專題05與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題-備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題核心考點(diǎn)

常見考點(diǎn)

專題05與數(shù)列相結(jié)合的概率綜合問題與數(shù)列相結(jié)合問題典例1．某商場(chǎng)擬在年末進(jìn)展促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩玩耍，送禮券“的活動(dòng)，玩耍規(guī)章如下：每輪玩耍都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子〔外形為正方體，六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為，，34，5，6，假設(shè)向上點(diǎn)數(shù)不超2點(diǎn)，獲得1分，否則獲219200元禮券，2020輪玩耍．3XX的期望；ipi

〔初始得分為0分，p0

1．①證明數(shù)列pi

pi1

〔i＝1，，…19〕是等比數(shù)列；②求活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率．2 1〕5〔〕①證明見解析；②5

13 ．【解析】【分析】1

1 1

2 2〔〕由題意可知每輪玩耍獲得

分的概率為，獲得3

分的概率為

，而每輪玩耍3的結(jié)果相互獨(dú)立設(shè)進(jìn)展完3輪玩耍時(shí)得1分的次數(shù)為Y所以Y B3,16Y，3 3 X的期望；〔2〕①ipi

，分兩種情形爭(zhēng)論得分狀況，從而得到遞推式P2P

1P (i2,3,,19)，再依據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列pp

是等比數(shù)列；i 3 i2

3 i12

i i1②依據(jù)①可求出pp ( )i，再依據(jù)累加法即可求出p(i2,3,,19)，然后由2P P220 318

i從而解出．

i1 3 i【詳解】1

1 1 2 2 3〔〕由題意可知每輪玩耍獲得

分的概率為，獲得3

分的概率為3

，設(shè)進(jìn)展完1分的次數(shù)為YY

1 k 3k 12B3, 12B3, 3

333XY23Y6YX3，4，5，6，13 1 122 2P(X3) ，P(X4)C2 ，3 27

333 9122 4 23 8P(X5)C1 ，P(X6) ．333 9∴X的分布列為：

3 27XX3456P1272949827E〔X〕＝31425468＝5．27 9 9 27〔2〕①證明：n＝1112點(diǎn)，P1PP2i分的狀況有兩種：1 3 1 0 3Ⅰi＝i﹣〕2即累計(jì)得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)超過2點(diǎn)，其概率為2P ，3 i2Ⅰ〕累計(jì)得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點(diǎn)數(shù)沒超過2點(diǎn)，得1分，其概率為1P ，3i1∴P2P

(i2,3,,19)，∴PP

2P

〔i2，，19，∴i 3 i2

3

i i1

3 i1 i2數(shù)列pp

〔i＝1，，…，1〕是首項(xiàng)為﹣2，公比為﹣2的等比數(shù)列．i i1 3 3②∵數(shù)列pp 〔i1，…，1〕是首項(xiàng)為﹣2，公比為﹣2的等比數(shù)列，i i1 3 32∴ppi i1

( 3∴pp

2，P

P22，???，pp 2i，1 0 3

2 1

i i1

3 pp

2

2i，1 i 0 5

3∴p322i

3

2i1i＝1，2?，1， 1 i 5 5 3 5

3 ∴活動(dòng)參與者得到紀(jì)念品的概率為：2 2 219 2 219P P 1 1 ．20 318

5 3 5 3 【點(diǎn)睛】1分的次數(shù)為Y聽從二項(xiàng)分布，從而找到所求變量X與Y的關(guān)系，列出分布列，求得期望；其次問①主要是遞推式的建立，分析推斷如何得到i分的狀況，進(jìn)而得到P2P

