點(diǎn)位于第三象限，又，所以，所以，即點(diǎn)的極坐標(biāo)可以為．故選：B4．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程．【詳解】，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．故選：A5．C【分析】根據(jù)已知條件及合情推理中的歸納推理，利用參考公式及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解．【詳解】因?yàn)椤叭切螖?shù)”可以寫為所以第層“三角形數(shù)”為，所以層時(shí)，垛球的總個(gè)數(shù)為：，所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛球的總個(gè)數(shù)為．故選：C．6．D【分析】根據(jù)隨機(jī)變量和，寫出概率的表示式，得到關(guān)于的方程，解出的值，再根據(jù)，由二項(xiàng)分布的方差公式求得到結(jié)果．【詳解】隨機(jī)變量，解得，∴，則．故選：D．7．C【分析】分別確定和時(shí)等式左端的式子，由此可得結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，等式左端為，當(dāng)時(shí)，等式左端為，兩式比較可知，增加的項(xiàng)為．故選：C．8．B【分析】依題意可得在區(qū)間上恒成立，解出即可．【詳解】，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，的取值范圍是，故選：B．9．B【分析】根據(jù)題目要求分“甲3張乙1張”，“甲2張乙2張”，“甲1張乙3張”三類，分別計(jì)算出每類的種數(shù)再由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解．【詳解】符合題目要求的分類方法共：“甲3張乙1張”，“甲2張乙2張”，“甲1張乙3張”，三類①“甲3張乙1張”的基本事件為：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4種；②“甲2張乙2張”的基本事件為：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6種；③“甲1張乙3張”的基本事件為：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4種；所以不同分法總數(shù)為：種．故選：B．10．B【分析】利用定積分求得正確答案．【詳解】由解得，所以曲線與直線及軸所圍成的圖形的面積為：．故選：B11．D【詳解】滿足題意時(shí)，兩次向上的數(shù)字至少有一個(gè)為零，兩次數(shù)字均不為零的概率為：，則滿足題意的概率值：．本題選擇D選項(xiàng)．12．D【分析】根據(jù)給定的不等式，變形并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性求出最大值作答．【詳解】，不等式，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，依題意，，所以實(shí)數(shù)的最大值為．故選：D13．120【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性得，乘以總?cè)藬?shù)即可得出答案．【詳解】由，得正態(tài)分布曲線的對稱軸為，因?yàn)?，所以，則數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)是，故答案為：120．14．2或3【分析】根據(jù)超幾何分布以及組合數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果．【詳解】由題意可知，服從超幾何分布，日，所以，所以或3；故答案為：2或3．15．2【詳解】試題分析：令?的數(shù)字是，則!的數(shù)值是，所以考點(diǎn)：數(shù)學(xué)期望點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)期望就是平均值，要得到隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則需先寫出分布列．16．②④【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解．【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令得，，由得，由得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故①錯(cuò)誤，由①知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確，由②知若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則，故③錯(cuò)誤，由①②知在上有最大值，無最小值，故④正確，故答案為：②④17．（1）（2）672【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和求得．（2）結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】（1）因?yàn)榈恼归_式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，所以，解得．（2）由通項(xiàng)公式，令，可得，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．18．（1）或（2）【分析】（1）求導(dǎo)，利用及，列出方程組，求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（1）由題意知．或，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意．（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．19．（1）；（2）非常好，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)已知條件，先結(jié)算出、的平均值，根據(jù)求出，根據(jù)求出的值，即可求得回歸直線方程，將代入到該方程中，即可預(yù)測該市2021年5月新增“微商電商”的個(gè)數(shù)．（2）由已知條件，根據(jù)求出即可判斷．（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，，則，故所求回歸直線方程為，令，則．∴該市2021年5月新增“微商電商”的個(gè)數(shù)約為158；（2）故線性回歸方程的擬合效果非常好．20．（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【分析】（1）設(shè)事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，求出，再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意服從二項(xiàng)分布，的可能取值為0、1、2、3，求出所對應(yīng)的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）設(shè)事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，由于是不放回地從盒中連續(xù)取兩次球，每次取一個(gè)，所以第一次取球有8種方法，第二次取球是7種方法，一共的基本事件數(shù)是56，由于第一次取到紅球有3種方法，第二次取球是7種方法，∴，一次取到紅球有3種方法，第二次取到紅球有2種方法，∴，∴；（2）由題可知白球個(gè)數(shù)，且有，，故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：．21．（1）有的把握認(rèn)為智力商數(shù)與慣用左手有關(guān)（2）【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表作卡方計(jì)算；（2）按照分層抽樣的規(guī)則抽取5人，再按照古典概型計(jì)算．【詳解】（1）根據(jù)列聯(lián)表代入計(jì)算可得：，有的把握認(rèn)為智力商數(shù)與慣用左手有關(guān)；（2）由題意可知，抽取比例為，所以抽取的5名學(xué)生中慣用右手的有人，記為，慣用左手的有人，設(shè)為甲，從這5人中隨機(jī)抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中至少有一人慣用左