不等式恒成立問題的基本類型及常用解法

不等式恒成立問題基本類型及常用解法類型1：設(shè)f(x)=ax+bf(m)a0f(x)>0在x€m,n」上恒成立二丿f(n)a。f(m)Y0f(x)V0在x€m,n」上恒成立u」 .f(n)yo2例1.設(shè)y=(log2x)+(t-2)log 2X-t+1,若t在[-2,2]上變化，y恒取正值，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解：設(shè)f(t)=y=(log 2X-1)t+(log 2X)2-2log2X+1,t€[-2,2]問題轉(zhuǎn)化為：f(t)>0對(duì)t€[-2,2]恒成立(―2)a。二丿f(2)A0r- 2(log2x)—4log2x=3A。二丿2,(log2x)—1^0二0Vxv 或x>8。21故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(0,—)U(8,+s)。2121例2.對(duì)于-Kaw1,求使不等式(1)xax<(丄)2xaJ恒成立的x的取值范圍。22解：原不等式等價(jià)于 x2+ax<2x+a-1在a€[-1,1]上恒成立.設(shè)f(a)=(x-1)a+x2-2x+1,則f(a)是a的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，要使f(a)>0在a€[-1,1]上恒成立，則須滿足f(-1廠0 ,2-x^o丿 二」c 二x>2或x<0」(1)AOx2-3x+2》0故實(shí)數(shù)的取值范圍是(-8,0)U(2,+8).類型2：設(shè)f(x)=ax2+bx+c(0)f(x)>0在x€R上恒成立ua>0且△<0;f(x)v0在x€R上恒成立av0且△<0.說(shuō)明：①.只適用于一兀二次不等式②.若未指明二次項(xiàng)系數(shù)不等于 0,注意分類討論?2x+2mx+m例3.不等式——2 v1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。4x+6x+32 323解：由4x+6x+3=(2x+ )+ >0,對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，從而，原不等式等價(jià)于2 4222x+2mx+nv4x+6x+3,(x€R)即：2x2+(6-2m)x+(3-m) >0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立。貝^△=(6-2m)2-8(3-m)v0解得：1vmv3故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1,3)。類型3:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(0)(1)當(dāng)a>0時(shí)f(x)>0在x€m,n1上恒成立b.- <mf(x)>0在x€m,n1上恒成立b.- <m\2a 或」bmy_ yn2a 或“J(m)A0占yo—bn

2af(n) 0b

m

2af(m)-0b或△<o或」2af(n)f(x)v0在x€m,n1上恒成立：二[f(m)0

f(n)yo(2) 當(dāng)av0時(shí)f(x)>f(x)>0在x€m,n1上恒成立f(m)-0f(n)一0f(x)v0在x€m,n1上恒成立b..m卡

或J(m^02aYbm-——2ao門或*2a』(n)yobb..m

2af(m) 0b__n或△<0或2af(n)0說(shuō)明：只適用于一元二次不等式類型4：a>f(x)恒成立對(duì)x€D恒成立a>f(x)max，avf(x)對(duì)x€D恒成立=aVf(x)min.說(shuō)明：①.f(x)可以是任意函數(shù)f(x)不存②.這種思路是：首先是---分離變量，其次用---極端值原理。把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，若在最值，可求出f(x)f(x)不存x+2x+a r例4.(2000.上海)已知f(x)= >0在x€1,r上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。x分析1:當(dāng)x€ 時(shí)，f(x)>0恒成立，等價(jià)于x2+2x+a>0恒成立，只需求出g(x)=x2+2x+a在1,■::上的最小值，使最小值大于 0即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。x?+2x+a r解法1：Vf(x)= >0對(duì)x€1,?::恒成立=x2+2x+a>0對(duì)x€1,亠「］恒成立。設(shè)g(x)=x2+2x+ax€1,：：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為：g(x)min>0g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,x€1,亠］.g(x)在1,?::上是增函數(shù)。-g(x)min=g(1)=3+a3+a>0ua>-3即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>-3。分析2:分離變量，轉(zhuǎn)化為a>f(x)或avf(x)恒成立問題,然后利用極端值原理： a>f(x)恒成立：=a>f(x)maxaVf(x)恒成立二 aVf(x)min.2x+2x+a r解法2：vf(x)= >0對(duì)x€1,?::恒成立ux2+2x+a>0對(duì)x€1,亠「］恒成立。二a>-(x2+2x)對(duì)x€1,?::恒成立。設(shè):(x)=-(x2+2x) x€1,"八問題轉(zhuǎn)化為：a>:(x)max(x)=-(x2+2x)=-(x+1)2+1x€1.(x)在1,?::上是減函數(shù)。：(x)max=⑴二3a>-3即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>-3。例5.已知x€-：：,11時(shí),不等式1+2x+(a-a2).4x>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：要求a的取值范圍，如何構(gòu)造關(guān)于a的不等式是關(guān)鍵，利用分離變量的方法可達(dá)到目的。解：設(shè)2x=t,?/x€［.7叮1,t€0,212 —t原不等式可化為：a-a> —.t2要使上式對(duì)t€0,21恒成立，只需:2 /—t—1、a-a>(—2—)t2-t-1 1 121=-(_+_)+_2 /—t—1、a-a>(—2—)t2-t-1 1 121=-(_+_)+_t2max■t€0,21t2-t-1) _3t2 42 3--a-a>-—4即：4a-4a-3v0\o"CurrentDocument"3從而-vav2類型5:①.f(x)>g(x)對(duì)任意②.f(xi)>g(X2)對(duì)任意x€D恒成立xi、X2€D恒成立12例6已知f(x)=-x3+ax，其中a€R,g(x)=-x2，且f(x)vg(x)2在x€0,11上恒成立，求實(shí)數(shù)分析：有的同學(xué)把"f(x)vg(x)在x€0,1上恒成立”轉(zhuǎn)化為："當(dāng)x€0,11時(shí)，f(x)maxvga的取值范圍。(x)min，”然后求出f(x)maxvg(x)另一邊是x的函數(shù)-x+ax+—xv0對(duì)x€0,1】恒成立我們先來(lái)看一個(gè)例子，如圖，當(dāng) x€[0,1]時(shí)，f(X)max=0,g(x)min=-1，并不滿足min顯然這種轉(zhuǎn)化方式是不對(duì)的。 錯(cuò)在哪里呢？原因在于用分離變量方法得到的不等式一邊是參數(shù)，關(guān)系式。而此題解法中的不等式，兩邊都是關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，所以上面這種轉(zhuǎn)化方式是錯(cuò)的。正確的方法是先分離變量，再利用極端值原理。解：f(x)vg(x)在x€0,11上恒成立二avx2-」x2對(duì)x€0,11恒成立2設(shè)h(x)=x2-1x2x€0,112

問題轉(zhuǎn)化為：aVh(X)minh&=2x- 1 2八皿2*14^x1由h/(x)=0，得x=4)丄)時(shí)h(X)v0,h(x)在fc,1［遞減I4丿 I4丿3/?h(x)在x=二時(shí)取最小值，h(x)min=—4 163???av -16例7.已知兩個(gè)函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中kR若對(duì)任意的x?[-