專題01空間向量及其運(yùn)算10種常見考法歸類

專題01空間向量及其運(yùn)算10種常見考法歸類1．空間向量(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．(2)模(或長度)：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．2．幾類特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱為相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量互相平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空間中的多個(gè)向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面．注：（1）空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，但空間中任意三個(gè)向量不一定共面．（2）熟練掌握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問題的關(guān)鍵．（3）注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性.②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?．空間向量的線性運(yùn)算類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(DB1,\s\up7(→))．即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對角線所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0．(4)空間向量的線性運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：對于實(shí)數(shù)λ與μ，向量a與b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．注：名稱運(yùn)算法則特點(diǎn)圖示加法運(yùn)算三角形法則首尾相接首尾連（通過平移）平行四邊形法則起點(diǎn)相同（共起點(diǎn)）（通過平移）減法運(yùn)算平行四邊形法則起點(diǎn)相同連終點(diǎn)，被減向量定指向。數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ的作用：正負(fù)定方向，數(shù)值定模比注：（1）首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up7(→))．（2）首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0．如圖，eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(FG,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＋eq\o(HO,\s\up7(→))＝0．4．共線向量或平行向量（1）共線向量或平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行，記作a//b.規(guī)定，零向量與任意向量共線.（2）共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b（a≠0），b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使b=λa.5．向量共線的判定及應(yīng)用（1）判斷或證明兩向量a，b（b≠0）共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a=λb成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá).（2）判斷或證明空間中的三點(diǎn)（如P，A，B）共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)λ，使PA=λ6．空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的夾角如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b．（2）空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)：①任意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面向量夾角的定義一樣．②作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．③兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．(3)空間向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b．(4)數(shù)量積的幾何意義①向量的投影如圖所示，過向量a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別向b所在的直線作垂線，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影a′的數(shù)量與b的長度的乘積，特別地，a與單位向量e的數(shù)量積等于a在e上的投影a′的數(shù)量．規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.(5)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①a⊥b?a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交換律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．（6）求向量的夾角和模長借助cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，求向量a，b的夾角．借助|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)求模．7.空間向量數(shù)量積的注意點(diǎn)結(jié)果：兩個(gè)向量的數(shù)量積，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是一個(gè)向量，它的符號取決于兩向量的夾角的余弦值的符號.（2）零向量：空間向量數(shù)量積對于a，b是零向量時(shí)的情況仍然成立，即零向量與任何向量的數(shù)量積均為零.（3）運(yùn)算律：數(shù)量積不滿足結(jié)合律8．在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉求解．9.利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法①取向量:根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量②角轉(zhuǎn)化:異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題=3\*GB3③求余弦值:利用數(shù)量積求余弦值或角的大?、芏ńY(jié)果:異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量的夾角求余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對值，繼而求角的大小10.利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|=aa考點(diǎn)一空間向量向量的有關(guān)概念考點(diǎn)二空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)三空間向量共線問題（一）空間向量共線的判斷（二）由空間向量共線求參數(shù)值（三）空間向量共線定理的推論及應(yīng)用考點(diǎn)四空間向量共面問題（一）判斷空間向量共面（二）由空間向量共面求參數(shù)（三）空間共面向量定理的推論及應(yīng)用考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的概念辨析考點(diǎn)六求空間向量的數(shù)量積考點(diǎn)七空間向量的垂直問題考點(diǎn)八空間向量的模長問題考點(diǎn)九空間向量的夾角問題考點(diǎn)十投影向量問題考點(diǎn)一空間向量向量的有關(guān)概念1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；④若向量與向量是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】②可舉出反例，①③④⑤可用向量的概念進(jìn)行判斷【詳解】對于①，，故①為真命題；對于②，若與中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向不確定，故②為假命題；對于③，終點(diǎn)相同并不能說明這兩個(gè)向量的方向相同或相反，所以③為假命題；對于④，共線向量所在直線可以重合，也可以平行，不能得到點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上，故④為假命題；對于⑤，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故⑤為假命題．故假命題的個(gè)數(shù)為4.故選：C2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列幾個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若，則或；③對于任何向量，，必有．其中正確命題的序號為．【答案】③【分析】根據(jù)相反向量的定義可以判斷①；兩個(gè)向量模相等，這兩個(gè)不一定是相等向量或相反向量可以判斷②；通過對，同向，反向，不共線進(jìn)行分類討論，結(jié)合三角形法則和三邊關(guān)系則可以判定③.【詳解】對于①，長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對于②，若，則與的長度相等，但方向沒有任何聯(lián)系，故②不正確；對于③，若與同向，則，若與反向，，若與不共線，結(jié)合三角形法則和三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，所以，綜上必有，所以③正確．

