全微分方程的解法名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

恰當(dāng)方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程解法第1頁第2頁

一、概念若有全微分形式則稱為全微分方程。定義:例1：所以是全微分方程.方程是否為全微分方程？解：通解則為（C為任意常數(shù)）。第3頁第4頁問題:（1）怎樣判斷全微分方程？（2）怎樣求解全微分方程？（3）怎樣轉(zhuǎn)化為全微分方程？定理1設(shè)函數(shù)

和

在一個(gè)矩形區(qū)域是全微分方程中連續(xù)且有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則

（1）證實(shí)必要性

證實(shí)：

因?yàn)槭侨⒎址匠蹋?頁則存在原函數(shù)，使得

所以

將以上二式分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得到

又因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)連續(xù)，

，即

所以

第6頁（2）證實(shí)充分性

設(shè)

，求一個(gè)二元函數(shù)使它滿足

即由第一個(gè)等式，應(yīng)有

代入第二個(gè)等式，應(yīng)有

這里第7頁所以，則所以能夠取此時(shí)

這里因?yàn)?，故曲線積分與路徑無關(guān)。所以第8頁

二、全微分方程解法(1)線積分法:或(2)偏積分法第一個(gè)等式對積分

第9頁代入第二個(gè)等式求

，即可得

(3)湊微分法直接湊微分得

例2：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它通解。因?yàn)?/p>

解：第10頁所以方程為全微分方程。(1)線積分法:故通解為第11頁(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有代入可得所以從而即第12頁(3)湊微分法:因?yàn)?/p>

方程通解為：依據(jù)二元函數(shù)微分經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為第13頁例3：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它通解。

因?yàn)?/p>

解：

所以方程為全微分方程。(1)線積分法:第14頁故通解為(2)偏積分法:假設(shè)所求全微分函數(shù)為,則有

所以從而即第15頁(3)湊微分法:方程通解為：依據(jù)二元函數(shù)微分經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為練習(xí)：驗(yàn)證方程是全微分方程，并求它通解。方程通解為：

第16頁積分因子法

一、概念

二、積分因子求法第17頁一、定義:0),(1yxm連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成為全.微分方程則稱),(yxm為方程積分因子.例1驗(yàn)證是方程積分因子，并求方程通解。

解：是全微分方程。方程通解為第18頁1.公式法:求解不輕易特殊地:(兩邊同除)a.當(dāng)只與相關(guān)時(shí)，

二、積分因子求法第19頁b.當(dāng)只與相關(guān)時(shí)，第20頁2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見全微分表示式第21頁普通可選取積分因子有等?？蛇x取積分因子有可選取積分因子有第22頁例2解則原方程成為.通解求微分方程1.公式法:原方程通解為第23頁2.觀察法:將方程左端