專題2.3 直線的方程（二）【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題2.3直線的方程（二）【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求直線方程】 1【題型2直線過定點(diǎn)問題】 3【題型3求與已知直線垂直的直線方程】 4【題型4求與已知直線平行的直線方程】 6【題型5根據(jù)兩直線平行求參數(shù)】 7【題型6根據(jù)兩直線垂直求參數(shù)】 9【題型7直線方程的實(shí)際應(yīng)用】 10【知識(shí)點(diǎn)1求直線方程的一般方法】1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過定點(diǎn)，則可以利用直線的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).【題型1求直線方程】【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)2,1和1,2直線方程是（

）A．y=-x+3 B．y=-x+1【解題思路】先利用斜率公式求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得解.【解答過程】因?yàn)橹本€過點(diǎn)2,1和1,2，所以k=所以直線方程為y-2=-1×x故選：A.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0)且傾斜角為60°的直線的方程是（

A．3x-yC．3x-y【解題思路】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程；【解答過程】由傾斜角為60°知，直線的斜率k=因此，其直線方程為y-0=3故選：B.【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高二校考期末）過點(diǎn)A1,2在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

A．y=2x BC．x=y或x+y-【解題思路】按截距為0和不為0分類討論分別求得符合題意的直線方程【解答過程】當(dāng)截距a≠0時(shí)，設(shè)直線方程為x將x=1，y=2代入得a=3，當(dāng)截距a=0時(shí)，過原點(diǎn)和點(diǎn)A1,2又y=2∴過點(diǎn)A且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為y=2x故選：D.【變式1-3】（2023秋·高一單元測(cè)試）經(jīng)過點(diǎn)P(-5,-4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5的直線方程是（

A．8x+5B．8x-C．8x+5D．8x-【解題思路】由題意設(shè)直線為kx-y+5k【解答過程】由題意，直線斜率一定存在，設(shè)所求方程為y+4=k(由12?|5k-故所求直線方程為2x-5故選：D.【題型2直線過定點(diǎn)問題】【例2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線kx-y+1=3k，當(dāng)A．(0,0) B．(0,1) C．【解題思路】整理所得直線方程為kx-【解答過程】把直線方程整理為kx令x-3=0-y+1=0故選：C.【變式2-1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線a-1xA．1,1 B．1,-1 C．-1,1 D．【解題思路】將直線變形為x-ya-x【解答過程】將a-1x-a+1y+2=0變形為：所以直線恒過定點(diǎn)1,1.故選：A.【變式2-2】（2023春·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）不論取任何實(shí)數(shù)，直線l:m-A．2,3 B．-2,3 C．-2,0 D【解題思路】整理直線方程，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法直接求解即可.【解答過程】直線方程可整理為：x+2則由x+2=0-x-y+1=0得：故選：B.【變式2-3】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）以下關(guān)于直線3x-ayA．直線3xB．直線3xC．直線3xD．直線3x-ay【解題思路】首先求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A、D，再分a=0、a>0、a<0三種情況討論，分別判斷直線所過象限，即可判斷B【解答過程】對(duì)于直線3x-ay+1=0，令y=0一定不經(jīng)過原點(diǎn)，故A正確；當(dāng)a=0時(shí)直線即為x當(dāng)a≠0時(shí)直線即為y若a>0，則1a>0若a<0，則1a<0所以直線一定過二、三象限，故B錯(cuò)誤，C正確；因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)-13,0，所以直線故選：B.【知識(shí)點(diǎn)2兩條直線的位置關(guān)系】1．兩條直線的位置關(guān)系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1

l2:y=k2x+b2相交k1≠k2（當(dāng)時(shí)，記為）垂直k1·k2=-1（當(dāng)時(shí)，記為）平行k1=k2且b1≠b2或（當(dāng)時(shí)，記為）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（當(dāng)時(shí)，記為）【題型3求與已知直線垂直的直線方程】【例3】（2023春·新疆伊犁·高二?？计谥校┻^點(diǎn)P(-1,3)且垂直于直線x+2y-3=0A．x+2y+5=0C．x+2y-【解題思路】根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，設(shè)出所求直線方程，-1,3代入，即可求解【解答過程】設(shè)所求的直線方程為2x-1,3代入方程解得c所求的直線方程為2x故選：B.【變式3-1】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)A(4,-5)，且與原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的直線方程為（