故答案為：③3．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量，滿足，則B．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝C．若空間向量，，滿足，，則D．空間中，，，則【答案】BC【分析】由向量相等的條件和向量共線的定義判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對于A，兩個(gè)向量相等，但方向不一定相同，不能得到，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與長度相等，方向相同，有＝，B選項(xiàng)正確；對于C，空間向量，，滿足，，即與長度相等方向相同，與長度相等方向相同，則有與長度相等方向相同，有，C選項(xiàng)正確；對于D，時(shí)，滿足，，但不能得到，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC4．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由圖形及相等空間向量定義可得答案.【詳解】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個(gè).故選：C5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的中心為，則在下列各結(jié)論中正確的共有（）①與是一對相反向量；②與是一對相反向量；③與是一對相反向量；④與是一對相反向量．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、相等向量和相反向量定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】

對于①，，，，與是一對相反向量，①正確；對于②，，，又，與不是相反向量，②錯(cuò)誤；對于③，，，，，,與是一對相反向量，③正確；對于④，，，又，與是一對相反向量，④正確.故選：C.6．【多選】（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，在長方體中，，，，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中（

）

A．單位向量有8個(gè) B．與相等的向量有3個(gè)C．的相反向量有4個(gè) D．模為的向量有4個(gè)【答案】ABC【分析】根據(jù)單位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】由題可知單位向量有，，，，，，，，共8個(gè)，故A正確；與相等的向量有，，，共3個(gè)，故B正確；向量的相反向量有，，，，共4個(gè)，故C正確；模為的向量分別為，，，，，，，，共8個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC考點(diǎn)二空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算7．【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若，，，為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④【答案】BD【分析】根據(jù)向量加法，減法運(yùn)算法則，即可求解判斷.【詳解】①中，原式，不符合題意；②中，原式，符合題意；③中，原式，不符合題意；④中，原式，符合題意.故選：BD8．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知四面體，是的中點(diǎn)，連接，則＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用中點(diǎn)的向量的線性關(guān)系及向量加法法則即可求解.【詳解】四面體，是的中點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以所以.故選：A.9．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則.

【答案】【分析】利用空間向量的加減運(yùn)算法則求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在三棱錐中，若是正三角形，為其重心，則化簡的結(jié)果為．【答案】【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量再進(jìn)行運(yùn)算可得答案.【詳解】延長交邊于點(diǎn)，則，則有，，故．

故答案為：.11．【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平行六面體中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為向量的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】作出平行六面體，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算化簡即可.【詳解】解:如圖所示：

A中，；B中，；C中，，D中，．故選:ABC．12．【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn).下列表達(dá)式化簡正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對于A，由題意得，所以A正確，對于B，由題意得，所以B錯(cuò)誤，對于C，由題意得，所以C正確，對于D，由題意得，所以D正確，故選：ACD13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）化簡.【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)乘運(yùn)算法則即可得解.【詳解】.故答案為：.14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到答案.【詳解】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以，故.故選：D考點(diǎn)三空間向量共線問題（一）空間向量共線的判斷15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若向量與不共線且，，，則（

