人教版高中數(shù)學(xué)必修系列10球(第一課時(shí))21473

球4課時(shí)?從容說課本節(jié)在學(xué)生對(duì)圓的認(rèn)識(shí)及掌握的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)了球及球的性質(zhì),理解并學(xué)會(huì)了求兩點(diǎn)間的球面距離的方法,利用“分割——求近似和——化為準(zhǔn)確和〞的思想方法推導(dǎo)出了球的體積公式和表面積公式,從中體會(huì)到這種重要的數(shù)學(xué)思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用.通過幾個(gè)有關(guān)幾何體的接切的簡(jiǎn)單問題,啟發(fā)學(xué)生歸納總結(jié)處理這類問題的方法和技巧;通過幾個(gè)與球有關(guān)的綜合問題的分析,使學(xué)生能夠根據(jù)問題的特點(diǎn),真正體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想與方法,進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是球及球的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的球面距離、球的體積公式及表面積公式的應(yīng)用、幾何體的接切問題和綜合問題的分析與處理;難點(diǎn)是對(duì)球上兩點(diǎn)間的球面距離的定義的理解及其求法、“分割——求近似和——化為準(zhǔn)確和〞的思想方法的體會(huì)與領(lǐng)悟、與球有關(guān)的綜合問題的方法和技巧.教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的方法學(xué)習(xí)球的定義及性質(zhì)、通過多媒體課件的動(dòng)態(tài)演示幫助學(xué)生理解兩點(diǎn)間的球面距離的本質(zhì),指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在“分割——求近似和——化為準(zhǔn)確和〞的過程中所表達(dá)的這種重要的思想和方法,將有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分知識(shí)和近代數(shù)學(xué)知識(shí).在對(duì)幾何體相接切問題的分析與處理過程中,啟發(fā)學(xué)生歸納得出:一般情況下,需要通過作一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛?實(shí)現(xiàn)由立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題去解決.通過與學(xué)生共同分析討論幾個(gè)綜合問題,逐步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.?課題球〔一〕?教學(xué)目標(biāo)〔一〕教學(xué)知識(shí)點(diǎn).球的定義..球心、球的半徑、球的直徑的定義..球的性質(zhì)..地球上某地點(diǎn)的經(jīng)緯度..兩點(diǎn)的球面距離.〔二〕能力訓(xùn)練要求.使學(xué)生具體直觀地了解球的定義..使學(xué)生了解球的球心、球的半徑、球的直徑等定義..使學(xué)生熟練掌握球的性質(zhì)..使學(xué)生掌握求兩點(diǎn)的球面距離的方法.〔三〕德育滲透目標(biāo).體會(huì)客觀世界中事物與事物之間普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)..培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的思想分析解決問題..培養(yǎng)學(xué)生不斷地認(rèn)識(shí)世界、改造世界的探索精神.?教學(xué)重點(diǎn).球的定義..球的性質(zhì).?教學(xué)難點(diǎn)球上兩點(diǎn)的球面距離的求法.?教學(xué)方法指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法在教學(xué)球的定義及其性質(zhì)時(shí)，由于球是平面圖形圓在空間的延伸，所以可以讓學(xué)生通過回憶圓的定義與性質(zhì)，結(jié)合三維空間的情況，在教師的指導(dǎo)下，用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的思想歸納論證球的定義及性質(zhì).