1P ，利用數(shù)列學(xué)問即可證出，②借由①的i 3 i2

3 i12p(i2,3,,19)，分析可知P

P，從而解出．i 20

318變式1-1．某商場(chǎng)調(diào)研了一年來日銷售額的狀況，日銷售額ξ〔萬元〕聽從正態(tài)分布N(10,4)．為了增加營業(yè)收入，該商場(chǎng)開展“玩耍贏獎(jiǎng)券”300元可以1101格、第23格、……10格，玩耍開頭時(shí)“跳子”1格，顧客拋擲一枚均勻的跳子”前進(jìn)2格〔從第k格到第k2格，假設(shè)消滅反面，則”前進(jìn)1格〔從第k格到第k1格，當(dāng)”前進(jìn)到第9格或者第10格時(shí)，玩耍完畢．“跳子”920元獎(jiǎng)券，“跳子”10格可以得到50元獎(jiǎng)券．依據(jù)調(diào)研狀況計(jì)算該商場(chǎng)日銷售額在8萬元到14：假設(shè)隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布N(,2，則P()0.6827，P()0.9545，P()0.9973〕記“跳子”n格〔1≤n≤10〕的概率為P

，證明：PP

〔2≤n≤9〕是等比數(shù)列；

n n n1求某一位顧客參與一次這樣的玩耍獲得獎(jiǎng)券金額的期望．1〕0．818〔〕〕期望為3835元．128【解析】由N(10,4)可得P(814)P(22)P(22)P()；2計(jì)算出P11 1

1、P2

，“跳子”前進(jìn)到第n(3 n 9)格的狀況得到1211P P

P ，可得PP

(P

P 化簡可得答案；n 2 n2

2

n

2

n2設(shè)某一位顧客參與一次這樣的玩耍獲得獎(jiǎng)券金額為ΧΧ20和50，求出對(duì)應(yīng)的概率可列出分布列求出期望.【詳解】由N(10,4)可得：∴P(814)0.95450.95450.68270.8186．2“跳子”1P1

1．第一次擲硬幣消滅反面，“跳子”移212

，即P2

2“跳子”前進(jìn)到第n(3 n 9)格的狀況是下面兩種，而且只有兩種：①“跳子”先到第n2格，又?jǐn)S出正面，其概率為1P ，2 n2②“跳子”先到第n1格，又?jǐn)S出反面，其概率為1P ，∴P1P 1P ，

2 n1n 2 n2 2 n1∴PP

1(P

P )，n n1

2

n2∵PP2 1∵PP

10，n 9)，n 9)，0(2n n1PP 1∴Pn

n1

(3 n 9)，P 2n1 n2∴當(dāng)2n9時(shí)，數(shù)列{PP

}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為PP1，公比為1．n n1

2 1 2 2設(shè)某一位顧客參與一次這樣的玩耍獲得獎(jiǎng)券金額為ΧΧ20和50，由〔2〕可知PP

1n1(2∴P(PP

n)(P

n1

n 9)，2n 9)，2)(P

1n11n2

11n n n1

n1

n2

2 1 1 n 9)，P1222 1n 9)，P1222 22 122 1 (2

1

1也適合，11 3

22 2 2 19 2 19 171

1 1 2 1

1 18 85∴P312

312256，P

P2

1(2)8312256．9

10

2 3 Χ的分布列為：ΧΧ2050的期望為E17120

855076703835〔元〕.【點(diǎn)睛】

256 256 256 128{Pn

Pn1

}是等比數(shù)列、X全部可能取值對(duì)應(yīng)的概率，考察了學(xué)生分析問題、解決問題的力量，是一道綜合題．1-2．2020年春天隨著疫情的有效掌握，高三學(xué)生開頭返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了削減學(xué)生就餐時(shí)的聚攏排隊(duì)時(shí)間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會(huì)供給A、B兩種套餐〔每人每次只能選擇其中一種A2 1餐的概率為3

、選擇B類套餐的概率為．而前一天選擇了A類套餐其次天選擇A類31 34B4B類套餐其次天選擇A類套餐12的概率為P

、選擇B12．

，如此往復(fù)．記某同學(xué)第n天選擇A類套餐n證明數(shù)列P2是等比數(shù)列，并求數(shù)列P的通項(xiàng)公式； 5nn 5nn3名同學(xué)在復(fù)課其次天選擇AXX的分布列并求EX；20假設(shè)你是組長，如何安排分發(fā)A、B套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．4 1〕證明見解析，P2161n〔2〕1〔3〕套餐4 n 5 15 A8人，B12人；理由見解析．【解析】【分析】依題意得P P11P1，依據(jù)遞推關(guān)系即可證明P

