線性規(guī)劃及單純形法課件

第二章

線性規(guī)劃及單純形法§1線性規(guī)劃問題及模型§2圖解法§3單純形方法及大M法§4線性規(guī)劃應用舉例分析1第二章線性規(guī)劃及單純形法§1線性規(guī)劃問題及模型1§1問題的提出例1.某工廠在計劃期內要安排Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表：問題：工廠應分別生產(chǎn)多少單位Ⅰ、Ⅱ產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？線性規(guī)劃模型：目標函數(shù)：Maxz=50x1+100x2約束條件：s.t.x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1,x2≥02§1問題的提出例1.某工廠在計劃期內要安排Ⅰ、Ⅱ兩線性規(guī)劃的組成要素：目標函數(shù)MaxF或MinF約束條件s.t.(subjectto)滿足于決策變量用符號來表示可控制的因素建模步驟1.理解要解決的問題，了解解題的目標和條件；2.定義決策變量（x1，x2，…，xn），每一組值表示一個方案；3.用決策變量的線性函數(shù)形式寫出目標函數(shù)，確定最大化或最小化目標；4.用一組決策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件3線性規(guī)劃的組成要素：3一般形式目標函數(shù)：Max（Min）z=c1x1+c2x2+…+cnxn約束條件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn

≤（=,≥）b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn

≤（=,≥）b2…………

am1x1+am2x2+…+amnxn

≤（=,≥）bm

x1，x2，…，xn≥04一般形式4對于只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題，可以在平面直角坐標系上作圖表示線性規(guī)劃問題的有關概念，并求解。下面通過例1詳細講解其方法。例1.目標函數(shù)：Maxz=50x1+100x2約束條件：s.t.x1+x2≤300(A)2x1+x2≤400(B)x2≤250(C)x1≥0(D)x2≥0(E)§2圖解法5對于只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題，可以在平面直角坐標系上作（1）畫出線性規(guī)劃問題的可行域，如圖所示。x1x2x2=0x1=0x2=250x1+x2=3002x1+x2=400圖16（1）畫出線性規(guī)劃問題的可行域，如圖所示。x1x2x2=0x（2）目標函數(shù)z=50x1+100x2，當z取某一固定值時得到一條直線，直線上的每一點都具有相同的目標函數(shù)值，稱之為“等值線”。平行移動等值線，當移動到B點時，z在可行域內實現(xiàn)了最大化。得到最優(yōu)解：x1=50，x2=250，最優(yōu)目標值z=27500x1x2z=20000=50x1+100x2圖2z=27500=50x1+100x2z=0=50x1+100x2z=10000=50x1+100x2CBADE7（2）目標函數(shù)z=50x1+100x2，當z取某一固定值時得例2某公司由于生產(chǎn)需要，共需要A，B兩種原料至少350噸（A，B兩種材料有一定替代性），其中A原料至少購進125噸。但由于A，B兩種原料的規(guī)格不同，各自所需的加工時間也是不同的，加工每噸A原料需要2個小時，加工每噸B原料需要1小時，而公司總共有600個加工小時。又知道每噸A原料的價格為2萬元，每噸B原料的價格為3萬元，試問在滿足生產(chǎn)需要的前提下，在公司加工能力的范圍內，如何購買A，B兩種原料，使得購進成本最低？8例2某公司由于生產(chǎn)需要，共需要A，B兩種原料至少3解：目標函數(shù)：Minf=2x1+3x2約束條件：s.t.x1+x2≥350x1≥

