第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（解析卷）

備戰(zhàn)2024年高考《解讀?突破?強(qiáng)化》一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【考試要求】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．1.（多選）下列結(jié)論正確的是()A若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．B若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．C若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切．D在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．【答案】CD2．直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交【答案】A【解析】圓心到直線的距離為d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1<4，所以直線與圓相交．3．直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為()A．4B．2eq\r(3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)【答案】B【解析】∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圓M的圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑為eq\r(5)，又點(diǎn)(1,2)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|1＋2－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，∴直線m被圓M截得的弦長(zhǎng)等于2eq\r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq\r(3).4．兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是 （）【答案】B【解析】?jī)蓤A方程可化為x2＋（y－1）2＝1，x2＋y2O1（0，1），O2（0，0），半徑分別為r1＝1，r2＝2.因?yàn)椋麿1O2｜＝1＝r2－r1，所以兩圓內(nèi)切.5．已知圓C：x2＋y2＝9，過(guò)點(diǎn)P（3，1）作圓C的切線，則切線方程為.

【解析】由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝3，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以切線方程為y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，所以|k×0?0+1?3k－43，所以切線方程為4x＋3y－15＝0.綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y【答案】x＝3或4x＋3y－15＝0考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系角度1位置關(guān)系的判斷例1（2023·衡水模擬）直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋（y－1）2＝5的位置關(guān)系是 （）A.相交B.相切C.相離 D.不確定【答案】A【解析】法一（代數(shù)法）：由mx-y+1?m=0,x2+(y-1)2=5消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因?yàn)棣しǘ◣缀畏ǎ河深}意知，圓心（0，1）到直線l的距離d＝|-m|m2+1＜1＜5法三：易得直線l過(guò)定點(diǎn)（1，1）.把點(diǎn)（1，1）代入圓的方程有1＋0＜5，所以點(diǎn)（1，1）在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．【對(duì)點(diǎn)演練1】直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切【答案】C【解析】方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．【對(duì)點(diǎn)演練2】(多選)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】圓心C(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故D正確．角度2根據(jù)位置關(guān)系求參數(shù)（范圍）例2若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為()．A．[－eq\r(3)，eq\r(3)]B．(－eq\r(3)，eq\r(3))CD.【解析】設(shè)直線l的方程為：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0則：eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))≤1.解得：k2≤eq\f(1,3)，即－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).【答案】C已知直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，常用幾何法將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系，以此來(lái)確定參數(shù)的值或取值范圍．【對(duì)點(diǎn)演練1】若直線x－y＋1＝0與圓（x－a）2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解析】由題意可得，圓的圓心為（a，0），半徑為2，∴|a-0+1|12+(?1)2【答案】[－3，1]【對(duì)點(diǎn)演練2】若圓x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線l：x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

【解析】計(jì)算得圓心到直線l的距離為22＝2＞1，如圖，直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離2＋1【答案】（2＋1，＋∞）【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023安徽亳州聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.考點(diǎn)二圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題例3（1）已知圓x2＋y2＝1截直線y＝k（x＋1）（k＞0）所得弦長(zhǎng)為1，則k＝ （）A.12 B.33 （2）（多選）已知圓C：（x－1）2＋（y－1）2＝16，直線l：（2m－1）x＋（m－1）y－3m （）l恒過(guò)定點(diǎn)（2，1）C被y軸截得的弦長(zhǎng)為215l被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最大值，此時(shí)直線l的方程為2x＋y－3＝0l被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最小值，此時(shí)直線l的方程為x－2y－4＝0【解析】（1）由題可知圓x2＋y2＝1的圓心為（0，0），半徑r＝1，圓心到直線y＝k（x＋1）的距離d＝|k|k2+1.由r2＝d2＋122得1＝k2k2+1（2）對(duì)于A，將直線l的方程整理為m（2x＋y－3）＋（－x－y＋1）＝0，由-x-y+1=0,2x+y-3=0得x=2,y=?1,無(wú)論m為何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)（2，－1），故A不正確；對(duì)于B，將x＝0代入圓C的方程，得（y－1）2＝15，解得y＝1±15，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為215，故B正確；對(duì)于C，無(wú)論m為何值，直線l不過(guò)圓心（1，1），即直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)不存在最大值，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l垂直于圓心與定點(diǎn)的連線，則直線l的斜率為12【答案】（1）D（2）BD【對(duì)點(diǎn)演練1】(2023·北京模擬)已知圓x2＋y2＝4截直線y＝k(x－2)所得弦的長(zhǎng)度為2，那么實(shí)數(shù)k的值為()A．±eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D．±eq\r(3)【答案】D【解析】圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑r＝2，點(diǎn)(0,0)到直線y＝k(x－2)的距離d＝eq\f(|2k|,\r(12＋k2))，則弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2，得2eq\r(4－\f(4k2,1＋k2))＝2，解得k＝±eq\r(3).弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).【對(duì)點(diǎn)演練2】(2023·滁州模擬)已知過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|＝2eq\r(3)時(shí)，直線l的方程為_(kāi)_______．【答案】x＝0或3x＋4y－4＝0【解析】因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化為(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圓心為(－1,3)，半徑為r＝2，因?yàn)閨AB|＝2eq\r(3)，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)圓心(－1,3)到直線x＝0的距離為1，滿足條件；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y＝kx＋1，則圓心(－1,3)到直線l的距離d＝eq\f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，此時(shí)直線l的方程為3x＋4y－4＝0，綜上，所求直線的方程為3x＋4y－4＝0或x＝0.【對(duì)點(diǎn)演練3】（2023新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）2．已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．【答案】（中任意一個(gè)皆可以）【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．考點(diǎn)三圓的切線問(wèn)題例4已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．【解析】由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率為－eq\f(1,kPC)＝1，∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，∴直線x＝3是圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圓心C到切線的距離d′＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．【對(duì)點(diǎn)演練1】(2020·浙江高考)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k＞0)，圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x－4)2＋y2＝1，若直線l與C1，C2都相切，則k＝________，b＝________.【解析】由題意，兩圓圓心C1(0,0)，C2(4,0)到直線l的距離等于半徑，即eq\f(|b|,\r(k2＋1))＝1，eq\f(|4k＋b|,\r(k2＋1))＝1，所以|b|＝|4k＋b|，所以k＝0(舍去)或b＝－2k，解得k＝eq\f(\r(3),3)，b＝－eq\f(2\r(3),3).考點(diǎn)四直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問(wèn)題例5（1）（2023北京海淀北大附中三模）已知圓，直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】圓：中，圓心，半徑設(shè)，則，則,當(dāng)時(shí)，，故選：C（2）(2023·龍巖模擬)已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PAOB的面積的最小值為_(kāi)_______．【答案】2eq\r(3)【解析】由圓O：x2＋y2＝2，得r＝eq\r(2)，四邊形PAOB的面積S＝2S△PAO＝|PA|·|AO|＝eq\r(2)|PA|，∵點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，∴P(x0，4－x0)，則|PA|＝eq\r(|PO|2－|OA|2)＝eq\r(|PO|2－2)，又|PO|2＝xeq\o\al(2,0)＋(4－x0)2＝2xeq\o\al(2,0)－8x0＋16＝2(x0－2)2＋8≥8，∴|PO|2－2≥6，則|PA|≥eq\r(6)，∴四邊形PAOB的面積的最小值為eq\r(2)×eq\r(6)＝2eq\r(3).涉及與圓的切線有關(guān)的線段長(zhǎng)度范圍(最值)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長(zhǎng)度表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．【對(duì)點(diǎn)演練1】.若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：（x－2）2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)｜AB｜最小時(shí)，劣弧AB的長(zhǎng)為 （）A.π2 【解析】B直線x＋ay－a－1＝0可化為（x－1）＋a（y－1）＝0，則當(dāng)x－1＝0且y－1＝0，即x＝1且y＝1時(shí)，等式恒成立，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)M（1，1），又圓的圓心為C（2，0），半徑r＝2，當(dāng)MC⊥AB時(shí)，｜AB｜取得最小值，且最小值為2r2-|MC|2＝24?2＝22，此時(shí)弦長(zhǎng)AB所對(duì)的圓心角為π【對(duì)點(diǎn)演練2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．【對(duì)點(diǎn)演練3】(2023·昆明模擬)直線2x·sinθ＋y＝0被圓x2＋y2－2eq\r(5)y＋2＝0截得的弦長(zhǎng)的最大值為()A．2eq\r(5)B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(2)【答案】D【解析】易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－eq\r(5))2＝3，所以圓心為(0，eq\r(5))，半徑r＝eq\r(3)，由題意知圓心到直線2x·sinθ＋y＝0的距離d＝eq\f(|\r(5)|,\r(4sin2θ＋1))<eq\r(3)，解得sin2θ>eq\f(1,6)，所以弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3－\f(5,4sin2θ＋1))，因?yàn)閑q\f(5,3)<4sin2θ＋1≤5，所以1≤eq\f(5,4sin2θ＋1)<3，所以2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(3－\f(5,4sin2θ＋1))∈(0,2eq\r(2)]．所以當(dāng)4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1時(shí)，弦長(zhǎng)有最大值2eq\r(2).【對(duì)點(diǎn)演練4】（2023全國(guó)乙卷）3．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.