2是等比數(shù)列，n1 n 4 n 2

n 5利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得P2的通項(xiàng)，即可求得P的通項(xiàng)公式；n 5 n依題意求得其次天選擇A、B類套餐的概率，列出X的可能取值，結(jié)合二項(xiàng)分布求得分布列與數(shù)學(xué)期望；由P的通項(xiàng)公式得P 2，依據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得分發(fā)A、B套餐的同學(xué)的人n數(shù)．【詳解】P

30 5P11P1，n1 n 4 n 25則P 21P2(n1,nN).5n1

5 4n 當(dāng)n1時(shí)，可得P24，1 5 15∴數(shù)列P2是首項(xiàng)為

4公比為1的等比數(shù)列.n 5

15 44 P2161n.4 n 5 15 其次天選擇A類套餐的概率P21111；A 3 4 3 2 3其次天選擇B類套餐的概率P23112，B 3 4 3 2 3∴3X個(gè)人選擇A套餐，X0、1、2、3，2有P(Xk)Ck

(k0,1,2,3)，333X0123X0123P8421279927故EX)08142231

1.27 9 9 27〔3〕由〔1〕P

2161n，4 n 5 154 P 230次以后購置A2.30 5 5則2028208125∴負(fù)責(zé)A8人，負(fù)責(zé)B12人.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：依據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；求出隨機(jī)變量全部可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；依據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望〔在計(jì)算時(shí)，要留意隨機(jī)變量是否聽從特別的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡化計(jì)算〕變式1-3為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的根底上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐其次天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?75%，前一天選擇餐廳乙就餐其次天50%?50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是23

，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n131天選擇甲餐廳就餐的概率為P.n記某班級(jí)的3位同學(xué)其次天選擇餐廳甲的人數(shù)為XXEX)；請(qǐng)寫出Pn1

與P(nN*)的遞推關(guān)系；nn求數(shù)列{P}的通項(xiàng)公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生效勞意識(shí)和團(tuán)隊(duì)20個(gè)班級(jí)中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生供給就餐效勞.nn〔1〕EX1；P

1P

nN*；1 n1

4 n 2812人，理由見解析.【解析】【分析】

BB3,1 3〔2〕由P P11P1可得結(jié)果；n1 n 4 n 2〔3〕由〔2〕求得P

，且P

2(n，由此可得安排方案.【詳解】

n n 5某同學(xué)其次天選擇餐廳甲就餐的概率P21111，A 3 4 3 2 3某同學(xué)其次天選擇餐廳乙就餐的概率P23112，B 3 4 3 2 3B3,1 3B3,1 3 1k23k PXk

Ck

k0,1,2,3，333X0123PX0123P8421279927故EX311.3P

P11P1，即P

1P

1 (nN*).1n1 n 4

n 2

4 n 21 1 2

2 〔2〕知P

P

(nN*P

P

nN*

當(dāng)n1時(shí)，n1P2224，

4 n

n1

5 4n 51 5 3 5 15數(shù)列P24公比為1的等比數(shù)列. 5n154 5n154P2

41n1，即P

2161n.n 5 15 n 5 15 44 P2(n44 n 5所以，安排到餐廳甲的志愿者人數(shù)為2028，安排到餐廳乙的志愿者人數(shù)為520812.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第〔1〕問的關(guān)鍵點(diǎn)是：探究得到X

BB3,1 3遞推關(guān)系P

1P (nN*).1n11

4 n 2典例2．為落實(shí)《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)時(shí)代學(xué)校體育工作的意見“安康學(xué)問＋根本運(yùn)動(dòng)技能＋專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能”“校內(nèi)競(jìng)賽－校級(jí)聯(lián)賽－選拔性競(jìng)賽－國際溝通競(jìng)賽”為一體的競(jìng)賽體系，構(gòu)建校、縣〔區(qū)、地〔市、省、國家五級(jí)學(xué)校體育競(jìng)賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動(dòng)，其中傳統(tǒng)工程“定點(diǎn)踢足球”深受同學(xué)們寵愛．其間甲、乙兩人輪番進(jìn)展足球定點(diǎn)踢球競(jìng)賽〔每人各踢一次為一輪，在一樣的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩11分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為12

