創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)方案

創(chuàng)意平板折疊桌最優(yōu)設(shè)計(jì)方案

隨著城市住房成本的提高和網(wǎng)絡(luò)銷售的普及，折疊家具的優(yōu)點(diǎn)是空間利用率高，交通便利，深受消費(fèi)者喜愛(ài)。創(chuàng)意折疊平板桌注重在滿足功能性的前提下表達(dá)桌子的美觀和自動(dòng)化性能,符合現(xiàn)代人的審美和個(gè)性化需求。本設(shè)計(jì)方案能夠根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀,給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù),使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能地接近客戶所期望的形狀(詳見(jiàn)2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模B題)。1u3000u擁有任意尺寸、高度和圓形桌布的折疊桌設(shè)計(jì)方案1.1折疊廳的設(shè)計(jì)以桌面圓心為原點(diǎn)構(gòu)造空間坐標(biāo)系,x及y軸正方向如圖1所示,z軸正方向垂直于桌面向上。由于折疊桌高度對(duì)稱,因此以四分之一的桌腿為對(duì)象研究,平面解析圖見(jiàn)圖1。折疊桌的設(shè)計(jì)要做到穩(wěn)定性好、加工方便、用材最少,對(duì)于任意給定的折疊桌的高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求,主要從折疊桌的材料長(zhǎng)度、開槽長(zhǎng)度及折疊桌的穩(wěn)定性3個(gè)方面來(lái)設(shè)計(jì)折疊桌的最優(yōu)模型。為了使加工方便,令每邊的桌腿數(shù)為20。完全折疊時(shí),除第一條桌腿與桌面的交點(diǎn)D1外,其余拐點(diǎn)均位于圓形桌面的邊上;從桌子的外形美觀考慮,令第二條桌腿對(duì)應(yīng)的圓形桌面的弦長(zhǎng)的一半為g2=3g1,如圖1,將鋼筋在桌腿上的位置點(diǎn)與桌面連接點(diǎn)間的距離設(shè)為s,則s=αL1。圖1為折疊桌完全折疊時(shí)的狀態(tài)即狀態(tài)1,圖2為完全展開時(shí)的狀態(tài)即狀態(tài)2。1.2u3000數(shù)據(jù)處理1.2.1u3000材料的長(zhǎng)度完全折疊時(shí)長(zhǎng)方形材料的長(zhǎng)度為:1.2.2折疊廳發(fā)展型定義:開槽長(zhǎng)度是折疊桌完全折疊時(shí)鋼筋與桌腿的交點(diǎn)到桌面連接點(diǎn)的距離與桌子完全展開時(shí)鋼筋與桌腿交點(diǎn)到桌面連接點(diǎn)的距離的差值(第i條桌腿為從外依次向里數(shù)的某條桌腿)。根據(jù)前述分析,運(yùn)用上面公式可計(jì)算折疊桌在2種狀態(tài)下的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo),詳見(jiàn)表1。每條桌腿的開槽長(zhǎng)度為mi與ni的差值di,即:di=mi-ni。1.2.3鋼筋受力分析結(jié)構(gòu)具有阻礙翻倒或移動(dòng)的特性,就是結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性好要求首先對(duì)桌腿和鋼筋進(jìn)行受力分析。狀態(tài)2時(shí),所有桌腿中只有最外面的4條桌腿承受來(lái)自桌子本身和桌子上物體重力之和F,其余桌腿分擔(dān)的沿桌腿方向的拉力通過(guò)傳遞最后由第一條桌腿承受,不考慮鋼筋自身的重力。作出整體效果圖,并分別對(duì)第i條桌腿、鋼筋、第一條桌腿進(jìn)行受力分析(圖3)。