）A．，，共線 B．與共線C．與共線 D．，，共面【答案】D【分析】利用空間向量共線定理和共面定理判斷.【詳解】因?yàn)?，即，即，又與不共線，所以共面，故D正確A錯(cuò)誤；因?yàn)椋耘c不共線，與不共線，故BC錯(cuò)誤；故選：D16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【分析】求出后可得它們共線，從而可證B，C，D三點(diǎn)共線．【詳解】，而，所以，故B，C，D三點(diǎn)共線．17．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意，，轉(zhuǎn)化，代入結(jié)合題干條件運(yùn)算即得證；（2）由題意，，又，運(yùn)算即得證【詳解】證明：（1）∴.（2）.18．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對角線A1C上，且若.（1）用表示.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知得，由此可得答案；（2）由已知得，由此可得證.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，所以；?），又與相交于B，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.（二）由空間向量共線求參數(shù)值19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，.（1）若與的方向相同，且，則λ的值為；（2）若與的方向相反，且，則λ的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量共線可得答案.【詳解】由于，所以當(dāng)，同向時(shí)，；當(dāng)，反向時(shí)，.故答案為：①；②.20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)A，C，D三點(diǎn)共線，可得，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，再根據(jù)空間向量共線定理即可得解.【詳解】由，，得，因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則，解得.故選：C.21．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為．【答案】/【分析】由題存在實(shí)數(shù)λ使得，解相應(yīng)方程可得答案.【詳解】由題意知，存在實(shí)數(shù)λ使得，即,解得.故答案為：22．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，為空間任意一點(diǎn)，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量共線和平面向量基本定理可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，∴，即，，又，所以，所以.故答案為：.（三）空間向量共線定理的推論及應(yīng)用23．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在空間四邊形ABCD中，，，則.【答案】【分析】利用向量的加法法則，及三點(diǎn)共線的推論即可得解.【詳解】，，即又，三點(diǎn)共線，，解得故答案為：24．（2023·全國·高二假期作業(yè)）在正方體中，點(diǎn)E在對角線上，且，點(diǎn)F在棱上，若A、E、F三點(diǎn)共線，則．【答案】/【分析】設(shè)，可得，根據(jù)A、E、F三點(diǎn)共線即可求得.【詳解】因?yàn)檎襟w中，，設(shè)，又，所以，即，因?yàn)锳、E、F三點(diǎn)共線，所以，解得，即.故答案為：.25．【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）(多選)若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（

）A．P∈直線AB B．P?直線ABC．O，A，B，P四點(diǎn)共面 D．P，A，B三點(diǎn)共線【答案】ACD【解析】由題意可得，代入向量式化簡可得，可得向量共線，進(jìn)而可得三點(diǎn)共線，可得結(jié)論．【詳解】解:因?yàn)?，所以，所?，即=n()，即=n，所以共線.又有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.因?yàn)?m+n，故O，A，B，P四點(diǎn)共面.故答案為：ACD【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的共線問題，熟練表示出向量共線的條件是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．考點(diǎn)四空間向量共面問題（一）判斷空間向量共面26．【多選】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)各項(xiàng)中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：，如下圖，，

由的關(guān)系不定，則不一定在面上，滿足；B：，如下圖，此時(shí)滿足上式，

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；C：因?yàn)?，所以，所以M，A，B，C共面，不滿足.D：，如下圖，

