浙江省湖州市練市第一高級中學高三數(shù)學文上學期摸底試題含解析

浙江省湖州市練市第一高級中學高三數(shù)學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)的最小正周期和最大值分別為（

）

A.

B.

C.，1

D.，參考答案：C略2.若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n=(

) A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，進行平移即可得到結論．解答： 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此時z=﹣2﹣1=﹣3，此時n=﹣3，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此時z=2×2﹣1=3，即m=3，則m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故選：B．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．3.定義在R上的函數(shù)y=f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足f（3﹣x）=f（x），當x≠時總有（x﹣）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的導函數(shù)），若x1＜x2，且x1+x2＞3，則(

) A．f（x1）＞f（x2） B．f（x1）＜f（x2） C．f（x1）=f（x2） D．f（x2）與f（x2）的大小無法確定參考答案：B考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：數(shù)形結合；導數(shù)的綜合應用．分析：根據(jù)已知條件便可得到f（x）關于x=對稱，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而在上單調(diào)遞增，從而可以畫出f（x）的大致圖象，根據(jù)圖象上的點關于對稱軸的對稱點的橫坐標之和為3并結合圖象即可判斷出f（x1）和f（x2）的大小關系．解答： 解：根據(jù)f（3﹣x）=f（x）知f（x）關于x=對稱；當x時，總有；∴時f（x）單調(diào)遞減，時f（x）單調(diào)遞增；∴f（x）的大致形狀如下圖所示：x1+x2＞3，∴（1）若，作點（x1，f（x1））關于x=的對稱點為（x3，f（x3）），則：x1+x3=3；∴x2＞x3；∴f（x2）＞f（x3）=f（x1）；即f（x2）＞f（x1）；（2）若，x1＜x2；∴f（x1）＜f（x2）；∴綜上得f（x1）＜f（x2）．故選B．點評：考查由f（a﹣x）=f（x）能得到f（x）關于對稱，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關系，以及數(shù)形結合解題的方法．4.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，則A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}參考答案：A【考點】交集及其運算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后進行交集的運算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故選：A．【點評】考查列舉法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的運算．5.一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)A．48

B．48+8

C．32+8

D．80參考答案：B6.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面上的對應點在

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D，在復平面上的對應點為，為第四象限，選D.7.若，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A8.若第一象限內(nèi)的點，落在經(jīng)過點且具有方向向量的直線上，則有（

）A.

最大值

B.

最大值1

C.

最小值

D.

最小值1參考答案：B略9.若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β為第三象限角，則cosβ的值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關系的運用．【分析】由兩角和與差的三角函數(shù)公式可得sinβ=﹣m，結合角β的象限，再由同角三角函數(shù)的基本關系可得．【解答】解：∵sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，∴sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m，即sinβ=﹣m，又β為第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函數(shù)的基本關系可得：cosβ=﹣=﹣故選B10.表示平面，表示直線，則的一個充分不必要條件是

（

）

A．

B．且

C．

D．

參考答案：答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為=

。參考答案：8略12.直線直線則m的值為

．參考答案：

-3或213.對于正整數(shù)n，設xn是關于x的方程nx3+2x﹣n=0的實數(shù)根，記an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則（a2+a3+…+a2015）=

．參考答案：2017【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】根據(jù)條件構造f（x）=nx3+2x﹣n，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的導數(shù)，求出方程根的取值范圍進行求解即可．【解答】解：設f（x）=nx3+2x﹣n，則f′（x）=3nx2+2，當n是正整數(shù)時，f′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)，∵當n≥2時，f（）=n×（）3+2×（）﹣n=?（﹣n2+n+1）＜0，且f（1）=2＞0，∴當n≥2時，方程nx3+2x﹣n=0有唯一的實數(shù)根xn且xn∈（，1），∴n＜（n+1）xn＜n+1，an=[（n+1）xn]=n，因此（a2+a3+a4+…+a2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案為：2017．14.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第_________象限。參考答案：三15.如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC．過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB=AC，AE=3，BD=4則線段AF的長為

．參考答案：【考點】與圓有關的比例線段．【專題】綜合題；選作題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法．【分析】由切割線定理得到AE2=EB?ED=EB（EB+BD），求出EB=5，由已知條件推導出四邊形AEBC是平行四邊形，從而得到AC=AB=BE=5，BC=AE=3，由△AFC∽△DFB，能求出CF的長．【解答】解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，由切割線定理可知：AE2=EB?ED=EB（EB+BD），即45=BE（BE+4），解得EB=5，∵AC∥BD，∴AC∥BE，∵過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，∴∠BAE=∠C，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，∴BC=AE=3，∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，解得CF=．故答案為：．【點評】本題考查與圓有關的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．16.（文）定義“正對數(shù)”：現(xiàn)有四個命題：①若a＞0，b＞0，則②若a＞0，b＞0，則③若a＞0，b＞0，則④若a＞0,b＞0，則.其中真命題的有