，乙每次踢球命中的概率為2，且各次踢球3互不影響．1XX的數(shù)學(xué)期望；假設(shè)經(jīng)過np表示經(jīng)過第i輪踢球累計(jì)得分后甲得分高于乙得分的概i率．ppp；1 2 3p0

0pi

Api1

Bpi1

ppp1 2

的值求出A、B，并求出數(shù)列p

的通項(xiàng)公式．.n.1【答案〔1 〔2①1

7 7

43

6 ，B ，P6

1116【解析】【分析】

1 6 2 36

3

7 7

5 6nX的可能取值為1，0，1X的分布列與期望；①p1

1221分，621011p23輪投球，甲31321分，103輪中有1輪得12輪各得03輪中有2輪各得11輪得1由p3．②pi

Api1

Bpi1

p0

0,p1

1,p6

7,p36

43216

pi

6p7 i1

1p ，7 i1推導(dǎo)出pn【詳解】

p n1

1是首項(xiàng)與公比都是的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．6〔1〕記一輪踢球，甲命中為大事A，乙命中為大事BAB相互獨(dú)立．由題意PA1PB2X的可能取值為1，0，1．2 3PX1PABPAPB1121， 23 23 1 2 APB 1112123231 2 APB 1112123232PX1PABPAPB1121，

．2 3 6X的分布列為：XX101P131216EX1101111．3 2 6 61〔2〕①由〔1〕p ，1 6pPX0PX1PX1PX0PX12111117．2 6 6 2 6 36 3132輪1分，10分；甲311分，20分；甲32輪各1分，1輪得1分．13

12

1 1 12

12

1 43∴p C2 C1 C2 ，3 6

36

3 6

36 3 216p00piApi1Bpi1， 6pAp

A7 6 1∴1 2

代入得：p

p ，pAp

Bp 1

i 7 i1

7 i122∴p p

3 11pp

B7，∴數(shù)列pp

是等比數(shù)列，i1

i 6

i1

n n11公比為q ，首項(xiàng)為pp11 0

1，∴pp

1n ． ．6 6

n1

6p1∴ p1

1 1 1．P pp

p p

p

1 n n

n1

n2

0 6

6 5 6n【點(diǎn)睛】6 1關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用待定系數(shù)法得到p p p 后，緊扣等比數(shù)列定義是解決問題的關(guān)鍵.

i 7 i1

7 i12-12020年國慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國學(xué)問問答競(jìng)賽，每個(gè)人隨.假設(shè)答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，答復(fù).甲答對(duì)每個(gè)問題的1 概率為，答錯(cuò)的概率為.1 3 35XX的分布列及數(shù)學(xué)期望；假設(shè)甲在答復(fù)過程中消滅在第ii2個(gè)等級(jí)的概率為P，證明：PP為等比數(shù)列.

i i i11〕分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：202〕證明見解析.3【解析】【分析】XX5,6,7,8,9,10，依據(jù)概率公式分別求出對(duì)應(yīng)發(fā)生的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；依據(jù)的關(guān)系，求出P

的關(guān)系式P

2P1P

，再通過化簡和i1等比數(shù)列的定義求解即可.【詳解】

i

i1

3 i 3 1〕依題意可得，X5,6,7,8,9,10，25

25 32

241 24

1 80P(X5)C5 ，P(X6)C4 5 ，53 3 243 533 3 3 2432312 80 2213 40P(X7)C3 3 3 243533 2433 3 243

X8

C2 ，5 2 14 10 15 1PX9

C1 53 3 243

C0 ，53 243X56789X5678910P3280804010243243243243243E(X)53268078084091010 1 20.243 243 243 243 243 243 3〔2〕處于第i 1個(gè)等級(jí)有兩種狀況：由第i等級(jí)到第i 1等級(jí)，其概率為2P；3 i由第i1等級(jí)到第i 1等級(jí)，其概率為1P ；3i1所以P 2P1P