此時(shí)，M與A，B，C不共面，滿足；故選：ABD27．【多選】（2023秋·高二單元測試）以下能判定空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的條件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點(diǎn)共面的結(jié)論逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對A：若，結(jié)合向量基本定理知：為共面向量，故四點(diǎn)P、M、A、B共面，A正確；對B：若，且，結(jié)合向量共面的性質(zhì)知：四點(diǎn)P、M、A、B共面，B正確；對C：若，則，可知直線的位置關(guān)系：異面或相交，故四點(diǎn)P、M、A、B不一定共面，C錯(cuò)誤；對D：若，可知直線的位置關(guān)系：平行或重合，故四點(diǎn)P、M、A、B共面，D正確；故選：ABD.28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列條件能使點(diǎn)與點(diǎn)一定共面的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間共面向量定理以及其結(jié)論一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)，若，則點(diǎn)共面．對于A，，由于，故A錯(cuò)誤；對于B，，由于，故B錯(cuò)誤；對于C,，由于，故C錯(cuò)誤；對于D，，由于，得共面，故D正確.故選：D.29．（2023·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在長方體中，向量，，是向量(填“共面”或“不共面”)．【答案】共面【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則化簡得到，即可得到是共面向量.【詳解】由空間向量的運(yùn)算法則，可得，又由，可得，所以是共面向量.故答案為：共面.30．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）要證E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，只需證明向量，，共面，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及共面向量定理證明即可；（2）由向量共線結(jié)合線面平行的判定定理證明．【詳解】（1）如圖，連接EG，BG．因?yàn)椋剑剑?＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，又，，過同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)椋剑剑?－)＝，又E，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH∥BD，又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，由空間向量共面定理分別證得是共面向量，是共面向量，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，有公共點(diǎn)，所以A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面.（二）由空間向量共面求參數(shù)32．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)平面，且對空間內(nèi)任意一點(diǎn)滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出，，，四點(diǎn)共面，再根據(jù)即可求出的值．【詳解】平面，，，，四點(diǎn)共面，又，，解得．故選：D．或者根據(jù)平面，，，，四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，又，所以解得故選：D33．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對空間任一點(diǎn)，，則．【答案】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的知識列方程，由此求得.【詳解】由于平面，所以，解得.故答案為：34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若，，共面，則．【答案】【分析】法一：根據(jù)空間向量運(yùn)算結(jié)合共面向量定理即可得到相關(guān)方程組，解出即可；法二：利用四點(diǎn)共面的結(jié)論即可.【詳解】法一：由題意，，，因?yàn)椋?，共面，所以存在?shí)數(shù)唯一實(shí)數(shù)對，使得，即，所以，解得．法二：由，，共面得四點(diǎn)共面，則根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可得，，即．故答案為：.35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】先將寫為,再根據(jù)平面向量基本定理,將寫為,代入中,利用向量的加減,化為的形式,跟題中對比相等,即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，四點(diǎn)共面,根據(jù)平面向量基本定理,不妨設(shè),，則,，,.故選:B36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)共面向量的性質(zhì)，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的有最小值2．故選：D（三）空間共面向量定理的推論及應(yīng)用37．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件及其推論，即可得出答案.【詳解】由與三點(diǎn)共面以及，可得，，所以.故選：C.38．（2023秋·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐P-ABC中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且5=t+2+3，則t=（

）A．1 B．2 C．3 D．-2【答案】C【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?=t+2+3=t+2+3（-），所以8=t+2+3，即=++．因?yàn)镸是平面ABC上一點(diǎn)，所以++=1，所以t=3．故選：C39．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)向量不共面，空間一點(diǎn)滿足，則四點(diǎn)共面的一組數(shù)對是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間共面向量定理的推論即可驗(yàn)證得到答案.【詳解】空間一點(diǎn)滿足，若四點(diǎn)共面，則選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：.判斷錯(cuò)誤.故選：C40．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知為空間任一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論求解．【詳解】解：，，又，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，，，故選：B．考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的概念辨析41．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）在正四面體ABCD中，與的夾角等于（

