安徽省合肥市巢湖市柘皋中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學(xué)年安徽省合肥市巢湖市柘皋中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）1．若復(fù)數(shù)z=a﹣2i的實部與虛部相等，則實數(shù)a=(）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知復(fù)數(shù)z=，則?i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．觀察：+＜2，+＜2，+＜2，…，對于任意的正實數(shù)a，b,使+＜2成立的一個條件可以是(）A．a(chǎn)+b=22 B．a(chǎn)+b=21 C．a(chǎn)b=20 D．a(chǎn)b=214．已知函數(shù)f(x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f(x）=2xf′（2）+lnx,則f′（2）=（)A．﹣e B． C．﹣ D．e5．由①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論”形式的正確推理,則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是（）A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②6．下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):①；②(ax)′=a2lnx；③（sin2x)′=cos2x；④（）′=．其中正確的有（)A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．觀察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根據(jù)上述規(guī)律，13+23+33+43+53+63=（）A．192 B．202 C．212 D．2228．dx等于(）A． B． C．π D．2π9．函數(shù)f(x）=ax3﹣x在R上是減函數(shù),則（）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＜2 D．10．設(shè)a=xdx，b=1﹣dx，c=x3dx，則a，b,c的大小關(guān)系（)A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c11．在數(shù)學(xué)歸納法的遞推性證明中由假設(shè)n=k時成立推導(dǎo)n=k+1時成立時f（n）=1+++…+增加的項數(shù)是()A．1 B．2k+1 C．2k﹣1 D．2k12．如果函數(shù)y=f（x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷:①函數(shù)y=f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y=f（x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y=f（x)在區(qū)間(4，5）內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)x=2時,函數(shù)y=f（x）有極小值;⑤當(dāng)x=﹣時，函數(shù)y=f（x）有極大值．則上述判斷中正確的是（）A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分，將答案填在題中的橫線上）13．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實部等于．14．觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11,…，則a10+b10=．15．曲線y=sinx（0≤x≤π)與x軸圍成的封閉區(qū)域的面積為．16．已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1時有極值0，則m+n=．三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．(10分）設(shè)復(fù)數(shù)z=，若z2+az+b=1+i，求實數(shù)a,b的值．18．(12分）證明：1,，2不能為同一等差數(shù)列的三項．19．(12分）當(dāng)n≥2,n∈N*時,求證：1+++…+＞．20．（12分)已知函數(shù)f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ)求f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間;（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．21．(12分）求曲線y=x2﹣2x+3與直線y=x+3圍成的圖形的面積．22．（12分）已知函數(shù)f(x）=x3+3ax2+3x+1．(Ⅰ)求a=﹣時，討論f(x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）時，f（x)≥0，求a的取值范圍．

2016—2017學(xué)年安徽省合肥市巢湖市柘皋中學(xué)高二（下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）1．若復(fù)數(shù)z=a﹣2i的實部與虛部相等，則實數(shù)a=()A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考點】A3：復(fù)數(shù)相等的充要條件．【分析】利用實部與虛部相等即可得出方程．【解答】解：復(fù)數(shù)z=a﹣2i的實部與虛部相等，∴a=﹣2．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)實部與虛部的定義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題．2．已知復(fù)數(shù)z=，則?i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z===i，則?i=?i=在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3．觀察：+＜2，+＜2，+＜2，…，對于任意的正實數(shù)a,b,使+＜2成立的一個條件可以是（）A．