第一講(高等數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)介)

科學(xué)方法是打開(kāi)科學(xué)殿堂大門的鑰匙,是由必然王國(guó)通向自由王國(guó)的橋梁。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂高等數(shù)學(xué)方法

主講教師:吳楠前言一.為什么要學(xué)“高等數(shù)學(xué)方法(參考前言第一段)1.科學(xué)方法的重要性科學(xué)是什么,為什么技術(shù)做什么,怎么做科學(xué)方法橋梁與鑰匙數(shù)學(xué)思維的體操科學(xué)的語(yǔ)言生活的需要(思路)(表達(dá))(應(yīng)用)數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)思維方法解題方法(是數(shù)學(xué)的靈魂)2.數(shù)學(xué)方法的含義二.“高等數(shù)學(xué)方法”的結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)方法(參考前言第二、三段)第一部分(第一至第七章)每節(jié)包含:方法指導(dǎo),實(shí)例分析,相關(guān)問(wèn)題第二部分(第八至第十一章)包括綜述和提高(從古典數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)靠攏)學(xué)習(xí)方法:1.將數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法相結(jié)合2.重視分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法3.學(xué)習(xí)要縱橫結(jié)合,著眼于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)華羅庚

（1910-1985）“聰明在于勤奮,天才在于積累”“學(xué)而優(yōu)則用,學(xué)而優(yōu)則創(chuàng)”“由薄到厚,由厚到薄”注意問(wèn)題：認(rèn)真聽(tīng)課，扼要記錄，多做題目，總結(jié)規(guī)律。參考書張曉寧、李安昌：

高等數(shù)學(xué)方法

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社教學(xué)安排參考第一、二講高等數(shù)學(xué)中的方法綜述第三講研究函數(shù)與極限的基本方法第四講導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法及微分中值定理應(yīng)用第五講導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的方法第六講積分學(xué)的概念、性質(zhì)和不定積分的計(jì)算法第七講定積分的計(jì)算、證明和解應(yīng)用問(wèn)題的方法第八講幾類常微分方程的求解法第九講空間解析幾何方法及其應(yīng)用第十講研究多元函數(shù)微分學(xué)概念的方法第十一講多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第十二講二重及三重積分的計(jì)算法第十三講線面積分的計(jì)算法第十四講級(jí)數(shù)的收斂、求和及展開(kāi)法第十五講試題類型及解題方法分析第一、二講高等數(shù)學(xué)中的

分析問(wèn)題

和

解決問(wèn)題的

方法一.數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模方法(P511,第一節(jié))數(shù)學(xué)模型客觀實(shí)際問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學(xué)具有形式化、符號(hào)化、簡(jiǎn)潔化的特點(diǎn).是一種高度抽象的模型.有狹義和廣義兩種解釋.數(shù)學(xué)建模方法實(shí)驗(yàn)歸納法理論分析法(P514)物理模型數(shù)學(xué)模型求解和分析結(jié)構(gòu).可無(wú)限逼近例如,為什么用及語(yǔ)言定義極限?

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積A

.圓內(nèi)接正n

邊形的面積為(正整數(shù)),當(dāng)時(shí),有記作精度要求邊數(shù)足夠多找出利用極限知識(shí)可求出:

測(cè)量圓面積直接觀測(cè)量為r間接觀測(cè)量為A半徑真值為面積真值為測(cè)量圓半徑得計(jì)算圓面積為任給精度要使尋找精度讓記作又如,為什么用增量比的極限定義導(dǎo)數(shù)?運(yùn)動(dòng)規(guī)律平均速度瞬時(shí)速度函數(shù)平均加速度瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律平均角速度瞬時(shí)電量函數(shù)平均電流強(qiáng)度瞬時(shí)質(zhì)量分布平均線密度光滑曲線割線斜率切線抽象:定義導(dǎo)數(shù)(描述變化率問(wèn)題)再如,椅子穩(wěn)定問(wèn)題

(P515～P516)假設(shè):四條腿一樣長(zhǎng);地面為連續(xù)曲面.建模:設(shè)A,C兩腳與地面的距離之和為B,D兩腳與地面的距離之和為不妨設(shè)且對(duì)任意有證明存在使證明:

設(shè)又由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理可知,存在使即又知所以思考:對(duì)長(zhǎng)方形板凳的穩(wěn)定問(wèn)題如何考慮?二.幾種常用的分析問(wèn)題的方法(P444-455)1.簡(jiǎn)化方法2.直觀分析法3.逆向分析法4.類比法5.歸納思維6.發(fā)散思維1.簡(jiǎn)化方法復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單問(wèn)題分解法變換法換元法遞推法轉(zhuǎn)化法單調(diào)遞減。提示:令則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù)在t>0時(shí)單調(diào)遞減.注意說(shuō)明1.與具有相同的極值點(diǎn),故可用后者代替前者討論極值問(wèn)題與單調(diào)性問(wèn)題.

2.有些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,可利用組成它的簡(jiǎn)單函數(shù)鏈的單調(diào)性傳遞得出.如P445例1.例1.證明設(shè),求提示：將函數(shù)化為則例2.的解.例3.設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x＝x(y)所滿足的微分方程變換為y＝y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件數(shù),且解:上式兩端對(duì)x求導(dǎo),得(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(2003考研)代入原微分方程得①(2)方程①的對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)①的特解為代入①得A＝0,從而得①的通解:由初始條件得故所求初值問(wèn)題的解為思考:設(shè)提示:對(duì)積分換元,則有解初值問(wèn)題:答案:2.直觀分析法?通過(guò)特例或圖形，尋找規(guī)律、方法和結(jié)論.?與幾何形體有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)盡量畫圖尋求啟示.?有關(guān)幾何應(yīng)用題盡量畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系.?填空題和選擇題可用增強(qiáng)條件的方法找結(jié)論.的圖形關(guān)于例1.設(shè)定義在實(shí)數(shù)域上的函數(shù)直線及對(duì)稱,試證為周期函數(shù).(P.447例4)證:有因此是周期為的函數(shù).例2證明拉格朗日中值定理時(shí)如何設(shè)輔助函數(shù)?分析:由圖可知,設(shè)輔助函數(shù)(C為任意常數(shù))都