在圖3中,第i條桌腿承受的豎直向下的力均為FG=F/40,沿桌腿方向的受力為FY=F/40sinθi,鋼筋給第i條桌腿的支持力FG′豎直向上,在沿桌腿向下方向的分力為FY′=FY;鋼筋所受第i條桌腿給予的壓力大小即為FW=FY,方向沿桌腿向下;由于完全展開時(shí)鋼筋相對(duì)于地面靜止,因此鋼筋在受到第i條桌腿所給壓力的同時(shí),又受到第一條腿給予的支撐力FW′=FY;第一條桌腿所受的經(jīng)鋼筋傳遞的第i條桌腿的壓力大小即為FVi=FY,則第一條桌腿所受鋼筋給予的總壓力為#mathml_id=117#1.3鋼筋連接點(diǎn)加工根據(jù)本題實(shí)際意義,最優(yōu)方案中要使得長(zhǎng)方形材料長(zhǎng)度最小、開槽長(zhǎng)度最小和穩(wěn)定性最好,即以第一條桌腿所受鋼筋給予的總壓力FV最大來(lái)確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件分別為:對(duì)于任意給定的折疊桌高度、圓形桌面直徑及滿足折疊桌的穩(wěn)定性等設(shè)計(jì)要求,只需將數(shù)據(jù)代入上述模型,即可求得使客戶滿意的折疊桌的材料長(zhǎng)度、開槽長(zhǎng)度及鋼筋連接點(diǎn)3個(gè)加工參數(shù)。2u3000對(duì)特定折疊桌的動(dòng)態(tài)描述和加工方案2.1家庭設(shè)計(jì)的分配給定的長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm,每根木條寬2.5cm,即每邊桌腿數(shù)為20,連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置,折疊后桌子的高度為53cm。完全展開時(shí)的桌腳邊緣線指20個(gè)桌腳相連構(gòu)成的空間曲線,在Matlab7.0中對(duì)20個(gè)空間點(diǎn)作圖并擬合空間曲線,進(jìn)而求出由2個(gè)空間平面聯(lián)立的桌腳邊緣線方程。2.2不同類型罪犯,總有效率、雙重標(biāo)準(zhǔn)、共同按份共有之情形,見(jiàn)表1將b=120cm,R=25cm,h=53cm代入1.3的研究方案,并結(jié)合實(shí)際利用Matlab7.0求解,得出桌腿上的開槽長(zhǎng)度,見(jiàn)表2。對(duì)桌腳邊緣線在空間的位置進(jìn)行數(shù)學(xué)描述時(shí),首先根據(jù)第一條桌腿與桌面底部連接點(diǎn)D1(25,1.25,0)、折疊時(shí)鋼筋與桌腿的接點(diǎn)C1(32.5,23.75,0)、展開時(shí)鋼筋與桌腿的接點(diǎn)G1(16.55,1.25,-28.03)及展開時(shí)的桌腳點(diǎn)E1(13.81,1.25,-36.16),求得第二條桌腿的數(shù)據(jù),然后依次求得其余8條桌腿上各點(diǎn)的空間坐標(biāo)(表3)。2.3堂腳邊緣線擬合該折疊桌的高度是對(duì)稱的,由選取的10條桌腿寫出在同一邊的另外10條桌腿的空間坐標(biāo),根據(jù)20個(gè)桌腳在折疊桌完全展開時(shí)的空間坐標(biāo),利用Matlab7.0編程作出桌腳邊緣線擬合曲線的空間圖形(圖4)。根據(jù)空間曲線的性質(zhì),將擬合的曲線看作2個(gè)空間平面的交線。桌腳邊緣線分別在XOZ和YOZ平面上投影,得到平面曲線圖(圖5),分別以兩平面曲線為底線作垂直于XOZ和YOZ平面的2個(gè)曲面P、Q,2個(gè)曲面的交線所處位置就是桌腳邊緣線在空間坐標(biāo)系中的位置,如圖6所示。對(duì)于桌腳邊緣線上確定的一點(diǎn)M,給定z值,x和y的絕對(duì)值也就確定了;在曲面P上給定z值,y的值可以唯一地確定,在YOZ平面上給定z值,x的值可以唯一地確定。因此,桌腳邊緣線上確定的一點(diǎn)M在曲面P上的同時(shí)也在Q曲面上,依據(jù)空間曲線的性質(zhì),故桌腳邊緣線可以用曲面P和Q聯(lián)立的方程來(lái)表示。