a(chǎn)+b=22 B．a(chǎn)+b=21 C．a(chǎn)b=20 D．a(chǎn)b=21【考點】F1：歸納推理．【分析】觀察前三個不等式的特點，歸納出來不等式的規(guī)律，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵6+15=5。5+15.5=4﹣+17+=21，∴根據(jù)歸納推理的知識，可以猜想滿足+＜2成立的一個條件可以是a+b=21．故選B．【點評】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，根據(jù)不等式的特點歸納出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．4．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x），且滿足f（x）=2xf′（2）+lnx，則f′（2）=（)A．﹣e B． C．﹣ D．e【考點】63：導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】將f′（2）看出常數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求出f′（x），令x=2即可求出f′（2）．【解答】解：f′(x）=2f′（2）+令x=2得f′（2）=2f′（2）+∴f′（2）=﹣，故選：C【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算法則、考查通過賦值求出導(dǎo)函數(shù)值．5．由①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線．寫一個“三段論"形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結(jié)論的分別是（)A．②①③ B．③②① C．①②③ D．③①②【考點】F6：演繹推理的基本方法．【分析】本題考查的知識點是演繹推理中三段論的概念，由三段論:①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線；我們易得大前提是③,小前提是①，結(jié)論是②．則易得答案．【解答】解：三段論：①y=2x+5是一次函數(shù)；②y=2x+5的圖象是一條直線；③一次函數(shù)的圖象是一條直線；大前提是③,小前提是①，結(jié)論是②．故排列的次序應(yīng)為：③①②，故選：D．【點評】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理．6．下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：①；②（ax）′=a2lnx；③（sin2x）′=cos2x;④（）′=．其中正確的有(）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【考點】63：導(dǎo)數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，依次對4個函數(shù)求導(dǎo)，比較即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次對4個函數(shù)求導(dǎo)：對于①、y==,其導(dǎo)數(shù)y′=，正確；對于②、y=ax,其導(dǎo)數(shù)y′=axlna,計算錯誤；對于③、y=sin2x，其導(dǎo)數(shù)y′=2cos2x，計算錯誤;對于④、y==(x+1）﹣1，其導(dǎo)數(shù)y′=﹣,計算錯誤；只有①的計算是正確的；故選：B．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的計算公式以及法則．7．觀察下列等式,13+23=32,13+23+33=62，13+23+33+43=102根據(jù)上述規(guī)律,13+23+33+43+53+63=（）A．192 B．202 C．212 D．222【考點】F1:歸納推理；8M:等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規(guī)律．觀察前幾個式子的變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)每一個等式左邊為立方和,右邊為平方的形式,且左邊的底數(shù)在增加，右邊的底數(shù)也在增加．從中找規(guī)律性即可．【解答】解：∵所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1，2;1，2，3;1，2，3，4；右邊的底數(shù)依次分別為3,6，10，（注意:這里3+3=6,6+4=10)，∴由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知：第五個等式左邊的底數(shù)為1，2，3，4，5,6，右邊的底數(shù)為10+5+6=21．又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212．故選C．【點評】本題考查了，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結(jié)論的推理．它與演繹推理的思維進程不同．歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般,是一個必然地得出的思維進程．屬于基礎(chǔ)題．8．dx等于（）A． B． C．π D．2π【考點】67：定積分．【分析】利用積分的幾何意義，再利用面積公式可得結(jié)論．【解答】解：dx的幾何意義是以(0，0）為圓心，1為半徑的單位圓在x軸上方部分（半圓)的面積∴dx==故選B．【點評】本題考查定積分的計算門課程利用幾何意義求定積分，屬于基礎(chǔ)題．9．函數(shù)f(x）=ax3﹣x在R上是減函數(shù),則(）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＜2 D．【考點】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，將函數(shù)f（x)=ax3﹣x在R上是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′(x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立，從而問題得解．【解答】解:求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x)=3ax2﹣1∵函數(shù)f(x）=ax3﹣x在R上是減函數(shù)∴f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立∴a≤0故選:A．