1252x1+x2≤

600x1,x2≥0采用圖解法。如下圖：得Q點坐標（250，100）為最優(yōu)解。100200300400500600100200300400600500x1=125x1+x2=3502x1+3x2=8002x1+3x2=9002x1+x2=6002x1+3x2=1200x1x2Q9解：目標函數(shù)：Minf=2x1+3x21重要結論：如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，則一定有一個可行域的頂點對應一個最優(yōu)解；無窮多個最優(yōu)解。若將例1中的目標函數(shù)變?yōu)閙axz=50x1+50x2，則線段BC上的所有點都代表了最優(yōu)解；無界解。即可行域的范圍延伸到無窮遠，目標函數(shù)值可以無窮大或無窮小。一般來說，這說明模型有錯，忽略了一些必要的約束條件；無可行解。若在例1的數(shù)學模型中再增加一個約束條件4x1+3x2≥1200，則可行域為空域，不存在滿足約束條件的解，當然也就不存在最優(yōu)解了。10重要結論：10線性規(guī)劃的標準化——引入松馳變量（含義是資源的剩余量）例1中引入s1，s2，s3模型化為目標函數(shù)：Maxz=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3約束條件：s.t.x1+x2+s1=3002x1+x2+s2=400x2+s3=

250x1,x2,s1,s2,s3≥0

對于最優(yōu)解

x1=50x2=250，s1=0s2=50s3=0說明：生產(chǎn)50單位Ⅰ產(chǎn)品和250單位Ⅱ產(chǎn)品將消耗完所有可能的設備臺時數(shù)及原料B，但對原料A則還剩余50千克。11線性規(guī)劃的標準化——引入松馳變量（含義是資源的剩余量）11線性規(guī)劃的標準化線性規(guī)劃標準形式目標函數(shù)：Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn約束條件：s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2…………

am1x1+am2x2+…+amnxn

=bm

x1，x2，…，xn≥0，bi≥012線性規(guī)劃的標準化12

可以看出，線性規(guī)劃的標準形式有如下四個特點：目標最大化；約束為等式；決策變量均非負；右端項非負。對于各種非標準形式的線性規(guī)劃問題，我們總可以通過以下變換，將其轉化為標準形式:13可以看出，線性規(guī)劃的標準形式有如下四個特131.極小化目標函數(shù)的問題：設目標函數(shù)為Minf=c1x1

+c2x2

+…+cnxn

(可以)令z＝-f，則該極小化問題與下面的極大化問題有相同的最優(yōu)解，即Maxz=-c1x1

-c2x2-…-cnxn

但必須注意，盡管以上兩個問題的最優(yōu)解相同，但它們最優(yōu)解的目標函數(shù)值卻相差一個符號，即Minf＝-Maxz141.極小化目標函數(shù)的問題：142、約束條件不是等式的問題：設約束條件為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn

≤bi可以引進一個新的變量s，使它等于約束右邊與左邊之差

s=bi–(ai1x1

+ai2x2

+…+ainxn

)顯然，s也具有非負約束，即s≥0，這時新的約束條件成為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn+s=bi152、約束條件不是等式的問題：15當約束條件為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn

≥bi時，類似地令

s=(ai1x1+ai2x2+…+ainxn)-bi

顯然，s也具有非負約束，即s≥0，這時新的約束條件成為

ai1x1+ai2x2+…+ainxn-s=bi16當約束條件為16為了使約束由不等式成為等式而引進的變量s,當不等式為“小于等于”時稱為“松弛變量”；當不等式為“大于等于”時稱為“剩余變量”。如果原問題中有若干個非等式約束，則將其轉化為標準形式時，必須對各個約束引進不同的松弛變量。

3.右端項有負值的問題：

在標準形式中，要求右端項必須每一個分量非負。當某一個右端項系數(shù)為負時，如bi<0，則把該等式約束兩端同時乘以-1，得到：-ai1x1-ai2x2-…-ainxn

