數(shù)值分析(最小二乘擬合)

課題八曲線擬合的最小二乘法一、問題提出從隨機(jī)的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達(dá)式的問題，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲線。在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的含碳量與時(shí)間關(guān)系，試求含碳量y與時(shí)間t的擬合曲線。二、要求t份)0510152025303540455055y(X10-4)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64、用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合；2、近似解析表達(dá)式為*(t)=a1t+a2t2+a3t33、打印出擬合函數(shù)*(t)，并打印出*(j)與y(j)的誤差4、另外選取一個(gè)近似表達(dá)式，嘗試擬合效果的比較；5、*繪制出曲線擬合圖*。三、目的和意義、掌握曲線擬合的最小二乘法；、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組；、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果：用最小二乘法做出的曲線擬合為三次多項(xiàng)式a1=-0.0052,a2=0.2634,a3=0.0178。JLZ/O申(t)=(-0.0052)t+(0.2634)t2+(0.0178)t3三次多項(xiàng)式的誤差平方和二0.2583。圖形為：圖形上紅線表示擬合曲線，*表示實(shí)驗(yàn)所給的點(diǎn)。源代碼為：x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];a1=polyfit(x,y,3)%三次多項(xiàng)式擬合％b1=polyval(a1,x)

r1=sum((y-bl)42)plot(x,y,'*')holdonr1=sum((y-bl)42)plot(x,y,'*')holdon%三次多項(xiàng)式誤差平方和％%用*畫出x,y圖像％plot（x,bl,'r'）%用紅色線畫出x,b1圖像％（說明本程序調(diào)用了MATLAB中的函數(shù)polyfit、polyval、plot）2?另外選取幾個(gè)近似表達(dá)式：主要選取6次、9次和12次的擬合表達(dá)式。（說明6多項(xiàng)式用綠線表示，9次多項(xiàng)式用藍(lán)線表示，12次多項(xiàng)式用黃線表示）圖形為：討論：1.從上面的曲線圖形我們可以看出9次多項(xiàng)式的擬合效果最好，所有點(diǎn)的都在9次多項(xiàng)式的曲線上。

可以看出3次多項(xiàng)式、6次多項(xiàng)式都擬合的比較好?？梢钥闯?2次多項(xiàng)式跳躍比較厲害，擬合效果比較差，我們可以的出結(jié)論：不是次數(shù)越高，擬合效果就越好，擬合函數(shù)的次數(shù)與擬合精度沒有直接的線性關(guān)系。需要選擇合適的擬合函數(shù)，可以得到最佳效果。源代碼：>x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64];a1=polyfit(x,y,3)a2=polyfit(x,y,6)a3=polyfit(x,y,9)a4=polyfit(x,y,12)%三次多項(xiàng)式擬合%a1=polyfit(x,y,3)a2=polyfit(x,y,6)a3=polyfit(x,y,9)a4=polyfit(x,y,12)%六次多項(xiàng)式擬合%%九次多項(xiàng)式擬合%%十二次多項(xiàng)式擬合%b1=polyval(a1,x)b2=polyval(a2,x)b3=polyval(a3,x)b4=polyval(a4,x)r1=sum((y-bl).人2)r2=sum((y-b2).Ab3=polyval(a3,x)b4=polyval(a4,x)r1=sum((y-bl).人2)r2=sum((y-b2).A2)r3=sum((y-b3).A2)r4=sum((y-b4).A2)plot(x,y,'*')holdonplot(x,bl,'r')holdonplot(x,b2,'g')holdonplot(x,b3,'b:o')holdonplot(x,b4,'y')%六次次多項(xiàng)式誤差平方和%%九次多項(xiàng)式誤差平方和%%十二次多項(xiàng)式誤差平方和%%用*畫出x,y圖像%%用紅色線畫出x,bl圖像%%用綠色線畫出x,b2圖像%%用藍(lán)色o線畫出x,b3圖像%%用黃線畫出想x,b4圖像%運(yùn)行結(jié)果：0.0000-0.00520.26340.0000-0.00520.26340.0l78Warning:Polynomialisbadlyconditioned.AddpointswithdistinctXvalues,reducethedegreeofthepolynomial,ortrycentering0.01760.00810.01760.0081andscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.>Inpolyfitat80a2=0.0000-0.00000.0001-0.00130.00790.2240Warning:Polynomialisbadlyconditioned.AddpointswithdistinctXvalues,reducethedegreeofthepolynomial,ortrycenteringandscalingasdescribedinHELPPOLYFIT.>Inpolyfitat80a3=0.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.0007-0.05490.3967-0.0002Warning:Polynomialisnotunique;degree>=numberofdatapoints.>Inpolyfitat72a4=1.0e-007*-0.00000.0000-0.00010.0026-0.05780.5060000000b1=0.01781.20872.16462.91133.47453.88004.32114.40824.44074.44444.44504.1536b2=4.16740.01761.20442.21462.91243.39413.79344.16744.46154.55484.38534.15414.6103b3=4.1662-0.00021.27152.15452.87093.42933.86944.16624.34734.5