【點評】本題考查的重點是函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)f(x）=ax3﹣x在R上是減函數(shù),轉(zhuǎn)化為f′（x）=3ax2﹣1≤0在R上恒成立．10．設(shè)a=xdx，b=1﹣dx，c=x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系（)A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．a(chǎn)＞b＞c【考點】67:定積分．【分析】利用微積分基本定理即可得出．【解答】解:a=xdx=x2|=，b=1﹣dx=1﹣|=1﹣=c=x3dx=x4|=，∴a＞b＞c,故選:D．【點評】本題主要考查了定積分的計算．解題的關(guān)鍵是要能求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)然后再根據(jù)牛頓﹣萊布尼茨公式求解．11．在數(shù)學(xué)歸納法的遞推性證明中由假設(shè)n=k時成立推導(dǎo)n=k+1時成立時f(n）=1+++…+增加的項數(shù)是（）A．1 B．2k+1 C．2k﹣1 D．2k【考點】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】當(dāng)n=k成立，f（k）=1+++…+，當(dāng)n=k+1時，f（k）=1+++…+++…+,觀察計算即可．【解答】解：假設(shè)n=k時成立，即f(k）=1+++…+，則n=k+1成立時,有f（k+1)=1+++…+++…+，∴左邊增加的項數(shù)是（2k+2k﹣1)﹣（2k﹣1）=2k．故選:D．【點評】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查n=k到n=k+1成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．12．如果函數(shù)y=f（x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列判斷:①函數(shù)y=f（x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②函數(shù)y=f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；③函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞增;④當(dāng)x=2時，函數(shù)y=f（x)有極小值;⑤當(dāng)x=﹣時，函數(shù)y=f（x)有極大值．則上述判斷中正確的是(）A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】利用使f′（x）＞0的區(qū)間是增區(qū)間，使f′（x)＜0的區(qū)間是減區(qū)間，分別對①②③進行逐一判定，導(dǎo)數(shù)等于零的值是極值,先增后減是極大值,先減后增是極小值，再對④⑤進行判定．【解答】解：對于①,函數(shù)y=f(x）在區(qū)間（﹣3,﹣)內(nèi)有增有減，故①不正確；對于②,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣，3）有增有減，故②不正確；對于③，函數(shù)y=f（x）當(dāng)x∈（4，5）時，恒有f′（x）＞0．故③正確；對于④,當(dāng)x=2時，函數(shù)y=f（x)有極大值，故④不正確；對于⑤，當(dāng)x=﹣時，f′（x）≠0，故⑤不正確．故選：D．【點評】本題考查了通過導(dǎo)函數(shù)圖象判定原函數(shù)的單調(diào)性，以及極值問題，屬于易錯題．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上）13．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實部等于﹣3．【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接由虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)化簡，則復(fù)數(shù)的實部可求．【解答】解:∵=．∴復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位)的實部等于﹣3．故答案為:﹣3．【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，考查了虛數(shù)單位i的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．14．觀察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，則a10+b10=123．【考點】F3：類比推理；84:等差數(shù)列的通項公式．【分析】觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3,4，7，11，…,所求值為數(shù)列中的第十項．根據(jù)數(shù)列的遞推規(guī)律求解．【解答】解：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1,3，4，7,11，…，其規(guī)律為從第三項起,每項等于其前相鄰兩項的和,所求值為數(shù)列中的第十項．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4,7，11，18，29，47，76,123，…，第十項為123，即a10+b10=123，．故答案為：123．【點評】本題考查歸納推理,實際上主要為數(shù)列的應(yīng)用題．要充分尋找數(shù)值、數(shù)字的變化特征，構(gòu)造出數(shù)列，從特殊到一般，進行歸納推理．15．曲線y=sinx（0≤x≤π)與x軸圍成的封閉區(qū)域的面積為2．【考點】67：定積分．【分析】先確定積分區(qū)間，進而求定積分，即可求得曲線y=sinx(0≤x≤π）與x軸圍成的封閉圖形的面積．【解答】解：曲線y=sinx（0≤x≤π)與x軸圍成的封閉區(qū)域的面積為==﹣cosπ+cos0=2．故答案為：2．【點評】本題考查了定積分,關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，是基礎(chǔ)題．16．