第03課不等式及其性質(zhì)（學(xué)案）（原卷版）

第03課不等式及其性質(zhì)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點逐點突破經(jīng)典學(xué)案考試要求：1.理解用作差法比較兩個實數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.一、【考點逐點突破】【考點1】作差法比較兩個實數(shù)的大小eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))【典例】已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，則M，N的大小關(guān)系為________．【考點2】作商法比較兩個實數(shù)的大小eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))【典例】若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c【考點3】傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.【典例】(多選)設(shè)a>b>1>c>0，下列四個結(jié)論正確的是()A.eq\f(1,ac)>eq\f(1,bc)B．bac>abcC．(1－c)a<(1－c)bD．logb(a＋c)>loga(b＋c)【考點4】同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.【典例】(多選)下列命題中，不正確的是()A．若a>b，c>d，則ac>bdB．若ac>bc，則a>bC．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則|a|＋b<0D．若a>b，c>d，則a－c>b－d【考點5】可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.【典例】下列命題為真命題的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a<b<0，則a2<ab<b2C．若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)<eq\f(b,c－b)D．若a>b>c>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)【考點6】可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1).【典例】下列四個命題中，正確命題的個數(shù)為()①若a>|b|，則a2>b2；②若a>b，c>d，則a－c>b－d；③若a>b，c>d，則ac>bd；④若a>b>0，則eq\f(c,a)>eq\f(c,b).A．3 B．2C．1 D．0【考點7】可開方性：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).【典例】若a，b都是實數(shù)，則“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點8】若a>b>0，m>0，則eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).【典例】(多選)設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)eq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)) B．eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC．eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．a(chǎn)c2<bc2【考點9】若ab>0，則a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【典例】(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2【考點10】線性代數(shù)式取值范圍【典例】已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________．【考點11】分?jǐn)?shù)型代數(shù)式取值范圍【典例】已知3<a<8,4<b<9，則eq\f(a,b)的取值范圍是________．【考點12】證明不等式【典例】(1)若bc－ad≥0，bd＞0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c＞a＞b＞0，求證：eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b).【考點13】不等式的實際應(yīng)用【典例】古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈，稱為黃金分割比例))，著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是eq\f(\r(5)－1,2).若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是()A．165cm B．175cmC．185cm D．190cm二、【考點教材拓廣】【典例1】【教材第43頁11題】已知a>b>0,【典例2】【教材第43頁12題】火車站有某公司待運(yùn)的甲種貨物1530t,乙種貨物1150t.現(xiàn)計劃用A,B兩種型號的貨相共50節(jié)運(yùn)送這批貨物.已知35t甲種貨物和15t乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂,25t甲種貨物和35t乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂,據(jù)此安排A,B兩種貨廂的節(jié)數(shù),共有幾種方案?若每節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬元,每節(jié)B三、【考點真題回歸】【典例1】【2022新高考Ⅱ】（多選）若x，y滿足x2+y2﹣xy＝1，則（）A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1【典例2】【2014四川】若a>b>A．a(chǎn)c>bdB．a(chǎn)c<【典例3】【2023·福州一?！俊?＜a＜b”是“a－eq\f(1,a)＜b－eq\f(1,b)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【典例4】【2023·菏澤模擬】已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正確的是()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．a(chǎn)>c>b【典例5】【2023·上海楊浦區(qū)期中】下列是“a＞b”的充分不必要條件的是()A.a＞b＋1 B.＞1C.a2＞b2 D.a3＞b3【典例6】【2023·珠海模擬】已知a，b∈R，滿足ab<0，a＋b>0，a>b，則()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>0C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)<|b|【典例7】【2023·濟(jì)寧模擬】(多選)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式不成立的是()A．