桌腳邊緣線分別在XOZ和YOZ平面上投影,利用Matlab7.0編程,得到2條曲線的方程,進(jìn)一步得到桌腳邊緣線的方程為:3u3000折疊桌設(shè)計(jì)的一般方案3.1折疊堂設(shè)計(jì)方案的提出在任意平板尺寸、高度、圓形桌面直徑的折疊桌設(shè)計(jì)模型的基礎(chǔ)上,將圓形桌面推廣到任意形狀的桌面。針對(duì)任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀,與設(shè)計(jì)方案中的研究思路一致,從材料長(zhǎng)度、開槽長(zhǎng)度和折疊桌的穩(wěn)定性3個(gè)方面作分析,建立一般模型,求解所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù),并根據(jù)一般模型給出一種平板桌的設(shè)計(jì)方案。3.2時(shí)盤線和一般面線上的時(shí)間綜合考慮桌子的美觀、加工方便及實(shí)用性,將所研究的桌子均設(shè)定為對(duì)稱形狀,整塊材料可以分為相同的4塊,桌腿的總數(shù)量均與設(shè)計(jì)方案中的桌腿數(shù)一致,為40條,桌子厚度為3cm。如圖7所示,在狀態(tài)1時(shí),桌面邊緣線為y=f(x),第i條桌腿與桌面的連接點(diǎn)Di在桌面邊緣線上;在狀態(tài)2時(shí),所有桌腳所在點(diǎn)相連接,所構(gòu)成的空間曲線即為桌腳邊緣線。3.3確定有效的確定最佳設(shè)計(jì)模型此時(shí)折疊桌上關(guān)鍵位置點(diǎn)坐標(biāo)如表4所示。1)由第一條桌腿長(zhǎng)度,求得桌子材料的長(zhǎng)度S=2L1+2f910()R2)開槽長(zhǎng)度di=ni-mi,其中3)第一條桌腿上其中最優(yōu)設(shè)計(jì)方案即為使1)、2)、3)最優(yōu)的設(shè)計(jì)模型:3.4折疊廳動(dòng)態(tài)變化取桌面形狀為橢圓形,且2x2+y2=R2,令橢圓長(zhǎng)半徑R=40cm,厚度t=3cm,高度h=78cm,代入模型,得出第一條桌腿長(zhǎng)L1=79.72cm,在狀態(tài)2時(shí),第一條桌腿與地面夾角θ=75°,鋼筋與第一條桌腿的交點(diǎn)距離桌面z=40cm,所研究的10條腿長(zhǎng)度具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表5。利用Matlab7.0編程,分別作出第一條桌腿與地面夾角分別為0°、15°、30°、45°、60°、67.5°、75°、80°時(shí)的空間圖,表示出折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,如圖8所示。由此可見(jiàn),推廣的設(shè)計(jì)折疊桌的通用模型具有可行性,對(duì)于設(shè)定的其他形狀的桌面,如六邊形、八邊形、十二邊形等形狀的桌面,再結(jié)合給定的合理的桌子高度和桌腳邊緣線形狀,同樣可求出最優(yōu)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)。4基于matlab的平板折疊廳設(shè)計(jì)本研究首先從圓形桌面著手,通過(guò)對(duì)折疊桌的材料長(zhǎng)度、開槽長(zhǎng)度及穩(wěn)定性3個(gè)方面的分析,采用了多目標(biāo)規(guī)劃法,給出了折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型;然后,以已知平板尺寸、高度和桌面直徑的折疊桌為例,將各參數(shù)代入設(shè)計(jì)模型,對(duì)折疊桌的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)描述,采用非線性擬合法,給出了完全展開時(shí)折疊桌的桌腳邊緣線的空間方程;最后,將模型推廣到一般情況,對(duì)任