，所以P P1PP ，i1 3 i 3 i1P P 1

i1

3 i i1即i1 i .PP 3i i1

為等比數(shù)列.i【點(diǎn)睛】

i1此題考察概率公式?隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考察運(yùn)算求解力量?數(shù)據(jù)處理能力考察數(shù)學(xué)運(yùn)算?規(guī)律推理核心素養(yǎng).其中其次問解題的關(guān)鍵在于查找P 與P，Pi1 i i1的關(guān)系式，即：P 2P1P i2，進(jìn)而依據(jù)等比數(shù)列的定義證明.i1

3 i

i1變式2-2．為搶占市場(chǎng)，特斯拉電動(dòng)車近期進(jìn)展了一系列優(yōu)待促銷方案.要保證品質(zhì)100輛Model3型汽車作為樣本進(jìn)展了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)展分析，得到如下圖的頻率分布直方圖：100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替).Model3X近似地聽從正態(tài)分布N

,2

，經(jīng)計(jì)算第〔1〕s50.用樣本x作為s作為250400千米之間的概率.“玩玩耍，贏大獎(jiǎng)，送車?！被顒?dòng)，客戶可依據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，假設(shè)車模最終停在“幸運(yùn)之神”6“贈(zèng)送車?！狈礁駮r(shí)，則可獲得車模一個(gè).硬幣消滅正?反面的概率都是0.5，方格圖上標(biāo)有第0格?1格?2格?……?20格.0前移動(dòng)一次.假設(shè)擲出正面，車模向前移動(dòng)一格(kk+1)，假設(shè)擲出反面，車模向前移動(dòng)兩格(kk+2)19格(幸運(yùn)之神)20格(贈(zèng)送車模)時(shí)玩耍結(jié)束.設(shè)車模移到第n1n19格的概率為P，試證明PP

,n2是等比數(shù)列；假設(shè)n n n166人獲得優(yōu)待券總金額的期望值(1萬元).參考數(shù)據(jù)：假設(shè)隨機(jī)變量聽從正態(tài)分布N,2，則P0.6827P220.9544,P330.99731〕300(千米)〔2〕0.8186〔3〕證明見解析，優(yōu)待券總金額的期望24元.【解析】100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值．XN(300,502)，由此能求出它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米400千米之間的概率．0P0

1，第一次擲硬幣消滅正面，遙控車移12

P1

1n(2n19)格的狀況是以下兩種，2而且也只有兩種．①遙控車先到第n2格，又?jǐn)S出反面，其概率為1P

，②遙控車2 n2先到第n1格，又?jǐn)S出正面，其概率為1P

，從而PP

1(P

P ，進(jìn)而能2 n1

n

2

n2證明當(dāng)2n19時(shí)，數(shù)列Pn

Pn1

是公比為1的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果．2【詳解】〔1〕x0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300〔千米〕XN(300,502)所以P(250X400)0.95440.95440.68270.81862第一次擲硬幣消滅正面，車模從第0格移到第一格，其概率為1,即P

1移動(dòng)2 1 2P

111

3.車模移到第n3n19)格的狀況是以下兩種，而且也只有兩種.

2 2 2 2 4①車模先到第n2格，又?jǐn)S出反面，其概率為1P2 n2②車模先到第n11P2 n1所以P1P 1P ，PP 1(P P )，n 2 n2

2

n

2

n2當(dāng)3n19時(shí)，數(shù)列{Pn

Pn1

}是公比為1的等比數(shù)列.2 P1,PP12,PP13，閱歷證n2也滿足.{PP }是公比為1的 1 2 2 1 2 3 2 2

n n1 2 等比數(shù)列.P1,P

P12,PP13,PP

1n1 2 2

1 2 3 2 2 n n1 2以上各式相加，得PP1213

1nn 1 2 2 2 P 11213

1n

1

1n即 1

1 n 2 2 2 2 3 2P2

1n1n2,,19)，經(jīng)檢驗(yàn)

