概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第5章）

第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識概率論中所討論和研究的隨機變量，它的概率分布都是已知的，而實際情況往往并非如此，有可能完全不知道隨機變量所服從的概率分布，也有可能僅知道隨機變量服從的概率分布，但不知道其分布函數(shù)中所含的參數(shù).數(shù)理統(tǒng)計是以概率論為基礎，根據(jù)試驗或觀察到的數(shù)據(jù)，對研究對象的客觀規(guī)律做出種種合理的估計和推斷.數(shù)理統(tǒng)計包括兩個方面的內(nèi)容：一方面是如何合理地搜集數(shù)據(jù)，包括抽樣方法、試驗設計等；另一方面是根據(jù)收集到的樣本數(shù)據(jù)來分析、推斷整體情況，即統(tǒng)計推斷，這是本書講述的重點.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識定義1某一特定研究中研究對象的全體稱為總體，記為X,它是一個隨機變量.組成總體的每個基本單位稱為個體.例如，研究某大學學生的身高時，該大學全體學生的身高構成問題的總體，而每一個學生的身高是個體.定義2總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.容量為有限的總體稱為有限總體；容量為無限的總體稱為無限總體.例如，一批待審查賬目是有限總體；空氣中懸浮顆粒的總數(shù)可以認為是一個無限總體.隨機變量的分布函數(shù)、分布律(離散型)或概率密度(連續(xù)型)也稱為總體的分布函數(shù)、分布律或概率密度，并統(tǒng)稱為總體的分布.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識定義3從一個總體X中，隨機的抽出n個個體X,,X?,…,X,,這些個體構成的集合稱為總體X的一個樣本.樣本中所含個體的個數(shù)稱為樣本容量.注：(1)樣本中第i個個體記為X,,由于每個x,都是從總體X中隨機抽出的，因此x,是一個隨機變量，而樣本X,X?,…,X,就是n維隨機向量，可記為(X?,X?,…,X,).抽取樣本是為了研究總體的性質(zhì)，為了保證所抽取的樣本在總體中具有代表性，抽樣方法必須滿足以下兩個條件.(1)隨機性：每次抽取時，總體中每個個體被抽到的可能性均等.(2)獨立性：每次抽取是相互獨立的，即每次抽取的結果既不影響其他各次抽取的結果，也不受其他各次抽取結果的影響.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識由于樣本具有二重性，統(tǒng)計量作為樣本的函數(shù)也具有二重性，即對一次具體的觀察或試驗，它們都是具體的數(shù)值，但當脫離具體的某次觀察或試驗，樣本是隨機變量，因此統(tǒng)計量也是隨機變量。統(tǒng)計量是用來對總體分布參數(shù)進行估計或檢驗的，它包含了樣本中有關參數(shù)的信息，在數(shù)理統(tǒng)計中，根據(jù)不同的目的構造了許多不同的統(tǒng)計量。下面介紹幾種常見的統(tǒng)計量。設X,X?,…,X。是總體X的樣本，則可定義以下統(tǒng)計量.(1)樣本均值為,它的觀測值記為第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.1.3次序統(tǒng)計量和樣本分布函數(shù)例4設總體服從泊松分布，容量為10的樣本觀測值如下：試構造樣本的分布函數(shù)Fo(x).解將樣本的觀測值由小到大排列為1<2<3=3<4=4=4<5<6<8,所以樣本的頻率分布如表所示.x123568f.f第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識為了研究總體分布的性質(zhì)，人們通過試驗得到許多觀測值，這些數(shù)據(jù)一般都是雜亂無章的，需對數(shù)據(jù)進行整理，并常借助表格或圖形對數(shù)據(jù)加以描述.數(shù)值型數(shù)據(jù)整理常用的方法是分組.分組是指根據(jù)研究的需要，將數(shù)據(jù)分為不同的組別.常用的數(shù)據(jù)分組為單項式分組和組距式分組.其中，單項式分組只適用于離散變量，且在變量較少的情況下使用；組距式分組常用于連續(xù)變量或變量值較多的情況.定義將全部變量值依次劃分為若干個區(qū)間，并將這一區(qū)間的變量值作為一組，這種分組方個組的上限與下限的差，稱為組距，記為△,其計算公式為：組距=(最大值-最小值)÷組數(shù).第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.1三個重要分布第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.2抽樣分布的分位點定義4設X～N(0,1),對于任意給定的α(0<α<1),如果滿足條件則稱u。為標準正態(tài)分布的上α分位點(或分位數(shù)),如圖所示.因為α=0.025,1-α=0.975,查標準正態(tài)分布表(見附表2)可得，φ(1.96)=0.975,所以zos=1.96.類似地，可求得Zaos=1.645.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.2抽樣分布的分位點其中，:為標準正態(tài)分布的上α分位點.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.2抽樣分布的分位點t1-a(n)=-ta(n).第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.2抽樣分布的分位點第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.3正態(tài)總體的抽樣分布對于正態(tài)總體，其樣本均值、樣本方差及某些重要統(tǒng)計量的抽樣分布都具有非常完善的理論成果，它們?yōu)橛懻搮?shù)評估和假設檢驗奠定了堅實的基礎，我們將這些內(nèi)容歸納成下面的定理.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識(2)和(3)的證明略.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.3正態(tài)總體的抽樣分布第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.3正態(tài)總體的抽樣分布證明由定理1知又由定理1知,,。因為X與Y相互獨立，于是又與相互獨立，從而且二者相互獨立，根據(jù)x2分布的可加性知又因為相互獨立，根據(jù)t分布的定義知結論成立.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.3正態(tài)總體的抽樣分布,,第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.3正態(tài)總體的抽樣分布證明由定理1知且二者相互獨立，根據(jù)F分布的定義有第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.4樣本比例的抽樣分布在經(jīng)濟、管理中經(jīng)常需要研究總體或樣本中具有某種屬性的個體占全在經(jīng)濟、管理中經(jīng)常需要研究總體或樣本中具有某種屬性的個體占全體單位數(shù)的百分比問題.由此需要研究樣本比例的分布問題.屬性的比例，設X,X…,X,為來自總體X的一個簡單隨機樣本，為樣本中具有某種屬性之比，稱為樣本比例或樣本成數(shù).第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識5.3.4樣本比例的抽樣分布即不小于5.第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識第5章數(shù)理統(tǒng)計的基礎知識例1在最近的一次選舉中，一位州代表獲得了52%的投票.選舉一年以后，該代表組織了一次調(diào)查，選取一個由300人組成的隨機樣本，請問他們在下一次選舉中還會投票給該代表的概率是多少?解：會投票給該代表的