=-bi。17為了使約束由不等式成為等式而引進的變量s,當3.右端例：將以下線性規(guī)劃問題轉化為標準形式

Minf=2x1-3x2+4x3s.t.3x1

+4x2-5x3≤62x1+x3≥8

x1+x2+x3=-9

x1,x2,x3

≥0

解：首先,將目標函數(shù)轉換成極大化：令z=-f=-2x1+3x2-4x3

其次考慮約束，有2個不等式約束，引進松弛變量x4，x5

≥0。第三個約束條件的右端值為負，在等式兩邊同時乘-1。18例：將以下線性規(guī)劃問題轉化為標準形式

18通過以上變換，可以得到以下標準形式的線性規(guī)劃問題：Maxz=-2x1

+3x2-4x3s.t.3x1+4x2-5x3+x4=62x1+x3-x5=8-x1-x2-x3=9

x1,x2,x3,x4,x5

≥0

在標準形式中，必須每一個變量均有非負約束。當某一個變量xj沒有非負約束時，可以令

xj=xj’-xj”其中

xj’≥0，xj”≥0即用兩個非負變量之差來表示一個無符號限制的變量，當然xj的符號取決于xj’和xj”的大小。19通過以上變換，可以得到以下標準形式的線性規(guī)劃問題：19§3單純形方法及大M法單純形法的基本思路和原理單純形法的表格形式求目標函數(shù)值最小的線性規(guī)劃的問題的單純形表解法幾種特殊情況20§3單純形方法及大M法單純形法的基本思路和原理201單純形法的基本思路和原理單純形法的基本思路：從可行域中某一個頂點開始，判斷此頂點是否是最優(yōu)解，如不是,則再找另一個使得其目標函數(shù)值更優(yōu)的頂點，稱之為迭代，再判斷此點是否是最優(yōu)解。直到找到一個頂點為其最優(yōu)解，就是使得其目標函數(shù)值最優(yōu)的解，或者能判斷出線性規(guī)劃問題無最優(yōu)解為止。通過第二章例1的求解來介紹單純形法:在加上松弛變量之后我們可得到標準型如下：目標函數(shù)：max50x1+100x2

約束條件：x1+x2+s1=300，2x1+x2+s2=400，x2+s3=250.xj≥0（j=1，2）,sj≥0（j=1，2,3）211單純形法的基本思路和原理單純形法的基本思路：從可它的系數(shù)矩陣,

其中pj為系數(shù)矩陣A第j列的向量。A的秩為3,A的秩m小于此方程組的變量的個數(shù)n，為了找到一個初始基本可行解，先介紹以下幾個線性規(guī)劃的基本概念。

基：已知A是約束條件的m×n系數(shù)矩陣，其秩為m。若B是A中m×m階非奇異子矩陣（即可逆矩陣），則稱B是線性規(guī)劃問題中的一個基。基向量：基B中的一列即稱為一個基向量?；鵅中共有m個基向量。非基向量：在A中除了基B之外的一列則稱之為基B的非基向量?；兞浚号c基向量pi相應的變量xi叫基變量，基變量有m個。22它的系數(shù)矩陣,22非基變量：與非基向量pj相應的變量xj叫非基變量，非基變量有n－m個。由線性代數(shù)的知識知道，如果我們在約束方程組系數(shù)矩陣中找到一個基，令這個基的非基變量為零，再求解這個m元線性方程組就可得到唯一的解了，這個解我們稱之為線性規(guī)劃的基本解。在此例中我們不妨找到了

為A的一個基，令這個基的

非基變量x１，s2為零。這時約束方程就變?yōu)榛兞康募s束方程：

23非基變量：與非基向量pj相應的變量xj叫非基變量，非基變量有x2+s1＝300，x2=400，x2+s3=250.求解得到此線性規(guī)劃的一個基本解：x1=0，x2=400，s1=－100，s2=0，s3=－150由于在這個基本解中s1=－100，s3=－150，不滿足該線性規(guī)劃s1≥0，s3≥0的約束條件，顯然不是此線性規(guī)劃的可行解，一個基本解可以是可行解，也可以是非可行解，它們之間的主要區(qū)別在于其所有變量的解是否滿足非負的條件。我們把滿足非負條件的一個基本解叫做基本可行解，并把這樣的基叫做可行基。24x2+s1＝300，24一般來說判斷一個基是否是可行基，只有在求出其基本解以后，當其基本解所有變量的解都是大于等于零，才能斷定這個解是基本可行解，這個基是可行基。那么我們能否在求解之前，就找到一個可行基呢？也就是說我們找到的一個基能保證在求解之后得到的解一定是基本可行解呢？由于在線性規(guī)劃的標準型中要求bj都大于等于零，如果我們能找到一個基是單位矩陣，或者說一個基是由單位矩陣的各列向量所組成（至于各列向量的前后順序是無關緊要的事）例如，那么顯然所求得的基本解一定是基本可行解，這個單位矩陣或由單位矩陣各列向量組成的基一定是可行基。實際上這個基本可行解中的各個變量或等于某個bj或等于零。