時(shí)也符合.n 31 2 n 1 P2

1n1

n1,2,,19n 31 2 ，

P 2 120獲得優(yōu)待券的概率

1 3 19 3 獲得車模的概率P

1P

20 2 18

1 2

2 6XX

B6, 1 X的期望E(X)62

120

120

3

2 31 2 1

2

設(shè)優(yōu)待卷總金額為Y萬元，Y6X優(yōu)待券總金額的期望E(Y)E(6X)4

1206

12024萬元1

2

241

2 【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：由于頻率分布直方圖中是沒有樣本數(shù)據(jù)的，平均值等于每個(gè)小長方形面1.變式2-30，1，2，…，50級(jí)，有一位同學(xué)拋擲一枚均勻質(zhì)地的骰子進(jìn)展登攀臺(tái)階玩耍，這位同學(xué)開頭時(shí)位0級(jí)，假設(shè)擲出偶數(shù)點(diǎn)，則向上一步登一級(jí)臺(tái)階，假設(shè)擲格外數(shù)點(diǎn)，則向上一步登兩級(jí)臺(tái)階，直到登上第49級(jí)〔成功〕或第50級(jí)〔失敗，玩耍完畢．設(shè)X()為登n級(jí)的步數(shù)(1n50)n級(jí)的概率為P．n〔I〕X(3)的分布列與數(shù)學(xué)期望；Ⅰ〕證明：Pn

Pn1

(2n49)為等比數(shù)列．〔Ⅰ〕分布列見解析，11〔Ⅰ〕.5【解析】【分析】Ⅰ〕X(3)登至第3級(jí)的根本大事31次奇數(shù)1次偶數(shù)，即X(3)可能取值為2，3，每次擲奇數(shù)、偶數(shù)的概率都為12

，依據(jù)二項(xiàng)分布，并結(jié)合古典概型求概率，寫出分布列并出求期望；Ⅰ〕從第n2級(jí)登至第n級(jí)的概率為2

，從第n1級(jí)登至第n12

，由條件概率及概率加法公式得P

1P

并整理，又P

1,P

1即可證等比數(shù)列.【詳解】

n 2 n1

n2

0 1 2Ⅰ〕由定義知，X(3)可能取值為

C1111 1C1 P(X(3)2)

222 24，C1111C122

13 5 52 813

2 1

2 1P(X(3)3)

8 ．C1111C122

13 5 52 82 X(3)的分布列為XX(3)23P4515∴E(X(3))243111．5 5 5Ⅰ〕證明：由題意，P1P

，則PP

1P

(2n49)；n 2 n1又PP=111，

n2

n

2 n1 n21 0 2 2Pn【點(diǎn)睛】

Pn1

(1n49)是首項(xiàng)、公比均為1的等比數(shù)列．2關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由登至第n級(jí)的各個(gè)根本大事都是獨(dú)立試驗(yàn)，應(yīng)用二項(xiàng)分布公式求概率，再由n級(jí)概率；理解登至第n級(jí)可以從第n2級(jí)或第n1級(jí)一次性完成，結(jié)合概率加法公式確定P,P

的關(guān)系式.n n1 n2穩(wěn)固練習(xí)與數(shù)列相結(jié)合問題某景點(diǎn)上山共有999.1也可以一步上兩個(gè)臺(tái)階，假設(shè)甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率320級(jí)臺(tái)階開頭向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階31分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第n個(gè)臺(tái)階的概率為P，其中nN*，且nn998.3XX的概率分布；證明：數(shù)列Pn1