考點(diǎn)五圓與圓的位置關(guān)系例6．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.（1）求證：圓C1和圓C2相交；（2）求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng).解（1）證明：圓C1的圓心C1（1，3），半徑r1＝11，圓C2的圓心C2（5，6），半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝｜C1C2｜＝5，r1＋r2＝11＋4，｜r1－r2｜＝4－11，所以｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交.（2）圓C1和圓C2的方程左、右分別相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2（5，6）到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝|20+18-23|16+9＝3故公共弦長(zhǎng)為216?9＝27.圓與圓位置關(guān)系相關(guān)問(wèn)題的求解策略（1）判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系；（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.【對(duì)點(diǎn)演練1】.圓x2－4x＋y2＝0與圓x2＋y2＋4x＋3＝0的公切線共有 （）解析：Dx2－4x＋y2＝0?（x－2）2＋y2＝22，圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2；x2＋y2＋4x＋3＝0?（x＋2）2＋y2＝12，圓心坐標(biāo)為（－2，0），半徑為1，兩圓圓心距為4，半徑和為3，因?yàn)?＞3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條.故選D.【對(duì)點(diǎn)演練2】(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)寫(xiě)出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．【答案】x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需寫(xiě)出上述三個(gè)方程中的一個(gè)即可)【解析】如圖，因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3,4)，半徑r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1.②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過(guò)兩圓圓心的直線l對(duì)稱．易知過(guò)兩圓圓心的直線l的方程為y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由對(duì)稱性可知公切線l2過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).設(shè)公切線l2的方程為y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，則點(diǎn)O(0,0)到l2的距離為1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切線l2的方程為y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③還有一條公切線l3與直線l：y＝eq\f(4,3)x垂直，設(shè)公切線l3的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t>0，則點(diǎn)O(0,0)到l3的距離為1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))2＋－12))，解得t＝eq\f(5,4)或t＝－eq\f(5,4)(舍去)，所以公切線l3的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.【對(duì)點(diǎn)演練3】.已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，BAB的長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程為.

【解析】?jī)蓤A的方程作差可得x－2y＋4＝0.∴圓C1與圓C2的公共弦AB所在的直線方程為x－2y＋4＝0，聯(lián)立x-2y+4=0,x2+y2+2x+2y-8=0,解得x=?4,y=0或x=0,y=2,不妨設(shè)A【答案】25（x＋2）2＋（y－1）2＝5一、單選題1、（2024·四川成都·成都七中校考一模）圓：與直線：的位置關(guān)系為（）A．相切 B．相交 C．相離 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】圓：的圓心為，半徑，直線：即，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.故選：A2．(2023·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是()A．外離B．相交C．外切D．內(nèi)切【答案】B【解析】由題意知，圓O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圓心坐標(biāo)O1(1,0)，半徑r1＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圓心坐標(biāo)為O2(0,2)，半徑r2＝2，則兩圓的圓心距|O1O2|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，則2－1<eq\r(5)<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圓O1與圓O2相交．3.圓Q：x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程為 （）A.x＋3y－2＝0 B.x＋3y－4＝0C.x－3y＋4＝0 D.x－3y＋2＝0【解析】D圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－2）2＋y2＝4.∵P（1，3）在圓Q上，∴所求切線方程為（1－2）·（x－2）＋（3－0）（y－0）＝4，即x－3y＋2＝0.4.“點(diǎn)（a，b）在圓x2＋y2＝1外”是“直線ax＋by＋2＝0與圓x2＋y2＝1相交”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】B命題p：點(diǎn)（a，b）在圓x2＋y2＝1外等價(jià)于a2＋b2＞1，命題q：直線ax＋by＋2＝0與圓x2＋y2＝1相交等價(jià)于2a2+b2＜1等價(jià)于a2＋b2＞4，從而有p?/q，q?p，所以p是q5．直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．無(wú)法確定【答案】A【解析】圓x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，直線mx－y＋2＝0恒過(guò)點(diǎn)A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9相交．故選A.6.過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a＞0)，且傾斜角為30°的直線與圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于點(diǎn)B，且|AB|＝eq\r(3)，則△OAB的面積是()A.eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),2)C．1D．2【答案】B【解析】在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，|AB|＝eq\r(3)，故|OB|＝1，所以S△OAB＝eq\f(1,2)|AB||OB|＝eq\f(\r(3),2)，故選B.7.(2022·深圳模擬)若圓C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(－18,6]B．[－2,6]C．[－2,18]D．