在探討兩點(diǎn)的球面距離時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生作以線段AB為公共弦的假設(shè)干個(gè)圓，觀察這些圓中所對(duì)劣弧的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)較大圓中AB弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)較小,從而為更清楚地理解兩點(diǎn)的球面距離的概念作準(zhǔn)備.?教具準(zhǔn)備多媒體課件三個(gè).第一個(gè)：作一半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，演示旋轉(zhuǎn)成球面的過程，讓學(xué)生可以直觀形象地體會(huì)球的定義，接著作出課本P65圖9-89中的球心。，球的半徑OG球的直徑AB.〔讓這些字母、線段閃動(dòng)起來〕〔記作9.9.1A)第二個(gè)：在講球的性質(zhì)時(shí)，作課本P65圖9-90,即用平面ɑ去截球0,得截面圓0’,此時(shí)學(xué)生可以直觀地描述出球的性質(zhì)，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用知識(shí)對(duì)這些球的性質(zhì)一一推理論證.〔隨著學(xué)習(xí)的深入，師生共同利用課件的演示完成對(duì)這些性質(zhì)的證明〕〔記作B)第三個(gè)：用一個(gè)平面從過球面上的兩點(diǎn)A、B的三個(gè)不同角度去切球，得到空間中的過A、B兩點(diǎn)的三個(gè)圓，然后把這三個(gè)圓以公共弦AB為軸轉(zhuǎn)到一個(gè)平面上，通過比較過A、B兩點(diǎn)的劣弧的大小，發(fā)現(xiàn)圓越大，過A、B兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)就越小，至此，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.即可得：過A、B兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧最短.〔記作9.C)?教學(xué)過程I.課題導(dǎo)入［師］生活中我們常常見到許多形如球狀的物體，例如：足球、乒乓球、滾球等，那么如何給球下定義？球具有哪些性質(zhì)呢？今天，我們就來解決這些問題.II.講授新課［師］初中，我們對(duì)圓進(jìn)行了詳細(xì)深入的學(xué)習(xí)，已掌握了圓的定義及其性質(zhì)，那么，圓與球有什么聯(lián)系呢？〔學(xué)生思考、體會(huì)，可能難于表達(dá)，教師應(yīng)給予提示〕［生］球是平面圖形圓在空間的延伸.［師］請(qǐng)大家對(duì)初中圓的定義進(jìn)行回憶.［生］平面內(nèi)，一條線段繞著它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓.［師］能結(jié)合三維空間的情況猜想出球的定義嗎？［生］半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.〔教師演示課件9.9.1A,指出球心0、球半徑0G、球直徑AB，并板書球的定義〕［師］用集合的觀點(diǎn)理解圓，又可表述為〔拉長(zhǎng)聲音…〕［生］平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.［師］好，請(qǐng)同學(xué)們判斷：在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合，就是球.〔大多數(shù)學(xué)生能找出以上命題的錯(cuò)誤之處，但也有一部分同學(xué)對(duì)球概念掌握得不好，教師應(yīng)及時(shí)強(qiáng)調(diào)球與球面的區(qū)別，講清：球面僅僅指球的表面，而球即球體不僅包括球的表面同時(shí)還包括球面所包圍的空間，因此應(yīng)改為“球面是在空間到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合〞〕［師］圓具有哪些性質(zhì)呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚉w納總結(jié)出來.〔學(xué)生思考、歸納、總結(jié)以下性質(zhì)，假設(shè)寫不夠，教師加以補(bǔ)充〕①同圓或等圓的半徑相等，直徑是半徑的兩倍.②與弦垂直的直徑過弦的中點(diǎn).