P是等比數(shù)列；n99級(jí)臺(tái)階的概率.【答案】(1)分布列見解析(2)證明見解析(3)3

42985 15

3 【解析】【分析】3步時(shí),是一步上一個(gè)臺(tái)階還是一步上兩個(gè)臺(tái)階,X的全部可X的分布列；由題意可得到遞推式P

1P 2P，構(gòu)造數(shù)列，從而證明結(jié)論；n2

3 n1 3 n利用〔2〕n項(xiàng)和公式，求得答案.(1)X3，4，5，6， 13 1

2 12 2PX3327，PX4

C1 ，3 3 3 9 22 1 4 23 8PX5

C2339，P

X6

327，3 ∴X的分布列為：XX3456P1272949827(2)證明：由題可得P

1 2 P P，n2

3 n1 3 n∴P P

2P

P，∵P

1

2 12

7，∴P

4，P 0，n2

n1

3 n1

1 3

3 3 9

2 1 9 ∴數(shù)列P

P 4

2為公比的等比數(shù)列.(3)

n1

n 9為首項(xiàng)，3由〔2〕可得P

PP

PP994

99

98

2 1 19 13

3 4 298

1

.12 3 5 15 33近年來，能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模進(jìn)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投人市場(chǎng)以來，受到.假設(shè)選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.3XX的分布列與數(shù)學(xué)期望；假設(shè)有nnNn分的概率為an

n

的通項(xiàng)公式；在〔2〕99100分時(shí)就停頓計(jì)分，假設(shè)總得99100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.【答案】(1)

9分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；2a

211n1；n 3 6 2這方案不合理，分析答案見解析.2【解析】【分析】X3，4，5，6.分別求得隨機(jī)變量取每一值時(shí)的概率得其分布列，由數(shù)學(xué)期望公式可求得答案；nn分的狀況是先得〔n1〕分，再得，概率為1a ，即有1a1a2 n1 n 2

，由此可求得答案；由〔2〕求得a ，a ，比較可得結(jié)論.99 100(1)X3，4，5，6.13 1

13 3

13 3P(X3)28，P(X4)C128，P(X5)C228， 3 3 P(X6)131.2 8 X的分布列如下表所示：X X 3456P18383818∴E(X)314353619.8 8 8 8 2(2)nn分的狀況是先得〔n1〕21a2

，n1∴1a1a

，即a

21a

2.22n 2 n122

n 3

n1 3又a1a21a3

211n1，即a

211n1.1 2 1 3 (3)

n 3 6

n 3 6 解：由于a

211982，a

211992，∴a

a ，299 3 6 32

100

3 6 3

100 992∴選擇乙機(jī)構(gòu)的概率大于甲機(jī)構(gòu)，這方案不合理.2跡與旅游景點(diǎn)，其中黃鶴樓與東湖被稱為武漢的兩張名片.為合理配置旅游資源，現(xiàn)1分，連續(xù)2分，每位游客游玩東湖的概率均為12

，游客是否游玩東湖相互獨(dú)立.假設(shè)從游客中隨機(jī)抽取mmAm

，求數(shù)列Am

10項(xiàng)和；在對(duì)全部游客進(jìn)展隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn

Bn

與Bn1

之間的關(guān)系，并求數(shù)列B的通項(xiàng)公式.n1〕1023〔2〕

1，B

211n.2【解析】2【分析】

1024

n 2

n 3 3 Am

，利用等比數(shù)列求和即可；依據(jù)概率關(guān)系可得B1B

1，構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)公式即可.n 2 n1【詳解】總分恰為mAm

1m 2 ∴數(shù)列Am

12

12

的等比數(shù)列，10項(xiàng)和S

11

12101023.10 11 10242已調(diào)查過的游客的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，得不到n分的狀況只有先得n1分，再得2分，概率為1B ，B1.2∴1B1B B1B

n1 1 21，n 2 n1 n 2 n1∴B21B 2.n 3 2

n1 3 ∴數(shù)列B2是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列， 3n62 3n62∴B

211(n1)