25一般來說判斷一個基是否是可行基，只有在求出其基本解以在本例題中我們就找到了一個基是單位矩陣。在第一次找可行基時，所找到的基或為單位矩陣或為由單位矩陣的各列向量所組成，稱之為初始可行基，其相應的基本可行解叫初始基本可行解。如果找不到單位矩陣或由單位矩陣的各列向量組成的基作為初始可行基，我們將構造初始可行基，具體做法在以后詳細講述。26在本例題中我們就找到了一個基是單位矩陣。26二、最優(yōu)性檢驗所謂最優(yōu)性檢驗就是判斷已求得的基本可行解是否是最優(yōu)解。1.最優(yōu)性檢驗的依據(jù)——檢驗數(shù)σj一般來說目標函數(shù)中既包括基變量，又包括非基變量。現(xiàn)在我們要求只用非基變量來表示目標函數(shù)，這只要在約束等式中通過移項等處理就可以用非基變量來表示基變量，然后用非基變量的表示式代替目標函數(shù)中基變量，這樣目標函數(shù)中只含有非基變量了，或者說目標函數(shù)中基變量的系數(shù)都為零了。此時目標函數(shù)中所有變量的系數(shù)即為各變量的檢驗數(shù)，把變量xi的檢驗數(shù)記為σi。顯然所有基變量的檢驗數(shù)必為零。在本例題中目標函數(shù)為50x1+100x2。由于初始可行解中x1，x2為非基變量，所以此目標函數(shù)已經(jīng)用非基變量表示了，不需要再代換出基變量了。這樣我們可知σ1=50，σ2=100，σ3=0，σ4=0，σ5=0。27二、最優(yōu)性檢驗272.最優(yōu)解判別定理對于求最大目標函數(shù)的問題中，對于某個基本可行解，如果所有檢驗數(shù)≤0，則這個基本可行解是最優(yōu)解。下面我們用通俗的說法來解釋最優(yōu)解判別定理。設用非基變量表示的目標函數(shù)為如下形式

由于所有的xj的取值范圍為大于等于零，當所有的都小于等于零時，可知是一個小于等于零的數(shù)，要使z的值最大，顯然只有為零。我們把這些xj取為非基變量(即令這些xj的值為零)，所求得的基本可行解就使目標函數(shù)值最大為z0。**對于求目標函數(shù)最小值的情況，只需把≤0改為≥0282.最優(yōu)解判別定理28三、基變換通過檢驗，我們知道這個初始基本可行解不是最優(yōu)解。下面介紹如何進行基變換找到一個新的可行基，具體的做法是從可行基中換一個列向量，得到一個新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目標函數(shù)值更優(yōu)。為了換基就要確定換入變量與換出變量。1.入基變量的確定從最優(yōu)解判別定理知道，當某個σj＞0時，非基變量xj變?yōu)榛兞坎蝗×阒悼梢允鼓繕撕瘮?shù)值增大，故我們要選基檢驗數(shù)大于0的非基變量換到基變量中去（稱之為入基變量）。若有兩個以上的σj＞0，則為了使目標函數(shù)增加得更大些，一般選其中的σj最大者的非基變量為入基變量，在本例題中σ2=100是檢驗數(shù)中最大的正數(shù)，故選x2為入基變量。29三、基變換292.出基變量的確定在確定了x2為入基變量之后，我們要在原來的3個基變量s1，s2，s3中確定一個出基變量，也就是確定哪一個基變量變成非基變量呢？