）A．30° B．60° C．150° D．120°【答案】D【分析】根據(jù)正三角內(nèi)角為求解.【詳解】由正四面體每個(gè)面都是正三角形可知，故選：D42．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量分別與向量，，，，的夾角．【答案】45°；135°；60°；120°；90°【分析】由圖形特征求向量夾角.【詳解】連接BD，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以，，，，.43．【多選】（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┰O(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，向量不能作除法，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.44．【多選】（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)校考期末）若、、是空間任意三個(gè)向量，，下列關(guān)系中，不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、B，根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律判斷C，利用反例說明D.【詳解】對于A：，則表示與向量共線的一個(gè)向量，，則表示與向量共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；對于B：，，故B錯(cuò)誤；對于C：根據(jù)向量數(shù)乘的分配律知，故C正確；對于D：若與不共線時(shí)，不存在使得，且當(dāng)，時(shí)與共線，但是也不存在使得，故D錯(cuò)誤；故選：ABD45．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查空間向量加減法和數(shù)量積的運(yùn)算律，根據(jù)運(yùn)算律判斷即可．【詳解】由向量加法的結(jié)合律知A項(xiàng)正確；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知B項(xiàng)、D項(xiàng)正確；C項(xiàng)若，不共線且不垂直，則，故C不一定正確．故選：C.考點(diǎn)六求空間向量的數(shù)量積46．（2023春·高二單元測試）空間四邊形ABCD的各邊和對角線均相等，E是BC的中點(diǎn)，那么（

）A． B．C． D．與的大小不能比較【答案】C【分析】利用空間向量加減運(yùn)算的幾何表示及數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行求解判斷.【詳解】

因?yàn)椋?，所以．故選：C．47．（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，各棱長都為的四面體中，，則向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的運(yùn)算可得，，由向量數(shù)量積的定義即可得到答案.【詳解】由題得夾角，夾角，夾角均為，，，，故選：A.48．（2023秋·北京昌平·高二校考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形為矩形，平面，連接，，，，，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）

A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)中向量對應(yīng)的直線是否垂直即可解答.【詳解】對于A?與不一定垂直，即向量?不一定垂直，則向量?的數(shù)量積不一定為0，故A符合題意；對于B?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故B不符合題意；對于C?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故C不符合題意；對于D?由于平面，平面，則，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故D不符合題意；故選：A.49．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則．

【答案】【分析】確定向量的夾角，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義即可求得答案.【詳解】由題意知為正三角形，則；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，且，而，的夾角為，所以，的夾角為，則，的夾角為，所以，故答案為：50．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知正四面體的棱長為1，如圖所示，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)1(3)【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐問運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）解：在正四面體中，，且，可得.（2）解：由向量的運(yùn)算法則，可得．（3）解：由.51．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┤鐖D，在四面體中，，，，.則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖形，轉(zhuǎn)化向量，利用向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】故選：C52．（2023秋·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）正四面體的棱長為2，點(diǎn)D是的重心，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D是的重心,正四面體的棱長為2，.故選：D.53．（2023秋·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】結(jié)合向量投影的概念得，進(jìn)而再求解即可.【詳解】解：由向量投影的概念，表示向量在上的投影，因?yàn)榇怪庇谄矫?所以因?yàn)椋ㄆ渲校?，所?故選：D.54．（2023秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，．

(1)試用向量，，表示向量；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把表示出來，然后由點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，化簡即得結(jié)果；（2）把用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)?，，所?55．（2023春·安徽六安·高一六安一中?？计谀┢叫辛骟w中，，，，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)題設(shè)，，，可選取，，為一組基底，將和分解為，，表示，進(jìn)而利用數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算即可求出最小值．【詳解】設(shè)，，，

設(shè)，則，，則，由，，，可得，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．故答案為：．56．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二中校考期末）正四面體的棱長為2，是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個(gè)點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），為正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦最長時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，，則在上，連接，根據(jù)題意求出內(nèi)切球的半徑，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長，化簡可求得其最大值.【詳解】設(shè)正四面體的內(nèi)切球球心為，為的中心，為的中點(diǎn)，連接，，則在上，連接，則因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，所以，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，，解得，當(dāng)為內(nèi)切球的直徑時(shí)，最長，此時(shí)，因?yàn)闉檎拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最長，的最大值為，所以的最大值為，故選：B

考點(diǎn)七空間向量的垂直問題57．（2023春·高二單元測試）如圖，已知空間四邊形每條邊長和對角線長都等于1，，，分別是，，的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的長；(3)求異面直線和所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）設(shè)，，，用、、表示，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義求出，即可得證；（2）求出即可得解；（3）用、、表達(dá)與，利用空間向量夾角公式求解異面直線和所成角的余弦值．【詳解】（1）設(shè)，，，則，，所以，所以，所以，即.（2）因?yàn)?，所以，所以，即的長為.（3）由題意得，，均為等邊三角形且邊長為，所以，又，，所以，設(shè)異面直線和所成角為，則．所以異面直線和所成角的余弦值為.58．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點(diǎn)，且.若，則的值為.

