最優(yōu)控制習(xí)題集與參考答案解析

最優(yōu)控制習(xí)題及參考答案習(xí)題1求通過x(0)=1,x(1)=2，使下列性能指標(biāo)為極值的曲線：J=1tf(X2+l)dtt0解：由已知條件知：t0=0，tf=1d由歐拉方程得：工(2x)=0dtx=C1x=Ct+C12將x(0)=1,x(1)=2代入，有:C2=1，C1=1得極值軌線：x*(t)=t+1習(xí)題2求性能指標(biāo)：習(xí)題2求性能指標(biāo)：1(x2+1)dt0在邊界條件x(0)=0，x(1)是自由情況下的極值曲線。解：由上題得：x*(t)=C1t+C2由x(0)=0得：C2=0dL>t由——=2x(t)=2C=0>tfit=tdxt=tf于是：x*(t)=0【分析討論】對于任意的x(0)=x0,x(1)自由。1161223411612234有:C2=x0，q=o，即：x*(t)=x)其幾何意義：x(1)自由意味著終點(diǎn)在虛線上任意點(diǎn)。習(xí)題3已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x(t)=x(t)，x(t)=u(t)邊界條件為：x1(0)=x2(0)=1，x1(3)=x2(3)=0，f31試求使性能指標(biāo)J=U20(t)dt2取極小值的最優(yōu)控制u*(t)以及最優(yōu)軌線x*(t)。Jx解：由已知條件知：f=1|2,Iu1Hamiton函數(shù)：H=L+入Tf1H=U2+入x+入u［入=0由協(xié)態(tài)方程：L入=入21［入=c得：L1入=1ct+cdH212由控制方程：=u+入=0du2得:u=入2=qt由狀態(tài)方程xo=u=Ct211得：x(t)=_Ct2221由狀態(tài)方程:x=x121得：x(t)=_Ct3C2Ct+C231Ct2+Ct+Cx2=x2=xx2=x2=xnpi將x(0)=,x(3)=代入④,⑤,U10聯(lián)立解得：c,C2=2,C3=C4==119234由③、④、⑤式得：u*(t)=10t-29x；(t)=27t3-12+t+ix*(t)=t2—2t+129習(xí)題4已知系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x=u，x(0)=1試確定最優(yōu)控制使下列性能指標(biāo)取極小值。J=J1(x2+U2)e2tdt解：H=X2e2t+U2e2t+入ux=u列方程：｛入=2x^L2e2tu+入=0由③得，U一1e2t入由③得，U一1e2t入代入①得，1e2t入2t入+e2t入將②，③代入，并考慮至ux1e(2xe2t)+e(2e2tx)整理可得:x+2xx=014141414特征方程S2+2s1=0s=1+話2,s=1(212于是得：x*(t)=cesit+c黑入*(t2e2tI①=2e2tX入*(t)=2e2t(Cssit+Cses2t)11e22由x(0)=1，得：C1+C2=1⑤由入?)=入(1)=0得:Cse訂+Cses=0⑥⑤、⑥聯(lián)立，可得c、C2求導(dǎo)代回原方程可得X*—U*(略)習(xí)題5求使系統(tǒng)：x=x，x=u由初始狀態(tài)X1(0)=X2(0)=出發(fā)，在tf=1時轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集0x(1)+x(1)=1，并使性能指標(biāo)J=1ju2(t)dt122o為最小值的最優(yōu)控制u*(t)及相應(yīng)的最優(yōu)軌線X*(t)。解：本題f(i)，L(i)與習(xí)題3同，故H(i)相同一方程同一通解同"CMX"CMX=1Ct3Ct+C12Ct2+Ct+C有：｛161223X=1Ct2Ct+C222123222123u=CtC1200000!x(°)=創(chuàng)，有:C3=C4=0年⑴均⑴"有:11C1+1CC=162C1年⑴均⑴"有:11C1+1CC=162C123221C=12231d申劉T由入(1)=+-Y=0,屮=x+xdxdx12有：入⑴=I'Y=0n入(1)=入⑴于是:C』C+C1122C=C12②、③聯(lián)立，得:C1=-,36于是：u*=t+77t3+t2736_t2+_t147x*1、C2=-習(xí)題6已知一階系統(tǒng)：x(t)=-x(t)+u(t)，x(0)=3(1)試確定最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)在f=2時轉(zhuǎn)移到x(2)=0，并使性能泛函J=f2(1+U2)dt=minx*2(2)如果使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到X(t)=0的終端時間tf自由，問U*(t)應(yīng)如何確定？解：H=1+u2+入uAxf解：H=1+u2+入uAxfx=x+u列方程：入=入l2u+入=0由協(xié)態(tài)方程得：入=Ce1由控制方程：u=:ce211X=—X1Ce12代入狀態(tài)方程：t=x(t)=Ce2t①tf=2，x(2)=0①②-1C-et41fC\24Ce2I211C=31Ce2=0413e3e411C=3411t—Cef=0f4112解得：C=14e-1et代入②得：u*(t)=-②x(tf)=2,tf自由e4-1fC2Ce2H(t)=0If解得：Ci406=0.325當(dāng)當(dāng)C2<2時，代入④當(dāng)當(dāng)C2<2時，代入④u*(t)=-0.162et習(xí)題7設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x(t)=u(t)，x(0)=1試確定最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)J=t+~Jfu2dtf20為極小，其中終端時間tf未定，x(tf)=0。1解：H=_U2+入u2由協(xié)態(tài)方程得：入=0由控制方程u+入=0tu=C1由狀態(tài)方程X=u=Cnx(t)=Ct+C112由始端：x(0)=1由末端：x(t由末端：x(tf)=01f考慮到：H(tf考慮到：H(tf)=ddff1有：一u2+入口=有:21C2C2有：tf1_1——=C1邁012501252101250125212時，代入④當(dāng)C=11有：t==—，不合題意，故有C=；2fC<2i1最優(yōu)控制u*=―弋2習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程及初始條件為x1(t)=x2(t)，x1(0)=2x2(t)=u(t)，x(O)=1性能指標(biāo)為J=612234x=1612234x=1Ct2Ct+C2123u=Ct1C22o要求達(dá)到x(tf)=O，試求：(1)t=5時的最優(yōu)控制u*(t)；(2)tf自由時的最優(yōu)控制u*(t)；解：本題f(i)，L(i)，H(i)與前同，故有f入=C11入2=唱+印Ct2+Ct+C12122121222323CC+5C+C=023425C+C=0①由x(0)=x(5)=0，得：11L」625C21