如果把s3作為出基變量，則新的基變量為x2，s1，s2，因為非基變量x1=s3=0，我們也可以從下式：x2+s1=300，x2+s2=400，x2=250，求出基本解：x1=0，x2=250，s1=50，s2=150，s3=0。因為此解滿足非負條件，是基本可行解，故s3可以確定為出基變量。能否在求出基本解以前來確定出基變量呢？以下就來看在找出了初始基本可行解和確定了入基變量之后，怎么樣的基變量可以確定為出基變量呢？或者說出基變量要具有什么條件呢？

302.出基變量的確定30我們把確定出基變量的方法概括如下：把已確定的入基變量在各約束方程中的正的系數(shù)除以其所在約束方程中的常數(shù)項的值，把其中最小比值所在的約束方程中的原基變量確定為出基變量。這樣在下一步迭代的矩陣變換中可以確保新得到的bj值都大于等于零。在本例題中約束方程為

在第二步中已經(jīng)知道x2為入基變量，我們把各約束方程中x2的為正的系數(shù)除對應的常量，得

31我們把確定出基變量的方法概括如下：把已確定的入基變量其中的值最小，所以可以知道在原基變量中系數(shù)向量為

的基變量s3為出基變量，這樣可知x2，s1，s2為基變量，x1，s3為非基變量。令非基變量為零，得x2+s1=300,x2+s2=400,x2=250.求解得到新的基本可行解x1=0,x2=250,s1=50,s2=150.這時目標函數(shù)值為50x1+100x2=50×0+100×250=25000。顯然比初始基本可行解x1=0,x2=0,s1=300,s3=250時的目標函數(shù)值為0要好得多。下面我們再進行檢驗其最優(yōu)性，如果不是最優(yōu)解還要繼續(xù)進行基變換，直至找到最優(yōu)解，或者能夠判斷出線性規(guī)劃無最優(yōu)解為止。3232在講解單純形法的表格形式之前，先從一般數(shù)學模型里推導出檢驗數(shù)的表達式?？尚谢鶠閙階單位矩陣的線性規(guī)劃模型如下（假設其系數(shù)矩陣的前m列是單位矩陣）：以下用表示基變量，用表示非基變量。33在講解單純形法的表格形式之前，先從一般數(shù)學模把第i個約束方程移項，就可以用非基變量來表示基變量xi，把以上的表達式帶入目標函數(shù)，就有其中：34把第i個約束方程移項，就可以用非基變量來表示基變量上面假設x1,x2,…xm是基變量，即第i行約束方程的基變量正好是xi，而經(jīng)過迭代后，基將發(fā)生變化，計算zj的式子也會發(fā)生變化。如果迭代后的第i行約束方程中的基變量為xBi，與xBi相應的目標函數(shù)系數(shù)為cBi，系數(shù)列向量為則其中，(cB)是由第1列第m行各約束方程中的基變量相應的目標函數(shù)依次組成的有序行向量。單純形法的表格形式是把用單純形法求出基本可行解、檢驗其最優(yōu)性、迭代某步驟都用表格的方式來計算求出，其表格的形式有些像增廣矩陣，而其計算的方法也大體上使用矩陣的行的初等變換。以下用單純形表格來求解第二章的例1。max50x1+100x2+0·s1+0·s2+0·s3.x1+x2+s1=300，2x1+x2+s2=400，x2+s3=250，x1,x2,s1,s2,s3≥0.把上面的數(shù)據(jù)填入如下的單純形表格35上面假設x1,x2,…xm是基變量，即第i行約按照線性規(guī)劃模型在表中填入相對應的值，如上表所示；在上表中有一個m*m的單位矩陣，對應的基變量為s1,s2,s3；在zj行中填入第j列與cB列中對應的元素相乘相加所得的值，如z2=0*1+0*1+0*1=0，所在zi行中的第2位數(shù)填入0；在行中填入cj-zj所得的值，如；z表示把初始基本可行解代入目標函數(shù)求得的目標函數(shù)值，即b列*cB列；初始基本可行解為s1=300,s2=400,s3=250,x1=0,x2=0;由于250/1最小，因此確定s3為出基變量；由于，因此確定x2為入基變量。出基變量所在行，入基變量所在列的交匯處為主元，這里是a32=1，在表中畫圈以示區(qū)別。迭代次數(shù)基變量cBx1x2s3s4s5b比值Bi/ai2501000000s1s2s3000111002101001001300400250300/1400/1250/150100000z=036迭代次數(shù)基變量cBx1x2以下進行第一次迭代，其變量為x2,s1,s2,通過矩陣行的初等變換，求出一個新的基本可行解，具體的做法用行的初等變換使得x2的系數(shù)向量p2變換成單位向量，由于主元在p2的第3分量上，所以這個單位向量是也就是主元素變成1。這樣我們又得到的第1次迭代的單純表如下所示。在上表中第3個基變量s1已被x2代替，故基變量列中的第3個基變量應變?yōu)閤2。由于第0次迭代表中的主元a32已經(jīng)為1，因此第3行不變。為了使第1行的a12為0，只需把第3行*(-1)加到第1行即可。同樣可以求得第2行。求得第1次迭代的基本可行解為s1=50,s2=150,x2=250,x1=0,s3=0,z=25000.迭代次數(shù)基變量cBx1x2s3s4s5b比值bi/aij501000001s1s2x2001001010-12001-1010015015025050/1150/2—50000-1002500037以下進行第一次迭代，其變量為x2,s1,s2,通過矩陣行的初從上表可以看出，第一次迭代的，因此不是最優(yōu)解。設x1為入基變量，從此值可知b1/a11=50為最小正數(shù)，因此，s1為出基變量，a11為主元，繼續(xù)迭代如下表所示。從上表中可知第二次迭代得到的基本可行解為x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,這時z=27500。由于檢驗數(shù)都<0，因此所求得的基本可行解為最優(yōu)解，z=27500為最優(yōu)目標函數(shù)值。實際上，我們可以連續(xù)地使用一個單純形表，不必一次迭代重畫一個表頭。迭代次數(shù)基變量cBx1x2s3s4s5b比值bi/aij501000002x1s2x25001001010-100-211010015050250