【答案】/【分析】設(shè)，，，以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，根據(jù)，可得，將分別用表示，再根據(jù)數(shù)量積得運(yùn)算律即可得解.【詳解】設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底，設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，即，即，解?故答案為：.59．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是異面直線，，，分別為取自直線，上的單位向量，且，，，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】由，可得，再將，代入化簡，結(jié)合可求得答案.【詳解】因?yàn)椋钱惷嬷本€，，，分別為取自直線，上的單位向量，所以，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，解得，故選：B考點(diǎn)八空間向量的模長問題60．（2023秋·陜西銅川·高二校考階段練習(xí)）已知空間向量的夾角為，，則【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解】由空間向量的夾角為，，得，所以.故答案為：61．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，那么（

）A．2 B．C． D．6【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律、垂直關(guān)系的向量表示求解作答.【詳解】因?yàn)?，，均為空間單位向量，它們之間的夾角均為，，所以.故選：C62．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間向量的模長公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，，為單位向量，則.故選：D63．（2023春·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體的各棱長均為1，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】分析得出，利用空間向量數(shù)量積可求得的值.【詳解】由已知可得，，又，所以，所以．故選：D．64．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是，則.【答案】【分析】由題可知，，兩邊平方后，通過空間向量的混合運(yùn)算可求得.【詳解】，，．故答案為：

65．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，二面角的大小為，四邊形、都是邊長為的正方形，則、兩點(diǎn)間的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二面角的定義可得出，由空間向量的線性運(yùn)算可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，即為所求.【詳解】因?yàn)樗倪呅巍⒍际沁呴L為的正方形，則，，又因?yàn)槎娼堑拇笮?，即，則，因?yàn)?，由圖易知，，所以，.故選：C.考點(diǎn)九空間向量的夾角問題66．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖：正三棱錐中，分別在棱上，，且，則的余弦值為.【答案】【分析】設(shè),由可得，又，得，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得.【詳解】正三棱錐中，設(shè),且側(cè)棱長相等，因?yàn)?，所以，又，所以，即，解得，即的余弦值?故答案為：67．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長是，和相交于點(diǎn)．(1)求；(2)求與的夾角的余弦值(3)判斷與是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【分析】（1）利用數(shù)量積的公式可得；（2）先用表示，利用數(shù)量積運(yùn)算律可得、進(jìn)而利用公式可得與的夾角的余弦值.（3）利用數(shù)量積運(yùn)算律得，進(jìn)而可得與是否垂直．【詳解】（1）正方體中，，故.（2）由題意知，，，，故，故.（3）由題意，，，故與垂直.68．【多選】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知空間單位向量，，兩兩夾角均為，，，則下列說法中正確的是（

）A．、、、四點(diǎn)可以共面B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)向量共面即可判斷點(diǎn)共面，進(jìn)而可判斷A，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解B，根據(jù)模長的計(jì)算公式即可判斷C，根據(jù)夾角公式即可求解D.【詳解】由于單位向量，，兩兩夾角均為，所以，假設(shè)、、、四點(diǎn)可以共面，則共面，所以存在，使得，分別用，，與點(diǎn)乘，則，由于該方程組無解，所以不存在，使得共面，故、、、四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤，對于B，,故B正確，對于C，由得，由得,所以,則,故C正確；對于D，，故，故D錯(cuò)誤，故選：BC.69．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長均為6，且彼此夾角都是，下列說法中不正確的是（

）

A．B．C．向量與夾角是D．向量與所成角的余弦值為【答案】CD【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析判斷，能求出結(jié)果.【詳解】在平行六面體中，其中