麥克斯韋速率分布

§2.3麥克斯韋速率分布平衡態(tài)時，是只決定于溫度的物理量任意分子任意時刻的動能、速率各不相同，在很大范圍內變動?？梢姡河捎诜肿娱g的頻繁碰撞，任一分子在任一瞬時所具有的速度是完全偶然的，但是由大量分子組成的整體（每個分子具有某種速度這個偶然事件的集合）在一定溫度下，就表現(xiàn)為其速度或速率平方的平均值是確定的常數(shù)。這是一種統(tǒng)計規(guī)律性的反映。根據(jù)平均值的意義，這種統(tǒng)計規(guī)律可以由氣體分子按速率的概率分布來描述，即著名的麥克斯韋分布率。麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831——1879)19世紀偉大的英國物理學家、數(shù)學家。經典電磁理論的奠基人，氣體動理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經典電磁理論，預言了以光速傳播的電磁波的存在。·1873年，他的《電磁學通論》問世，這是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的《自然哲學的數(shù)學原理》并駕齊驅，它是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。在氣體動理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。§2.3.1分子射線束實驗用實驗方法測定麥氏速率分布的實驗有很多。最早是德國物理學家斯特恩于1920年做的銀蒸氣分子射線束實驗。后來不斷改進，包括1934年葛正權測定鉍蒸汽分子速率分布，1955年精確驗證麥氏分布率的密勒·庫士的鉈蒸汽原子束實驗。這里僅介紹朗繆爾的實驗1.分子束又稱分子射線。平衡態(tài)由于氣體分子熱運動，會有少部分氣體分子從S縫中逸出，但因數(shù)量較少，并不影響A中氣體分子所處的平衡態(tài)。逸出氣體分子帶有容器中氣體分子運動性質的信息。測出逸出分子的速率分布，即可得到容器內氣體分子隨速率的分布情況。但二者不相等。

3.實驗原理

2.朗繆爾實驗裝置由于凹槽有一定寬度，因而速度選擇器選擇的不是某一個速率大小，而是某一個速率范圍：v~v+?v令N表示單位時間內穿過第一個凹槽進入速度選擇器的總分子數(shù)，?N表示速率在v~v+?v

范圍的分子數(shù)，即從速度選擇器射出被探測器探得的分子數(shù)則在總分子中分子速率介于v~v+?v

的分子的概率為：當?v→0時，即得分子速率分布的概率密度函數(shù)：相應地，分子速率介于v~v+dv的概率即為：在總分子中分子速率介于v~v+?v

的分子的概率為：分子速率介于v~v+dv的概率即為：當?v→0時，即得分子速率分布的概率密度函數(shù)：例如，取則圖中每一細長條面積均表示單位時間內射出的分子束中。分子速率介于相應速率區(qū)間的概率?N/N

當?v→0時，得到一條光滑曲線，稱分子束速率分布曲線當?v→0時，得到一條光滑曲線，稱分子束速率分布曲線其中在速率區(qū)間v~v+dv的細條面積，表示分子速率介于速率區(qū)間v~v+dv的概率4.說明：分子束速率分布與真空加熱爐中的金屬蒸汽分子速率分布不相等?！?.3.2麥克斯韋速率分布早在1859年，英國物理學家麥克斯韋由概率論、統(tǒng)計力學確定了氣體按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律，即麥克斯韋速率分布，有3種表述方法：⑴具有N個分子的氣體處于平衡態(tài)(P,V,T)時，以容器為參考系的速率分布函數(shù)為：⑵N個分子的氣體處于平衡態(tài)時，以容器為參考系，速率在v~v+dv間的平均分子數(shù)等于：⑶N個分子的氣體處于平衡態(tài)，以容器為參考系速率在v~v+dv間的分子占總分子數(shù)N的百分比（概率）麥克斯韋速率分布概率密度概率

即分子處于速率v附近單位速率區(qū)間內的概率1.麥氏速率分布：但速率很大或很小的分子數(shù)較少2.麥氏速率分布函數(shù)曲線：⑴⑵曲線下的細窄條面積表示了分子出現(xiàn)在v~v+dv