00-500-502750038從上表可以看出，第一次迭代的以例2來講解如何用單純形表的方法求解目標函數(shù)值最小的線性規(guī)劃問題。目標函數(shù)：約束條件：加入松弛變量和剩余變量變?yōu)闃藴市?，得到新的約束條件如下：

大M法

39以例2來講解如何用單純形表的方法求解目標函數(shù)值最小的線性規(guī)劃

至于目標函數(shù)，在標準型中并不一定要求求最大值或最小值，但是為了使單純形表解法有一個統(tǒng)一的解法，我們把所有求目標函數(shù)最小值的問題化成求目標函數(shù)最大值的問題。具體做法只要把目標函數(shù)乘以（－1）。

要注意到人工變量是與松弛、剩余變量不同的。松弛變量、剩余變量它們可以取零值，也可以取正值，而人工變量只能取零值。一旦人工變量取正值，那么有人工變量的約束方程和原始的約束方程就不等價了，這樣所求得的解就不是原線性規(guī)劃的解了。為了竭盡全力地要求人工變量為零，我們規(guī)定人工變量在目標函數(shù)中的系數(shù)為－M，這里M為任意大的數(shù)。這樣只要人工變量M＞0，所求的目標函數(shù)最大值就是一個任意小的數(shù)。這樣為了使目標函數(shù)實現(xiàn)最大就必須把人工變量從基變量中換出。如果一直到最后，人工變量仍不能從基變量中換出，也就是說人工變量仍不為零，則該問題無可行解。40至于目標函數(shù)，在標準型中并不一定要求求最大值或最小此例的數(shù)學模型如下所示：目標函數(shù)：maxz=－2x1－3x2－Ma1－Ma2.