聯(lián)立得：C=0.432,C=1.28，=u*=0.4321.2812②tf聯(lián)立得：C=0.432,C=1.28，=u*=0.4321.2812②tf自由fc=11c=21c3t3f-61f1ct2t2if1ct2+c+c=°C+C=0lH(tf)=°聯(lián)立有：c2t22c+2=°t無論c為何值，t均無實(shí)解。習(xí)題92f2f給定二階系統(tǒng)1x(t)=x(t)+11x(0)=-1并使控制約束為u(t)F124x2(t)=u(t)，x114(°)=一41-，要求最優(yōu)控制U*(t)，使系統(tǒng)在t=t時轉(zhuǎn)移到x(t)=0，2fJ=Jtfu2(t)dt=min其中tf自由。1解：H=U2+入x+1入+入u1入入<i本題屬最小能量問題，因此：u*(t)={2入>121入<1(22［入=0t入=C由協(xié)態(tài)方程:111L入=入t入=Ct+C21212

入2是t的直線函數(shù)。111當(dāng)U*(t)=__=Ct—時(試取)入C2212x(t)=12212x(t)=1Ct212211Ct+C24x(t)=1C屯11Ct2+t+Ct+C421121由始端條件tC=C=341由末端條件tCt3t34412+1t+1=0121f]121f]ct2F41C+1=041f41f另：H(tf)=022f41聯(lián)立解得C=一，C=0,t=3

129入f于是，入—1ta2=1時，t<02=9［入=1時,t=92在t從0T3段，入2IV1滿足條件。01234t習(xí)題10設(shè)二階系統(tǒng)x1(t)=x1(t)+u(t)，x1(0)=1x2(t)=x1(t)，x2(0)=0控制約束為u(t)|<1，當(dāng)系統(tǒng)終端自由時，求最優(yōu)控制u*(t)，使性能指標(biāo)J=2x1(1)+x2(1)取極小值，并求最優(yōu)軌線x*(t)。解：由題意，f「x+u「12￥=x+x,L=0，nH=入u入解：由題意，f「x+u「12Lxi」由控制方程可得：=f+1I［入=入由控制方程可得：=f+1I［入=入由協(xié)態(tài)方程可得：ii由入(t)=fdx(t)f入=0「hLi」入＜0入〉0i入n入=Cet+C2i2in入=c2inC=i，C故:u*=1tw[o,ii2[入=eti+1T在t＞0的范圍內(nèi)入＞1n\11l入=12若需計(jì)算最優(yōu)軌線，只需把u*=1代入狀態(tài)方程，可得fx*(t)=2t1lx*(t)=2ett+22習(xí)題11設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為I23323I23323x1(t)=x2(t)，x1(0)=x10x(t)=u(t)，x(0)=x2220性能指標(biāo)為J=1?(4X2+U2)dt201試用調(diào)節(jié)器方法確定最優(yōu)控制u*(t)。[0inPi解：由已知條件得A=B=IPGJU'[4P

nQ=IP[0inPi解：由已知條件得A=B=IPGJU'[4P

nQ=IPPR=1?/[bAB]=[P111_l,二可控一一最優(yōu)解存在0J考慮到Q=[4100n力【2p]=DrD故D=[2G]0J10JDn[2Pn二閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定LDAIG2J由Riccati方程^