區(qū)間段的概率⑶曲線下v1

~v2區(qū)間的陰影面積為：表示分子速率處于v1

~v2

區(qū)間的概率⑷對全部分子可出現(xiàn)的速率求和，即f(v)曲線下總面積：說明麥氏速率分布是規(guī)一化的二、幾點說明：1.,實際上任何物體的運動速率都不會超出真空中的光速麥氏分布中取0~∞可以簡化計算。2.只有當定量氣體處于平衡態(tài)時，分子才有按速率的確定分布。因而麥氏分布適用于平衡態(tài)氣體。分子間的碰撞是處于平衡態(tài)的氣體分子具有確定速率分布的原因。3.稱概率密度取極大值時的速率為最概然速率vp，也稱最可幾速率

意義：若把整個可能的速率范圍分為許多等間隔的小區(qū)間，則在最可幾速率vp所在區(qū)間中分子數(shù)所占比率最大。3.稱概率密度取極大值時的速率為最概然速率vp，也稱最可幾速率⑴溫度升高時分布曲線的極大值向速率大的區(qū)域移動；分布曲線下的總面積=，是常量。同時，其高度必然降低

⑵同樣溫度下，重的分子運動得慢，因而重的分子中速率小的分子所占比重大分子質量增加時分布曲線的極大值向速率小的區(qū)域移動；同時，其高度必然升高⑶最可幾速率僅決定于所考察氣體的種類和氣體分子熱運動的劇烈程度4.麥克斯韋速率分布本身是統(tǒng)計平均的結果，因而理論上必須使之應用于大數(shù)粒子。但實際上可以用于處于平衡態(tài)的一切宏觀容器中的理想氣體。5.公式可以采用量綱來幫助記憶。6.混合氣體的分子沒有統(tǒng)一的速率分布。但組成混合氣體的各組分分別遵守各自的麥氏分布率：注意混合氣中各組分的麥氏分布率不一樣，但有一點一定相同：混合氣達到平衡后，各組分的溫度T必然相同。7.統(tǒng)計物理證明，麥氏分布率不僅適用于理氣，也適用于一般氣體、液體、固體及在恒定外場中的經典系統(tǒng)，只要系統(tǒng)的能量可寫成：分子的動量分量分子間相互作用的能量及在外場中的勢能之和廣義坐標氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎上導出的，1877年玻耳茲曼由經典統(tǒng)計力學中導出，1920年斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋速率分布律。三、三種速率利用附錄公式：（二）方均根速率vrms：（三）最概然速率vp：（四）三種速率之比：（一）平均速率：1.前面討論理想氣體

和

P時曾用到vrms

v但應用該近似后，數(shù)學處理簡單得多誤差8.5%2.三種速率各有用處：vp

討論速率分布時用到vrms

討論分子平均平動動能時用到v

討論分子平均自由程、

時用到注意3.若所給速率分布不是麥克斯韋速率分布，則但由前面知，例1．速率分布函數(shù)的物理意義為：（Ａ）具有速率v的分子占總分子數(shù)的百分比．（Ｂ）速率分布在v

附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．（Ｃ）具有速率v的分子數(shù)．（Ｄ）速率分布在v

附近的單位速率間隔中的分子數(shù)．

解：（Ｂ）若用N表示一定量氣體的總分子數(shù)，dN表示速率分布在v~v+dv區(qū)間的分子數(shù)，則f(v)可以寫成：例2：下列各式的物理意義分別為:(1)(2)(3)(4)速率在v附近dv

間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。分布在速率v附近dv間隔內的分子數(shù)。分布在速率區(qū)間v1→v2內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率分布在速率v1→v2區(qū)間的分子數(shù)或：分子速率介于v~v+dv

的概率或：分子速率介于v~v+dv

內的分子數(shù)或：分子速率介于v1→v2內的概率(5)分布在速率v1→v2區(qū)間內的分子的速率總合與總分子數(shù)之比分布在速率v1→v2區(qū)間內的分子的速率總合例3．已知分子總數(shù)為N

，它們的速率分布函數(shù)為f(v)，則速率分布在區(qū)間v1→v2內的分子的平均速率為

（A）（C）（B）（D）解：（B）例4．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為f(v)、分子質量為m、最可幾速率為vp，試說明下列各式的物理意義：

表示________________；

表示______________．分子平動動能的平均值分布在速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的比率，或：分子速率介于vp→∞