約束條件：x1+x2－s1+a1=350，x1－s2+a2=125，2x1+x2+s3=600，x1，x2，s1，s2，s3，a1，a2≥0.像這樣，為了構造初始可行基得到初始可行解，把人工變量“強行”地加到原來的約束方程中去，又為了盡力地把人工變量從基變量中替換出來就令人工變量在求最大值的目標函數(shù)里的系數(shù)為－M，這個方法叫做大M法，M叫做罰因子。

41此例的數(shù)學模型如下所示：41下面我們就用大M法來求解此題:迭代次數(shù)基變量cBx1x2s1s2s3a1a2b比值-2-3000-M-M0a1a2a3-M-10012100100350125600350/1125/1600/2zj-2M-MMM0-M-M-2+2M-3+M-M-M000-475M1a1x2s3-M-2001-1001-1100-1001010210-2225125350225-----350/2zj

-2-MM-M+20-M-M-20-3+M-MM-2002-2M-225M-2502a1x1s2-M-2001/2-10-1/21011/2001/20001/20111/2300/1/2175/1/2zj

-2-1/2M-1M01/2M-1-M001/2M-2-M0-1/2M+10-M-50M-60042下面我們就用大M法來求解此題:迭代次數(shù)基變量cBx1從上表中可知檢驗數(shù)都小于零。已求得最優(yōu)解為：x1=250,x2=100,s1=0,s2=125,s3=0,a1=0,a2=0，其最優(yōu)值為f=-z=-(-800)=800。迭代次數(shù)基變量cBx1x2s1s2s3a1a2b比值

-2-3000-M-M3x2x1s2-3-2001-20-12010101-1000111-1-1100250125

zj

-2-3401-4000-40-1-M+4-M

-80043迭代次數(shù)基變量cBx1x2二、兩階段法兩階段法是處理人工變量的另一種方法，這種方法是將加入人工變量后的線性規(guī)劃劃分兩階段求解，仍以上面的例題為例，闡述兩階段法的求解過程。第一階段：要判斷原線性規(guī)劃是否有基可行解，方法是先求解下列線性規(guī)劃問題：目標函數(shù)：約束條件：44二、兩階段法44

注意：此線性規(guī)劃的約束條件與原線性規(guī)劃一樣，而目標函數(shù)是求人工變量的相反數(shù)之和的最大值。如果此值大于零，則不存在使所有人工變量都為零的可行解，停止計算。如果此值為零，即說明存在一個可行解，使得所有的人工變量都為零。第二階段：將第一階段的最終單純形表中的人工變量取消，將目標函數(shù)換成原問題的目標函數(shù)，把此可行解作為初始可行解進行計算。45注意：此線性規(guī)劃的約束條件與原線性規(guī)迭代次數(shù)基變量cBx1x2s1s2s3a1a2b比值-2-3000-1-10a1a2s3-1-1011-10010100-10012100100350125600350/1125/1600/2zj-2-1110-1-1-21-1-1000-4701a1x1s3-10001-1101-1100-1001010210-2225125350zj

0-11-10-1101-110022252x2x1s300001-11010100-100100111-1-1225125125zj

000000000000-1-1046迭代次數(shù)基變量cBx1x2迭代次數(shù)基變量cBx1x2s1s2s3b比值-2-30000x2x1s3-3-2001-110100-1001021225125125225/1125/2zj-2-33-1000-310-9251x2x1s2-3-2001-20-11010100111100250125zj

-2-340100-40-1-800從表中可知其基本可行解x1=250,x2=100,s1=0,s2=125,s3=0是本例的最優(yōu)解，其最優(yōu)值為z=-(-800)=800。47迭代次數(shù)基變量cBx1x2

一、無可行解例1、用單純形表求解下列線性規(guī)劃問題解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量、剩余變量、人工變量得到：填入單純形表計算得：48一、無可行解解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量、剩余變迭代次數(shù)基變量CBx1x2s1s2s3a1b比值2030000-M0s1s2a100-M31010001001001100-111503040150/10—40/1zjcj-zj-M-M00M-M20+M30+M00-M0-40M1x2s2a1300-M3/1011/100001001007/100-1/100-1115302515/(3/10)30/125/(7/10)zjcj-zj9-7/10M303+M/100M-M11+7/10M0-3-M/100-M0450-25M2x2x1a13020-M011/10-3/100010010000-1/10-7/10-116304zjcj-zj20303+M/1011+7M/10M-M00-3-M/10-11-7M/10-M0780-4M49迭代次數(shù)基變量CBx1x2

