高等數(shù)學(xué)對弧長的曲線積分教案

PAGEPAGE4時間月日星期課題§11.1對弧長的曲線積分教學(xué)目的使學(xué)生對弧長的曲線積分的定義與計算。教學(xué)重點對弧長的曲線積分的計算。教學(xué)難點對弧長的曲線積分的計算。課型專業(yè)基礎(chǔ)課教法選擇講授教學(xué)過程教法運用及板書要點我們已經(jīng)把定積分的概念推廣到了重積分，被積函數(shù)是二元函數(shù)或三元函數(shù)，積分區(qū)域是平面區(qū)域或空間區(qū)域，積分概念還可以推廣到曲線積分和曲面積分。本章將介紹曲線積分、曲面積分的概念、應(yīng)用、計算方法，以及它們和重積分之間的聯(lián)系。一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)金屬曲線的質(zhì)量設(shè)有一有限長的金屬曲線C，其上不均勻地分布著質(zhì)量，因此金屬曲線C的線密度是變量。設(shè)其在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L它的端點是A,B,在L上任一點處，它的線密度為，現(xiàn)在要計算這金屬曲線C的質(zhì)量M.把曲線分成n小段,s1,s2,,sn(si也表示弧長);任取(xi,hi)si,得第i小段質(zhì)量的近似值，于是整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為;令l=max{s1,s2,,sn}0,則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為.這種和的極限在研究其它問題時也會遇到.定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧,函數(shù)f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一點列A1,A2,,An1把L分在n個小段.設(shè)第i個小段的長度為si,又(xi,hi)為第i個小段上任意取定的一點,作乘積f(xi,hi)si,(i=1,2,,n),并作和,如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值l0,這和式的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分,記作,即.其中叫做被積函數(shù),L叫做積分弧段.曲線積分的存在性:當(dāng)在光滑曲線弧L上連續(xù)時,對弧長的曲線積分是存在的.以后我們總假定在L上是連續(xù)的.根據(jù)對弧長的曲線積分的定義,曲線C的質(zhì)量就是曲線積分的值,其中(x,y)為線密度.對弧長的曲線積分的推廣到積分弧段為空間曲線的情況:.如果L(或)是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2,則規(guī)定.閉曲線積分:如果L是閉曲線,那么函數(shù)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作.對弧長的曲線積分的性質(zhì):性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則;性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2則性質(zhì)3設(shè)在L上f(xy)g(xy)則特別地有二、對弧長的曲線積分的計算法若曲線L的參數(shù)方程為xj(t),yy(t)(atb),則質(zhì)量元素為,曲線的質(zhì)量為.即.定理設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù),L的參數(shù)方程為其中在[a,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則曲線積分存在,且（1）應(yīng)注意的問題:定積分的下限a一定要小于上限b.討論:(1)若曲線L的方程為則.（2）(2)若曲線L的方程為則.（3）(3)若曲G的方程為，，則（4）例8.1計算，其中L為橢圓在第一象限的部分。解：由公式：計算,其中L是拋物線y=x2上點與點之間的一段弧.解：由得，由公式（2）可知計算，L為連接三點，，的直線段。解：計算曲線積分,其中G為螺旋線，，的第一圈（上相應(yīng)于t從0到達(dá)2的一段弧.）解：，由（4）式有練習(xí)：計算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為1)解取坐標(biāo)系如圖所示,則.曲線L的參數(shù)方程為x=Rcosq,y=Rsinq(-aq<a).于是=R3(a-sinacosa).小結(jié):用曲線積分解決問題的步驟: