新教材數學人教A版教案5-1任意角和弧度制5-1-2弧度制

5.1任意角和弧度制【素養(yǎng)目標】1．掌握弧度與角度的互化，熟悉特殊角的弧度數．（數學運算）2．掌握弧度制中扇形的弧長和面積公式及公式的簡單應用．（數學運算）3．根據弧度制與角度制的互化以及弧度制條件下扇形的弧長和面積公式，體會引入弧度制的必要性．（邏輯推理）【學法解讀】本節(jié)在學習中把抽象問題直觀化，即借助扇形理解弧度概念，在學角度與弧度換算時巧借，學生可提升自己的數學抽象及數學運算的素養(yǎng)．5.1.2弧度制（1）角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制.②度的角：周角的為度角，記作.（2）弧度制①定義：以弧度為單位來度量角的單位制.②弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做弧度的角.③表示方法：弧度記作.思考1：圓心角所對應的弧長與半徑的壁紙是否是唯一的確定的？提示：一定大小的圓心角的弧度數是所對弧長與半徑的壁紙，是唯一確定的，與半徑大小無關.一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是.如果半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數的絕對值時.思考2：（1）建立弧度制的意義時什么？（2）對于角度制和弧度制，在具體的應用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規(guī)范的？提示：（1）在弧度制下，角的集合與實數之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數（即這個角的弧度數）與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應.（2）角度制與弧度制是兩種不同的度量制度，在表示角時不能混用，例如，等寫法都是不規(guī)范的，應寫為，.（1）周角的弧度數是，而在角度制下的度數是，于是，即根據以上關系式就可以進行弧度與角度的換算了.弧度與角度的換算公式如下：若一個角的弧度數為，角度數為，則，.（2）常用特殊值的弧度數（3）角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集之間建立起一一對應關系：每一個角都有唯一的一個實數（即這個角的弧度數）與它對應；反過來，任一個實數也都有唯一的一個角（即弧度數等于這個實數的角）與它對應.思考3：（1）角度制與弧度制在進制上有何區(qū)別？（2）弧度數與角度數之間有何等量關系？提示：（1）角度制是六十進制，而弧度制是十進制的實數.（2）弧度數角度數；角度數弧度數.（1）弧長公式在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則，變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的單位是弧度.（2）扇形面積公式由圓心角為的扇形面積為，而弧長為的扇形的圓心角大小為，故其面積為，將代入上式可得，此公式稱為扇形面積公式.思考4：（1）弧度制下弧長公式及扇形面積公式有哪些常用變形形式？（2）弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可以解決哪些問題？體現了什么數學思想？提示：（1）①；②；③；④.（2）由弧度制下的弧長公式及扇形面積公式可知，對于，，，四個量，可“知二求二”.這實質上是方程思想的應用.說法中正確的是（）A.弧度是度的圓心角所對的弧B.弧度是長度為半徑長的弧C.弧度是度的弧與度的角之和D.弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位答案：D解析：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度的角，弧度是角的一種度量單位，不是長度的度量單位.故ABC錯誤，D正確.2.化為弧度是（）A.B.C.D.答案：B解析：轉化為弧度制為.半徑為的圓上，有一條弧的長是，則該弧所對的圓心角的弧度數是.答案：解析：根據弧長公式即可得弧所對的圓心角的弧度數是.，則的終邊所在的象限為（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：因為，所以的終邊在第三象限.5.（1）將表示成，，的形式為.（2）已知角的終邊與角的終邊相同，則在內與角的終邊相同的角為.答案：（1）；（2），，.解析：（1）因為，，所以.（2）因為角的終邊與角的終邊相同，所以，所以.又，所以，故當分別為，，時，分別為，，，都滿足條件.題型一角度與弧度的換算及應用例1設，.（1）將用弧度表示出來，并指出它的終邊所在的象限；（2）用用角度表述出來，并在內找出與它們終邊相同的所有的角.答案：見解析解析：（1）∵，∴，∴的終邊在第二象限.（2），設.∵，∴，∴或.∴在內與終邊相同的角是.[歸納提升]角度制與弧度制互化的關鍵與方法（1）關鍵：抓住互化公式是關鍵.（2）方法：度數弧度數；弧度數度數.（3）角度化弧度時，應先將分、秒化成度，再化成弧度.（4）角度化為弧度時，其結果寫成的形式，沒特殊要求不必化成小數.【對點練習】①設、、、.（1）將、用弧度制表示出來，并指出它們各自所在的象限；（2）用、用角度制表示出來，并指出它們各自所在象限.答案：見解析解析：（1）∵，∴，∴，.∴在第二象限，在第一象限.（2），，∴在第二象限，在第四象限.題型二用弧度制表示給定區(qū)域角的集合例2用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角的集合.[分析]本題考查區(qū)域角的表示，關鍵是要確定好區(qū)域的起止邊界.[解析]（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為.（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為.[歸納提升]解答本題時常犯以下三種錯誤.（1）弧度與角度混用.（2）終邊在同一條直線上的角未合并.（3）將圖①中所求的角的集合錯誤地寫成，這是一個空集.對于區(qū)域角的書寫，一定要看其區(qū)間是否跨越軸的正半軸，若區(qū)間跨越軸的正半軸，則在“前面”的角用負角表示，“后面”的角用正角表示；若區(qū)間不跨越軸的正半軸，則無須這樣寫.【對點練習】②用弧度制表示頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界），如圖所示.[解析]（1）用和的終邊分別對應和，所表示的區(qū)域位于與之間且跨越軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為.（2）和的終邊分別對應和，所表示的區(qū)域位于與之間且跨越軸的正半軸，所以終邊落在陰影部分的角的集合為.題型三弧長公式和扇形面積公式的應用角度1弧度數的確定例3（2020·山西省呂梁市月考）如圖所示，已知的一條弧的長等于該圓內接正三角形的邊長，則從順時針旋轉到所形成的角的弧度數是（）A.B.C.D.答案：D解析：設的半徑為，其內接正三角形為，如圖所示，過作于點，則為邊中點，∵，，，∴邊長，∴的長.又是負角，∴.角度2扇形面積、弧長的計算例4（2020·東北師大附中單元測試）已知扇形的周長是，面積為，那么這個扇形的圓心角的弧度數（圓心角為正）為.答案：或解析：設這個扇形的半徑為，弧長為，圓心角的弧度數為，由題意得，解得或，當，時，，符合題意；當，時，，符合題意.綜上所述，這個扇形的圓心角的弧度數為或.[歸納提升]1.運用扇形弧長及面積公式時應滿足的問題.（1）由扇形的弧長及面積公式可知，對于，，，中“知二求三”的問題，其實質上是方程思想的運用.（2）運用弧度制下扇形的弧長公式與面積公式比用角度制下的公式要簡單得多.若角是以“度”為單位的，則必須先將其化為弧度，再計算.（3）在運用公式時，還應熟練掌握下面幾個公式.①，，；②，.2.解決扇形的周長或面積的最值問題的關鍵是運用函數思想，把要求的最值問題轉化為求函數的最值即可.【對點練習】②（1）一個扇形的面積為，弧長為，則這個扇形的圓心角為（）A.B.C.D.（2）（2019·廈門期末）若一扇子的弧長等于其所在圓的內接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數為（）A.B.C.D.答案（1）D；（2）C.解答：（1）設扇形的圓心角為，半徑為，則，解得.故扇形的圓心角為.（2）設圓的直徑的，則圓內接正方形的邊長為.∵扇子的弧長等于其所在圓的內接正方形的邊長，∴扇子的弧長等于，∴圓心角的弧度數為.角度和弧度混用致錯例5求終邊在如圖所示陰影部分（不包括邊界）內的角的集合.[錯解一].[錯解二].[錯因分析]錯解一中，若給賦一個值，集合中不等式右邊的角反而小于左邊的角.錯解二中，同一不等式中混用了角度制與弧度制.[正解]，也可寫成.[方法點撥]同一個問題（或題目）中使用的度量單位要統(tǒng)一，要么用角度制單位，要么用弧度制單位，不能將兩者混用.數學文化題的功能時傳播數學文化，所以一般來說難度較小，解決此類為題的關鍵是理解題意，按照題中的方法解決問題.例5《九章算術》是我國古代數