A．y=-5 B．C．4x-5【解題思路】根據(jù)垂直關(guān)系可得斜率，由點(diǎn)斜式即可求解.【解答過程】當(dāng)直線與OA垂直時(shí)，此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離最大，kOA=-54,所以所求直線斜率為45故選：C.【變式3-2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知A3,1，B1,-2，C1,1，則過點(diǎn)C且與線段ABA．3x+2yC．2x-3【解題思路】求出直線AB的斜率，可得其垂線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出答案【解答過程】解：因?yàn)閗AB所以與AB垂直的直線的斜率為-2所以過點(diǎn)C且與線段AB垂直的直線方程為y-1=-2故選：D.【變式3-3】（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則A．2x+yC．x+2y-【解題思路】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.【解答過程】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB=1-21-3=又l過C2,3，所以l的方程為y整理可得，2x故選：A.【題型4求與已知直線平行的直線方程】【例4】（2023春·天津北辰·高二校考階段練習(xí)）過點(diǎn)-1,3且平行于直線2x-A．2x-3y+11=0 B．3x【解題思路】先設(shè)出平行于直線2x-3y【解答過程】平行于直線2x-又所求直線過點(diǎn)-則2×(-1)-3×3+h=0，解之得則所求直線為2故選：A.【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若直線l1:2x-3y-3=0與l2A．3x+2yC．2x-3【解題思路】由題意設(shè)直線l2的方程為2x-3y+m=0，然后將點(diǎn)【解答過程】因?yàn)橹本€l1:2x-3y-因?yàn)橹本€l2過點(diǎn)(2,1)所以4-3+m=0，得所以直線l2的方程為2故選：D.【變式4-2】（2023秋·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考期末）與直線y=-2x+3平行，且與直線y=3xA．y=-2x+4C．y=-2x-【解題思路】先求出直線y=3x+4交于x軸交點(diǎn)P(-43【解答過程】設(shè)直線y=3x+4交于x軸于P點(diǎn)，令y=0，則所求直線與y=-2x+3平行，設(shè)代入得-2×(-4所求直線方程為：y故選：C.【變式4-3】（2022秋·天津西青·高二?？计谥校┲本€mx-y-m+2=0過定點(diǎn)A，若直線l過點(diǎn)A且與2A．2x+yC．x-2y【解題思路】根據(jù)直線方程可求得定點(diǎn)A1,2；根據(jù)直線平行求得直線l斜率；利用點(diǎn)斜式方程求得l的方程，整理可得一般式方程【解答過程】由mx-y-m+2=0得：y-又直線2x+y-2=0的斜率k=-2且與直線l平行∴直線l的方程為：y-2=-2x故選：A.【題型5根據(jù)兩直線平行求參數(shù)】【例5】（2023春·河南·高二聯(lián)考開學(xué)考試）已知直線l1:x-1+ayA．2 B．3 C．-3 D．2或【解題思路】由直線平行的條件求解即可.【解答過程】因?yàn)閘1∥l2，所以a1+a=6，解得a=2或a=-3故選：A.【變式5-1】（2023秋·湖北黃岡·高二?？计谀﹍1:a2x-y+aA．1 B．1或2 C．1或3 D．3【解題思路】利用直線平行的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因?yàn)閘1:a2x當(dāng)4a-3=0，即a=34時(shí)，當(dāng)4a-3≠0，即a≠3經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=3時(shí)，l所以a=3故選：D.【變式5-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知條件p：直線x+y+1=0與直線x+a2y-1=0A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先求出兩條直線平行時(shí)對(duì)應(yīng)的a的值，再判斷兩者之間的條件關(guān)系.【解答過程】若直線x+y+1=0與直線x+a當(dāng)a=1時(shí)，x+a此時(shí)直線x+y+1=0與直線當(dāng)a=-1時(shí)，x+a此時(shí)直線x+y+1=0與直線故若直線x+y+1=0與直線x+a若a=-1，則直線x+y+1=0故p是q的必要不充分條件.故選：C.【變式5-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l1過(0,0)、(1,-3)兩點(diǎn)，直線l2的方程為ax+y-2=0，如果A．-3 B．13 C．-13【解題思路】先求直線l1斜率，再根據(jù)兩直線平行列式求得a值【解答過程】因?yàn)橹本€l1過(0,0)、(1,-3)兩點(diǎn)，所以直線l1斜率為因?yàn)橹本€l2的方程為ax+y-2=0因?yàn)閘1//故選：D.【題型6根據(jù)兩直線垂直求參數(shù)】【例6】（2023春·貴州·高二校聯(lián)考期中）直線4x+2y-1=0與直線axA．2 B．-2 C．1 D．【解題思路】利用平面內(nèi)兩直線垂直，得-4【解答過程】因?yàn)橹本€4x+2y所以-42×故選：B.