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教材習(xí)題點(diǎn)撥思考1解:綜合法證明是“由因?qū)Ч?,分析法證明是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法,分析法便于尋找解題思路,而綜合法便于敘述,應(yīng)注意兩種方法在解題中的綜合應(yīng)用.在綜合法中:①明確推證方向,選擇最佳途徑是綜合法的難點(diǎn);②在順推中,聯(lián)系最終結(jié)果進(jìn)行猜想,防止迷路和剪除無用的中間過程,這是一個(gè)猜證結(jié)合點(diǎn).在分析法中:①步步追溯的條件都是結(jié)論成立的充分條件(當(dāng)然,充要條件更好),因此,分析法的表述中都是倒箭頭“”或雙箭頭“?”,即為果因,絕不可果?因;②在追溯中要時(shí)時(shí)聯(lián)系已知條件P進(jìn)行猜想,選擇最佳途徑,這也是一個(gè)猜證結(jié)合點(diǎn).當(dāng)所證結(jié)論與所給條件之間的關(guān)系不明確時(shí),常采用分析法證明,但更多的時(shí)候是綜合法與分析法結(jié)合使用,先看條件能夠提供什么,再看結(jié)論成立需要什么,從兩頭向中間靠攏,逐步接通邏輯思路.練習(xí)11.證明:因?yàn)閏os4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos2θ,所以命題得證.2.證明:要證eq\r(6)+eq\r(7)>2eq\r(2)+eq\r(5),只需證(eq\r(6)+eq\r(7))2>(2eq\r(2)+eq\r(5))2,即證13+2eq\r(42)>13+2·2eq\r(10),即證eq\r(42)>eq\r(40),即證42>40,這是顯然成立的.所以原命題得證.3.證明:因?yàn)?a2-b2)2=(a-b)2(a+b)2=(2sinα)2(2tanα)2=16sin2αtan2α,又因?yàn)?6ab=16(tanα+sinα)(tanα-sinα)=16eq\f(sinα(1+cosα),cosα)·eq\f(sinα(1-cosα),cosα)=16eq\f(sin2α(1-cos2α),cos2α)=16eq\f(sin2αsin2α,cos2α)=16sin2αtan2α,從而(a2-b2)2=16ab.所以命題成立.點(diǎn)撥:進(jìn)一步熟悉運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)命題的思考過程與特點(diǎn).練習(xí)21.證明:假設(shè)∠B不是銳角,則∠B≥90°.因此∠C+∠B≥90°+90°=180°.這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾.所以假設(shè)不成立.從而,∠B一定是銳角.2.證明:假設(shè)eq\r(2),eq\r(3),eq\r(5)成等差數(shù)列,則2eq\r(3)=eq\r(2)+eq\r(5).所以(2eq\r(3))2=(eq\r(2)+eq\r(5))2.化簡(jiǎn),得5=2eq\r(10),從而52=(2eq\r(10))2,即25=40.這是不可能的.所以假設(shè)不成立.從而eq\r(2),eq\r(3),eq\r(5)不可能成等差數(shù)列.A組1.證明:因?yàn)?1+tanA)(1+tanB)=2,展開,得1+tanA+tanB+tanA·tanB=2,即tanA+tanB=1-tanA·tanB.①因?yàn)锳+B≠eq\f(π,2),所以A≠eq\f(π,2)-B.因?yàn)锳,B都是銳角,所以A,eq\f(π,2)-B都是銳角.從而tanA≠tan(eq\f(π,2)-B),所以tanA·tanB≠1,即1-tanA·tanB≠0.①式變形,得eq\f(tanA+tanB,1-tanAtanB)=1,即tan(A+B)=1.因?yàn)锳,B都是銳角,所以0°<A+B<180°,從而A+B=eq\f(π,4).點(diǎn)撥:本題也可以把綜合法與分析法綜合使用完成證明.2.證明:因?yàn)镻D⊥平面ABC,所以PD⊥AB.因?yàn)锳C=BC,所以△ABC是等腰三角形.因此△ABC底邊上的中線CD也是底邊上的高.因而CD⊥AB.所以AB⊥平面PDC.因此AB⊥PC.3.證明:因?yàn)閍,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列,所以eq\f(2,b)=eq\f(1,a)+eq\f(1,c).假設(shè)B<eq\f(π,2)不成立,即B≥eq\f(π,2),則B是△ABC的最大內(nèi)角,所以b>a,b>c(在三角形中,大角對(duì)大邊),從而eq\f(1,a)+eq\f(1,c)>eq\f(1,b)+eq\f(1,b)=eq\f(2,b).這與eq\f(2,b)=eq\f(1,a)+eq\f(1,c)矛盾.所以假設(shè)不成立.因此,B<eq\f(π,2).B組1.證明:因?yàn)閑q\f(1-tanα,2+tanα)=1,所以1+2tanα=0,從而2sinα+cosα=0.另一方面,要證3sin2α=-4cos2α,只要證6sinαcosα=-4(cos2α-sin2α),即證2sin2α-3sinαcosα-2cos2α=0,即證(2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0.由2sinα+cosα=0,可得(2sinα+cosα)(sinα-2cosα)=0,于是命題得證.點(diǎn)撥:本題可以單獨(dú)使用綜合法或分析法進(jìn)行證明,但把綜合法和分析法結(jié)合使用進(jìn)行證明的思路更清晰.2.證明:由已知條件,得b2=ac,①2x=a+b,2y=b+c.②要證eq\f(a,x)+eq\f(c,y)=2,只要證ay+cx=
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