③連結(jié)圓心和弦中點(diǎn)的直線垂直于弦.④圓半徑的平方=圓心到弦的距離平方+弦長(zhǎng)一半的平方.⑤不過圓心的弦小于直徑，經(jīng)過圓心的弦是直徑，且直徑是最大的弦.〔教師板書以上圓的性質(zhì)〕［師］怎樣將圓的這些性質(zhì)與球聯(lián)系起來呢？〔學(xué)生假設(shè)有困難，教師適當(dāng)點(diǎn)撥〕［生］對(duì)于任一球O來說，用一平面ɑ去截這個(gè)球a那么截面是圓面，就可以將圓與球的性質(zhì)聯(lián)系起來了.〔教師演示課件B)［師］結(jié)合圓的性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們互相討論，用聯(lián)系的觀點(diǎn)、類比的思想歸納出球所具有的性質(zhì).〔學(xué)生思考，可寫出以下性質(zhì)〕①,同球或等球的半徑相等，直徑是半徑的兩倍.②’與截面垂直的直徑過截面圓的圓心.③‘連結(jié)球心和截面圓心的直線垂直于截面.④,球半徑的平方=球心到截面圓的距離的平方+截面圓的半徑的平方.⑤,不過球心的截面截得的是球的小圓；經(jīng)過球心的截面截得的是球的大圓，且大圓是最大的截面圓.〔教師板書以上球的性質(zhì)〕［師］以上歸納球的性質(zhì)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)只要將圓性質(zhì)中的“圓〞改成“球〞，將“弦〞改成“截面〞就可以將圓性質(zhì)變?yōu)榍蛐再|(zhì)了.這些性質(zhì)雖然很直觀，但大家一定要從理論上能熟練地進(jìn)行推理論證.下面，就性質(zhì)③’,即“連結(jié)球心和截面圓心的直線垂直于截面〃進(jìn)行論證.〔教師查看，學(xué)生觀察課件B,進(jìn)行思考〕［生］設(shè)截面圓。的半徑為r,作截面圓。的兩條直徑AB、CD.?.?OA=OB,AO'=BO'=r,???OO'⊥AB.同理，得OO'⊥CD.?，?OO‘，平面ABC.對(duì)于性質(zhì)④,，假設(shè)設(shè)球半徑為足球心到截面圓的距離為d,截面圓的半徑為r,那么有R2=d2+r2,即r=*R2—d2.當(dāng)d=0時(shí)，截面過球心，此時(shí)截面面積最大，此圓叫球的大圓.當(dāng)0<d<R⑤/.那么，當(dāng)d=R時(shí)，平面與球是什么位置關(guān)系呢？［生］相切.［師］好，對(duì)于性質(zhì)④,常常是解決有關(guān)球問題的關(guān)鍵，希望同學(xué)們要牢牢掌握r、R及d之間的這種關(guān)系.現(xiàn)在,請(qǐng)大家觀察課下預(yù)備的地球儀,可以得到：當(dāng)我們把地球看作一個(gè)球時(shí),經(jīng)線就是球面上從北極到南極的半個(gè)大圓,赤道是一個(gè)大圓,其余的緯線都是小圓.請(qǐng)同學(xué)們思考：如何理解地球上某一地點(diǎn)的經(jīng)緯度？〔學(xué)生思考,教師作出示意圖〕［生］某點(diǎn)的經(jīng)度是指經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0°經(jīng)線和地軸確定的半平面所成的二面角度數(shù).wqrτi某點(diǎn)的緯度是指經(jīng)過這點(diǎn)的球半徑與赤道面所成角的度數(shù).［師］如圖〔1〕中P點(diǎn)的經(jīng)度是∠AOB的度數(shù)或月片的度數(shù).如圖〔2〕中P點(diǎn)的緯度是∠POA的度數(shù)或PA的度數(shù).北^^北極經(jīng)0^地軸 ■地軸L赤道 O赤道AL>D下面，請(qǐng)同學(xué)們翻開課本P66的例1，)自己學(xué)習(xí).〔學(xué)生自學(xué)，教師查看、指導(dǎo)〕［師］剛才同學(xué)們自學(xué)了例1,解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出北緯40°的那個(gè)角.在日常生活中，常常見到的飛機(jī)總是盡可能以大圓弧為航線航行，這是為什么呢?〔學(xué)生思考、討論，可能有以下回答，教師應(yīng)加以引導(dǎo)〕［生甲］飛機(jī)在繞遠(yuǎn)道.［生乙］飛機(jī)應(yīng)該沒有繞遠(yuǎn)道，因?yàn)檫@樣浪費(fèi)燃料.［生丙］因受到氣流的影響.［師］試想飛機(jī)選擇航線的主要標(biāo)準(zhǔn)是什么？［生］行程〔距離〕盡可能短.［師］那么怎樣的航線距離最短或盡可能最短呢？這就是有關(guān)地球上兩點(diǎn)間的最短距離問題.