內的概率

例5.下圖為同一種氣體處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對應的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應的是氧氣，哪條對應的是氫氣？解：(1)T1<

T2(2)紅：氧

綠：氫f(v)vT1T2例6氦氣的速率分布曲線如圖所示.解：求(2)

氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率(1)

試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，

例7有N個粒子，其速率分布函數(shù)為(1)速率分布曲線并求常數(shù)

a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解求(1)由歸一化條件得Oa(2)因為速率分布曲線下的面積代表一定速率區(qū)間內的分子與總分子數(shù)的比率，所以因此，

v>v0

的分子數(shù)為

(2N/3)同理

v<v0

的分子數(shù)為

(N/3)時的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為Oa例8根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解：例9根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv

區(qū)間內的分子數(shù)與溫度成反比(設Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有證：?。簐=vp，有：例10金屬導體中的電子，在金屬內部作無規(guī)則運動，與容器中的氣體分子很類似。設金屬中共有N個電子，其中電子的最大速率為vm，設電子速率在v~v+dv

之間的幾率為式中A

為常數(shù)解：求：該電子氣的平均速率因為電子速率分布僅在（0，vm）區(qū)間，所以例11.試計算27℃下的氧氣分子的三種速率.解:Mm=0.032kg/mol,T=273+27=300K可見在相同溫度下:例12.有N個粒子，其速率分布函數(shù)為:1.作速率分布曲線。2.由N和vo求常數(shù)C。3.求粒子的平均速率。4.求粒子的方均根速率。Cvovo解：例13.說明麥氏分布中，在方均根速率附近的某一小速率區(qū)間dv內的分子數(shù)隨氣體溫度升高而減小解：麥氏速率分布：方均根速率：在方均根速率附近的某一小速率區(qū)間dv內的分子數(shù)為：可見分子數(shù)隨氣體溫度升高而減小例14.⑴某氣體在平衡溫度T2時的最概然速率與其在平衡溫度T1

時的方均根速率相等，求：T1：T2

⑵已知該氣體壓強p，密度

。試導出方均根速率表達式解：⑴

⑵

例15.有N個假想的氣體分子，其速率分布如圖。當v>5v0時分子數(shù)為零。

⑴根據(jù)N和v0，求常數(shù)a的值⑵求速率在2v0～3v0間隔內的分子數(shù)⑶求分子的平均速率解：⑴速率分布可表示為：由規(guī)一化條件：則：⑵速率在2v0～3v0間隔內的分子數(shù)⑶分子的平均速率7－5麥克斯韋氣體速率分布律引言：氣體分子處于無規(guī)則的熱運動之中，由于碰撞，每個分子的速度都在不斷地改變，所以在某一時刻，對某個分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在一定條件下，分子的速率分布遵守一定的統(tǒng)計規(guī)律——氣體速率分布律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律最早是有麥克斯韋于1859年在概率論的基礎上導出的，1877年玻耳茲曼由經典統(tǒng)計力學中導出，1920年斯特恩從實驗中證實了麥克斯韋分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。一、測定氣體分子速率的實驗1、實驗裝置O——蒸汽源S——分子束射出方向孔R——長為l、刻有螺旋形細槽的鋁鋼滾筒D——檢測器，測定通過細槽的分子射線強度2、實驗原理當圓盤以角速度ω轉動時，每轉動一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子通過圓盤的時間不一樣，只有速率滿足下式的分子才能通過S達到D3、實驗結果分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關；速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常??；在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點。二、麥克斯韋氣體分子速率分布律速率分布函數(shù)的定義：一定量的氣體分子總數(shù)為N，dN表示速率分布在某區(qū)間

v~v+dv內的分子數(shù)，

dN/N表示分布在此區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。實驗規(guī)律：dN/N

是

v

的函數(shù)；當速率區(qū)間足夠小時（宏觀小，微觀大），dN/N還應與區(qū)間大小成正比。1、速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)物理意義：速率在

v附近，單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率，或概率密度。表示速率分布在v→v+dv內的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率表示速率分布在v1→v2內的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率速率分布曲線歸一化條件2、麥克斯韋速率分布律在平衡態(tài)下，當氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在任一速率區(qū)間

v~v+dv

的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為麥克斯韋速率分布函數(shù)m——分子的質量T——熱力學溫度k——玻耳茲曼