【變式6-1】（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高二?？计谥校┤糁本€ax+1-ay=3與aA．-3 B．1 C．-3或1 D【解題思路】根據(jù)兩條直線互相垂直列關(guān)于a的方程求解.【解答過程】因?yàn)橹本€ax+1-a所以aa-1解得a=1或a故選：C.【變式6-2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線mx+4y-2=0與直線2x-5yA．24 B．20 C．4 D．0【解題思路】由兩直線垂直得m=10，進(jìn)而根據(jù)垂足是兩條直線的交點(diǎn)代入計(jì)算即可得答案【解答過程】由兩直線垂直得m?2+4×(-5)=0，解得所以原直線直線mx+4y-又因?yàn)榇棺銥?1,p所以代入得{10×1+4解得{p所以m+故選:D.【變式6-3】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知a>0，b>0，直線l1：x+a-4y+1=0，lA．2 B．4 C．23 D．【解題思路】根據(jù)l1⊥l2得到a【解答過程】因?yàn)閘1⊥l2，所以因?yàn)閍>0,b>0所以1a+1+12b=1a當(dāng)且僅當(dāng)a=3故選：D.【知識(shí)點(diǎn)3直線方程的實(shí)際應(yīng)用】1．直線方程的實(shí)際應(yīng)用利用直線方程解決實(shí)際問題，一般先根據(jù)實(shí)際情況建立直角坐標(biāo)系，然后分析直線斜率是否存在，從而能夠?yàn)榻鉀Q問題指明方向，避免解決問題出現(xiàn)盲目性.【題型7直線方程的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長(zhǎng)為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長(zhǎng)為8.4cm.已知蠟燭長(zhǎng)度l(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【解題思路】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率k及所過的點(diǎn)，進(jìn)而得到直線方程，再求蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡所耗時(shí)間即可.【解答過程】由題意知：蠟燭長(zhǎng)度l(cm)與燃燒時(shí)間t(min)可以用直線方程，過(6,17.4),(21,8.4)兩點(diǎn)，故其斜率k=∴直線方程為l-∴當(dāng)蠟燭燃盡時(shí)，有t-21=14，即故選：B.【變式7-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，其周長(zhǎng)就越逼近圓周長(zhǎng)這種用極限思想解決數(shù)學(xué)問題的方法是數(shù)學(xué)史上的一項(xiàng)重大成就，現(xiàn)作出圓x2+y2=2的一個(gè)內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn)在坐A．x+(2-C．x-(2【解題思路】由題意求解題中所給的直線方程，對(duì)比選項(xiàng)，利用排除法即可求得最終結(jié)果.【解答過程】如圖所示可知A(所以直線AB，BC，CD的方程分別為：y整理為一般式即：x分別對(duì)應(yīng)題中的ABD選項(xiàng).故選C.【變式7-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）為了綠化城市，準(zhǔn)備在如圖所示的區(qū)域ABCDE內(nèi)修建一個(gè)矩形PQRD的草坪，其中∠AED=∠EDC=∠DCB=90°，點(diǎn)Q在AB上，且PQ//CD，（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，求線段AB所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪的占地面積最大，確定此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)并求出此最大面積（精確到1m2【解題思路】（1）根據(jù)題意可得OA=20,OB（2）設(shè)Qx,20-2x【解答過程】（1）由題意得OA=20,所以線段AB所在直線的方程為x30+y（2）設(shè)QxS=-故當(dāng)x=5,y=503【變式7-3】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高二校考階段練習(xí)）公路AM，AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα=-2.在該塊土地中P處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路AM，AN的距離分別為3km、5km.現(xiàn)要過點(diǎn)P修建一條直線型公路BC（1）記∠CBM=θ，并設(shè)tan（2）設(shè)三角形區(qū)域工業(yè)園的占地面積為S，試將S表示成k的函數(shù)S=（3）為盡量減少耕地占用，如何確定點(diǎn)B的位置，使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．【解題思路】（1）由傾斜角的范圍得出斜率范圍；（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，得到直線AN的方程是y=-2設(shè)點(diǎn)Px0，3，根據(jù)點(diǎn)P到直線的距離公式得到設(shè)直線BC的方