〔學(xué)生沉思……，教師要不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生回憶有關(guān)的距離問題〕［師］以前我們提到的有關(guān)“距離〃有哪些？［生］兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、異面直線的距離、平行直線間的距離、平行于平面的直線與平面間的距離、平行平面間的距離.［師］它們的共同特點(diǎn)是什么？［生丁］都是一條線段的長(zhǎng).［生戊］最小性.［生己］唯一性.［師］生丁、生戊、生己說得都很好，那么球面上兩點(diǎn)間的距離是否與前面的距離相同呢？〔學(xué)生經(jīng)過思考會(huì)找出不同點(diǎn)，即球面上兩點(diǎn)間的距離不是線段〕那么“繞遠(yuǎn)道〃，即球面距離到底是怎么一回事呢？現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們以線段AB為弦作出假設(shè)千圓，觀察這些圖中AB弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？〔學(xué)生動(dòng)手做，教師巡視〕［生］較大的圓中AB弦所對(duì)的劣弧的長(zhǎng)較小.［師］好，請(qǐng)繼續(xù)觀察以下這一課件，進(jìn)一步體會(huì)兩點(diǎn)間的球面距離的含義.〔演示課件9.C)［生］從課件的演示中發(fā)現(xiàn)：在地球上過A、B兩點(diǎn)的大圓在這兩個(gè)點(diǎn)間的劣弧最短.［師］至此，同學(xué)們可以猜想兩點(diǎn)間的球面距離的本質(zhì)了，請(qǐng)嘗試表達(dá).［生］在球面上，兩點(diǎn)之間的最短距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧的長(zhǎng)度.這條弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)間的球面距離.［師］清楚了兩點(diǎn)間的球面距離，那么我們就可以去求地球上任兩點(diǎn)間的球面距離了.根據(jù)兩點(diǎn)的球面距離概念可知：假設(shè)設(shè)球面上兩點(diǎn)之間的球心角為α弧度，球半徑為R那么球面上兩點(diǎn)間的距離為Iα|?R.請(qǐng)同學(xué)們思考以下問題：.請(qǐng)你在地球儀上任意地找出兩個(gè)地點(diǎn)，再想辦法求出它們之間的球面距離..由問題1，你能歸納出求兩點(diǎn)球面距離的關(guān)鍵是什么嗎？〔學(xué)生觀察地球儀，尋找兩地點(diǎn)并計(jì)算，教師巡視〕［師］對(duì)于問題1中的“任意兩地點(diǎn)〞如何理解呢？［生］這兩地點(diǎn)可以是經(jīng)度相同緯度不同，可以是緯度相同經(jīng)度不同，還可以是經(jīng)度不同緯度也不同三種情況.［師］很好，哪位同學(xué)具體地表達(dá)一下上面三種情況的求法呢？［生］對(duì)于求經(jīng)度相同緯度不同的兩地間的球面距離的方法是將緯度差的絕對(duì)值乘以地球半徑.對(duì)于求緯度相同經(jīng)度不同的兩地間的球面距離的方法是先求緯度圈〔小圓〕中的弦長(zhǎng)，再在大圓中求出這兩點(diǎn)的球心角，化為弧度，利用l=∣α∣?廠可求得.對(duì)于求經(jīng)緯度都不同的兩地間的球面距離的方法是用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)，再求出這兩點(diǎn)的球心角，化為弧度，利用l=∣α∣?廠可求得.〔板書〕［師］通過自己動(dòng)手計(jì)算推理分別得到了三種不同情況的兩點(diǎn)球面距離的求法，對(duì)于前兩種即經(jīng)度相同緯度不同或緯度相同經(jīng)度不同的兩點(diǎn)球面距離的求法，要求大家熟練掌握.第三種情況即求經(jīng)緯度都不相同的兩點(diǎn)球面距離不作硬性要求.由問題1的分析解決，對(duì)于問題2已很簡(jiǎn)單明顯了，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié).［生］求兩點(diǎn)球面距離的關(guān)鍵是先求出過此兩點(diǎn)的大圓的劣弧所對(duì)的圓心角〔球心角〕.［師］下面我們繼續(xù)練習(xí)思考.m.課堂練習(xí)課本P62練習(xí)1、2.R,用一個(gè)平面截球，使截面圓的半徑為R,截面與球心的距離是多少？- R233答案：d=：R2---=-R.4 2A、B兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差60°,求它們的球面距離〔地球半徑約6370km,精確到