已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1時有極值0，則m+n=11．【考點】6C：函數(shù)在某點取得極值的條件．【分析】對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f(x）在x=﹣1有極值0,可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′(x)=3x2+6mx+n依題意可得聯(lián)立可得當(dāng)m=1，n=3時函數(shù)f（x）=x3+3x2+3x+1,f′（x）=3x2+6x+3=3(x+1）2≥0函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值,舍故答案為:11【點評】本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的性質(zhì)：若函數(shù)在取得極值?f′（x0)=0．反之結(jié)論不成立，即函數(shù)有f′(x0）=0,函數(shù)在該點不一定是極值點，（還得加上在兩側(cè)有單調(diào)性的改變），屬基礎(chǔ)題．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分)（2015春?鄭州期末）設(shè)復(fù)數(shù)z=，若z2+az+b=1+i,求實數(shù)a，b的值．【考點】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算；A2:復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】先將z按照復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則,化為代數(shù)形式,代入z2+az+b=1+i,再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，列出關(guān)于a，b的方程組，并解即可．【解答】解：z=====1﹣iz2+az+b=（1﹣i)2+a(1﹣i）+b=a+b﹣（a+2）i=1+i∴解得【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)相等的概念，屬于基礎(chǔ)題．18．(12分)（2017春?巢湖市校級期中）證明：1,,2不能為同一等差數(shù)列的三項．【考點】FC：反證法；8C：等差關(guān)系的確定．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，利用反證法進行證明．【解答】證明:假設(shè)1，，2為同一等差數(shù)列的三項．可設(shè)該等差數(shù)列的首項為a，公差為d，其中1，，2分別是等差數(shù)列的第m、n、k項，則1=a+（m﹣1）d，①=a+（n﹣1）d，②2=a+（k﹣1）d,③∴②﹣①得﹣1=(n﹣m)d,③﹣①得1=（k﹣m）d，將上面兩式相除得：﹣1=這是不可能的，上式右邊是有理數(shù),左邊是無理數(shù)．∴假設(shè)不成立,即1，，2不能為同一等差數(shù)列的三項．【點評】本題主要考查反證法的應(yīng)用，結(jié)合等差數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．19．(12分）（2017春?巢湖市校級期中）當(dāng)n≥2,n∈N*時，求證：1+++…+＞．【考點】RG：數(shù)學(xué)歸納法；R6：不等式的證明．【分析】先驗證n=1不等式成立，假設(shè)n=k時不等式成立，推導(dǎo)n=k+1不等式成立即可．【解答】證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊=1+=1+，右邊=,等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N*）不等式成立，即1+++…+＞，當(dāng)n=k+1時，1+++…++＞+=＞==,∴當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．∴對n≥2，n∈N*時，1+++…+＞．【點評】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．20．（12分)（2005?北京）已知函數(shù)f(x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;6E:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的區(qū)間即為函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(II)先求出端點的函數(shù)值f（﹣2）與f(2),比較f（2）與f（﹣2)的大小，然后根據(jù)函數(shù)f（x)在［﹣1,2］上單調(diào)遞增，在[﹣2，﹣1］上單調(diào)遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x)在區(qū)間［﹣2,2]上的最大值和最小值，建立等式關(guān)系求出a,從而求出函數(shù)f(x）在區(qū)間［﹣2，2］上的最小值．【解答】解：（I）f′(x)=﹣3x2+6x+9．令f′（x)＜0，解得x＜﹣1或x＞3,所以函數(shù)f(x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞,﹣1），（3，+∞）．（II)因為f(﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因為在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x)在[﹣1，2］上單調(diào)遞增,又由于f（x）在[﹣2，﹣1］上單調(diào)遞減,因此f(2）和f（﹣1）分別是f(x)在區(qū)間[﹣2，2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函數(shù)f（x）在區(qū)間［﹣2，2]上的最小值為﹣7．【點評】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．以及在閉區(qū)間上的最值問題等基礎(chǔ)知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．21．（12分)（2017春?寶塔區(qū)期中）求曲線y=x2﹣2x+3與直線y=x+3圍成的圖形的面積．【考點】67：定積分．【分析】聯(lián)立解曲線y=x2﹣2x