[4,18]【答案】C【解析】將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.因?yàn)閳AC上有到(－1,0)的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，所以|eq\r(m＋18)－1|≤|CC′|≤eq\r(m＋18)＋1.因?yàn)閨CC′|＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以|eq\r(m＋18)－1|≤5≤eq\r(m＋18)＋1，解得－2≤m≤18.8．若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案D解析點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由題意知，反射光線所在的直線一定過(guò)點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).二、多選題9．（2023湖南常德二模）已知圓和兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】由，得點(diǎn)P在圓上，故點(diǎn)P在圓上，又點(diǎn)P在圓C上，所以，兩圓有交點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為原點(diǎn)O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為4.故選：C.10.設(shè)有一組圓Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命題正確的是 （）k如何變化，圓心C始終在一條直線上Ck均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0）C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）的圓Ck有且只有一個(gè)【解析】ABD圓心坐標(biāo)為（k，k），在直線y＝x上，A正確；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化簡(jiǎn)得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，B正確；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化簡(jiǎn)得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有兩不等實(shí)根，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，2）的圓Ck有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確.故選A、B、D.11.已知圓O1：x2＋y2－2x－3＝0和圓O2：x2＋y2－2y－1＝0的交點(diǎn)為A，B，則 （）A.兩圓的圓心距｜O1O2｜＝2AB的方程為x－y＋1＝0O2上存在兩點(diǎn)P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜O1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2＋2【解析】BD由圓O1：x2＋y2－2x－3＝0和圓O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圓O1：（x－1）2＋y2＝4和圓O2：x2＋（y－1）2＝2，則圓O1的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為2，圓O2的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為2，對(duì)于A，兩圓的圓心距｜O1O2｜＝(1-0)2+(0?1)2＝2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程為x－y＋1＝0，故B正確；對(duì)于C，直線AB經(jīng)過(guò)圓O2的圓心（0，1），所以線段AB是圓O2的直徑，故圓O2中不存在比AB長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓O1的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為2，圓心到直線AB：x－y＋1＝0的距離為|1+1|2＝2，所以圓O12.直線y＝kx－1與圓C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度可能為()A．6 B．8 C．12 D．16【解析】因?yàn)橹本€y＝kx－1過(guò)定點(diǎn)(0，－1)，故圓C的圓心(－3,3)到直線y＝kx－1的距離的最大值為eq\r(－3－02＋3＋12)C的半徑為6，故弦長(zhǎng)|AB|的最小值為2eq\r(62－52)＝2eq\r(11).又當(dāng)直線y＝kx－1過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)|AB|取最大值，為直徑12，故|AB|∈[2eq\r(11)，12]．故選BC.填空題13/過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則△PAB外接圓的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圓x2＋y2＝4，得到圓心為O(0,0)，由題意知O，A，B，P四點(diǎn)共圓，△PAB的外接圓即四邊形OAPB的外接圓，又點(diǎn)P(4,2)，從而OP的中點(diǎn)坐標(biāo)(2,1)為所求圓的圓心，eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.14．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，則________．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為點(diǎn)，則，，則點(diǎn)在圓上，且，由與圓相切可得，所以切線方程為，令，解得，故，所以故答案為：.15.（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，請(qǐng)寫(xiě)出一條滿足上述條件的直線的方程______.【答案】（答案不唯一，也滿足）【詳解】由題意得，半徑，，故在圓外，設(shè)O到直線的距離為d，由得，即，解得，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為，即，則，即，解得，故直線為.故答案為：（答案不唯一，也滿足）16．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）已知圓與圓，寫(xiě)出圓C和圓E的一條公切線的方程______.【答案】或或.【詳解】設(shè)圓的公切線為，，或代入求解得：或所以切線為：或或故答案為：或或.解答題17.已知圓C：（x－2）2＋（y－3）2＝4外有一點(diǎn)P（4，－1），過(guò)點(diǎn)P作直線l.（1）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).解：（1）由題意可得C（2，3），直線l與圓C相切，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4，滿足題意.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0，∴|2k-3-4k-1|1+∴直線l的方程為3x＋4y－8＝0，∴直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.（2）當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，直線l的方程為x＋y－3＝0，圓心C（2，3）到直線l的距離為|2+3-3|2＝2∴弦長(zhǎng)為222-(218.已知A（2，0），直線4x＋3y＋1＝0被圓C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦長(zhǎng)為43，且P為圓C上任意一點(diǎn).（1）求｜PA｜的最大值與最小值；（2）圓C與坐標(biāo)軸相交于三點(diǎn)，求以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的內(nèi)切圓的半徑.解：（1）∵直線4x＋3y＋1＝0被