,參考答案：①④17.已知函數(shù)，若關于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）如圖，已知平面四邊形ABCD中，D為PA的中點，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4，將此平面四邊形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，連接PA、PB，設PB的中點為E，（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）在線段BD上是否存在一點F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由．參考答案：（I）證明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角為∠PDA=90°，且PD⊥DC，DA∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，∵BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，則BC=BD=，在三角形BCD中，BC2+BD2=CD2，∴BD⊥BC，∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，∵BC?平面PBC，∴平面PBD⊥平面PBC．（II）∵PD，PA，DC兩兩垂直，PA=CD=2AB=4，∴AB=2，∵E是PB的中點，∴AD=DP=2，則建立以D為原點的空間直角坐標系如圖，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），D（0，0，0），P（0，0，2），則=（0，2，0），=（﹣2，2，0），=（0，4，﹣2）．設平面PBC的法向量為=（x，y，z），則由，令x=1，則y=1，z=2，即=（1，1，2），則cos＜＞==，∴直線AB和平面PBC所成角的正弦值等于cos＜＞=，（III）∵F∈BD，故可設F（m，m，0），而PB的中點E（1，1，1），∴，∵，，∴，解得m=，∴線段BD上是否存在一點F（），使EF⊥平面PBC．19.（12分）（2014?鄭州模擬）設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值，并判斷當tan（A﹣B）取最大值時△ABC的形狀．參考答案：考點： 三角形的形狀判斷；基本不等式；兩角和與差的正弦函數(shù)．

專題： 計算題．分析： （1）利用正弦定理，結合兩角和的正弦公式展開可求（2）利用換元，結合基本不等式可求最大值取得的條件，從而可判斷三角形的形狀．解答： 解：（1）由可得2sinAcosB﹣2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB?sinAcosB=3sinBcosA?=3（4分）（2）設tanB=t，則tanA=3t且t＞0tan（A﹣B）=（10分）此時，故，△ABC為直角三角形（12分）點評： 本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦公、兩角差的正切公式在解三角形中的應用，基本不等式在求解函數(shù)最值中的應用20.當今，手機已經(jīng)成為人們不可或缺的交流工具，人們常常把喜歡玩手機的人冠上了名號“低頭族”，手機已經(jīng)嚴重影響了人們的生活，一媒體為調(diào)查市民對低頭族的認識，從某社區(qū)的500名市民中，隨機抽取n名市民，按年齡情況進行統(tǒng)計的得到頻率分布表和頻率分布直方圖如下：組數(shù)分組（單位：歲）頻數(shù)頻率1[20，25）50.052[25，30）200.203[30，35）a0.354[35，40）30b5[40，45]100.10合計n1.00（1）求出表中的a，b，n的值，并補全頻率分布直方圖；（2）媒體記者為了做好調(diào)查工作，決定從所隨機抽取的市民中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名接受采訪，再從抽出的這20名中年齡在[30，40）的選取2名擔任主要發(fā)言人．記這2名主要發(fā)言人年齡在[35，40）的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．參考答案：【分析】（1）由題意可得：n==100，可得a=100×0.35，b=．（2）按年齡采用分層抽樣的方法在[30，35），（35，40]分別有m，n名，可得：==，解得m，n，可得年齡在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值為0，1，2．利用P（ξ=k）=，即可得出分布列與數(shù)學期望．【解答】解：（1）由題意可得：n==100，∴a=100×0.35=35，b==0.3．如圖所示，（2）按年齡采用分層抽樣的方法在[30，35），（35，40]分別有m，n名，可得：==，解得m=7，n=6，∴年齡在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值為0，1，2．利用P（ξ=k）=，可得：P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=．∴ξ的分布列為：ξ012PEξ=0×+1×+2×=．21.已知集合（）.對于，，定義；（）；A與B之間的距離為．（Ⅰ）當時，設，．若，求；（Ⅱ）（ⅰ）證明：若，且，使，則；（ⅱ）設，且．是否一定，使？說明理由；（Ⅲ）記．若，，且，求的最大值．參考答案：（Ⅰ），或．（Ⅱ）（ⅰ）見解析（ⅱ）不存在，使得．見解析（Ⅲ）的最大值為．【分析】（Ⅰ）由已知的新定義，代值計算即可；（Ⅱ）（?。┯梢阎露x，可將已知轉(zhuǎn)化為，使得，其中，所以與同為非負數(shù)或同為負數(shù)，進而由與絕對值的性質(zhì)即可得證；（ⅱ）舉特例取，，，即可說明不存在；（Ⅲ）由絕對值的性質(zhì)對，都有，則所求式子．【詳解】（Ⅰ）當時，由，得，即．由，得，或．（Ⅱ）（?。┳C明：設，，．因為，使，所以，使得，即，使得，其中．所以與同為非負數(shù)或同