從第二次迭代的檢驗數(shù)都小于零來看，可知第2次迭代所得的基本可行解已經(jīng)是最優(yōu)解了，其最大的目標函數(shù)值為780-4M。我們把最優(yōu)解x1=30,x2=6,s1=0,s2=0,s3=0,a1=4,代入第三個約束方程得x1+x2-0+4=40,即有：x1+x2=36≤40.并不滿足原來的約束條件3，可知原線性規(guī)劃問題無可行解，或者說其可行解域為空集，當然更不可能有最優(yōu)解了。像這樣只要求線性規(guī)劃的最優(yōu)解里有人工變量大于零，則此線性規(guī)劃無可行解。二、無界解在求目標函數(shù)最大值的問題中，所謂無界解是指在約束條件下目標函數(shù)值可以取任意的大。下面我們用單純形表來求第二章中的例子。例2、用單純形表求解下面線性規(guī)劃問題。

50從第二次迭代的檢驗數(shù)都小于零來看，可知第2

迭代次數(shù)基變量CBx1x2s1s2b比值11000s1s2001-110-3201161—zjcj-zj0000110001x1s2101-1100-13119zjcj-zj1-11002-101填入單純形表計算得：解：在上述問題的約束條件中加入松馳變量，得標準型如下：51迭代次數(shù)基變量CBx1x2

從單純形表中，從第一次迭代的檢驗數(shù)等于2，可知所得的基本可行解x1=1,x2=0,s1=0,s2=9不是最優(yōu)解。同時我們也知道如果進行第2次迭代，那么就選x2為入基變量，但是在選擇出基變量時遇到了問題：=-1,=-1,找不到大于零的來確定出基變量。事實上如果我們碰到這種情況就可以斷定這個線性規(guī)劃問題是無界的，也就是說在此線性規(guī)劃的約束條件下，此目標函數(shù)值可以取得無限大。從1次迭代的單純形表中，得到約束方程：移項可得：52從單純形表中，從第一次迭代的檢驗數(shù)等于2，

由于M可以是任意大的正數(shù)，可知此目標函數(shù)值無界。上述的例子告訴了我們在單純形表中識別線性規(guī)劃問題是無界的方法：在某次迭代的單純形表中，如果存在著一個大于零的檢驗數(shù)，并且該列的系數(shù)向量的每個元素aij(i=1,2,…,m)都小于或等于零，則此線性規(guī)劃問題是無界的，一般地說此類問題的出現(xiàn)是由于建模的錯誤所引起的。三、無窮多最優(yōu)解例3、用單純形法表求解下面的線性規(guī)劃問題。53由于M可以是任意大的正數(shù)，可知此目標函數(shù)值

解：此題我們用圖解法已求了解，現(xiàn)在用單純形表來求解。填入單純形表計算得：54解：此題我們用圖解法已求了解，現(xiàn)在用單純形表來求解迭代次數(shù)基變量CBx1x2s1s2s3b比值50500000s1s2s3000111002101001001300400250300/1400/1250/1zjcj-zj00000505000001s1s2x200501010-12001-1010015015025050/1150/2—zjcj-zj0500050500000125002x1s2x2500501010-100-211010015050250—50/1250/1zjcj-zj5050500000-50001500055迭代次數(shù)基變量CBx1x2

這樣我們求得了最優(yōu)解為x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此線性規(guī)劃的最優(yōu)值為15000。這個最優(yōu)解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的檢驗數(shù)中除了基變量的檢驗數(shù)等于零外，非基變量s3的檢驗數(shù)也等于零，這樣我們可以斷定此線性規(guī)劃問題有無窮多最優(yōu)解。不妨我們把檢驗數(shù)也為零的非基變量選為入基變量進行第3次迭代?？汕蟮昧硪粋€基本可行解，如下表所示：迭代次數(shù)基變量CBx1x2s1s2s3b50500003x1s3x25005010-11000-21101