211n.n 3 6 3 3 222212

，從其次代開頭，假設(shè)上一代開紅花，則這一代開紅花的概率212是，開黃花的概率是

3，假設(shè)上一代開黃花，則這一代開紅花的概率是，開黃花的3 3 52 n p n q概率是，記第5

代開紅花的概率是，第n

代開黃花的概率為，np；2試求數(shù)列p

nNn

的通項(xiàng)公式；第nnN

n2代開哪種顏色的花的概率更大.〔1〕p2【解析】【分析】

7〔2〕p15

415

pn1

3〕第n.p

1p3q

計(jì)算；2 3 1 51p

1p3(1p

)可得p 9是等比數(shù)列，從而求得p；nn1 3 n 5 nn1

19 n1pn【詳解】

p

，從而q1p ，從而可得結(jié)論．n 2 n n 2解〔1〕其次代開紅花包含兩個(gè)互斥大事，即第一代開紅花后其次代也開紅花，第一代開黃花而其次代開紅花，1p1

，得：2

37.2 13

1 5 15〔2〕n代開紅花的概率與第n1代的開花的狀況相關(guān)，故有p p

p

34p 3n n13

n1

5

n1 5p

94 9p，n 19 15p，

n1

19p1

9191，19 2 19 38n所以數(shù)列p9是以n

14為公比的等比數(shù)列. 19

38 15pn

914n1，所以19 15p 19 15p

914n119 38 19 38 〔3〕由〔2〕p

9

1

4n1 9 1

1，n 19 38

19 38 2nNpn

1，因此第n代開黃花的概率更大.230個(gè)樓盤的均價(jià)進(jìn)展了統(tǒng)計(jì)，得到如下頻數(shù)分布表：X〔〕X〔〕4,55,66,77,88,99,10頻數(shù)22111041s作為XX~N,2，8.129.24千元之間的概率；味蹦臺(tái)階送憂惠活動(dòng)，由兩個(gè)客戶協(xié)作完成該活動(dòng)，在一個(gè)口袋中有大小材質(zhì)均一樣4020個(gè)，客戶甲可隨機(jī)從口袋中取出一個(gè)球，取后放回，假設(shè)取5個(gè)臺(tái)階〔0.3千元〕6個(gè)臺(tái)階〔每平方米優(yōu)惠3千元〕時(shí)〔活動(dòng)開頭時(shí)的位置記為第0個(gè)臺(tái)階，玩耍完畢.①設(shè)客戶乙站到第n0n6,nN個(gè)臺(tái)階的概率為P

，證明：當(dāng)1n5時(shí)，數(shù)列n n1

n是等比數(shù)列；1.251.4請(qǐng)問該對(duì)夫妻是否應(yīng)參與蹦臺(tái)階活動(dòng).1.25

1.12，250.13.X~N,2，則P0.68，P220.95，P330.997.1〕0.135〔2〕①.【解析】【分析】依據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算均值與方差，得X~N7,1.25，然后由對(duì)稱性和特定區(qū)間的概率得出結(jié)論；2〔〕①由P20

1，P1

1，而n2時(shí)，即客戶到第n人臺(tái)階分為兩種狀況：一是3從第n 1個(gè)臺(tái)階跳一級(jí)過來，另一個(gè)是從第n2個(gè)臺(tái)階跳2級(jí)過來，由此可得P遞n推關(guān)系，變形后可證題設(shè)結(jié)論；②利用①求得P，計(jì)算參與活動(dòng)的期望值0.3P

3P與1.4比較可得．n【詳解】〔1〕x4.52

5.5

526.5117.5108.5

649.51

7，s2(4.57)2

30 30 30 30 30 2 2 11 (5.57)2 (6.57)2 (7.57)22 2 11 30 30 30 304 (8.57)2 (9.57)2 1.25.4 30 30由于x7s21.25，s1.12X~N7,1.25.P(8.12X9.24)0.950.680.135.20個(gè)臺(tái)階為必定大事，故P0

1，客戶甲第一次1摸得黑球，客戶乙邁上第一個(gè)臺(tái)階，其概率為，故3

P1.1 3客戶乙邁入第n2n5個(gè)臺(tái)階的狀況為以下兩種，而且也只有兩種.一是客戶乙先到第n2格，客戶甲又摸出紅球，其概率為2P ；3 n2二是客戶乙先到第n1格，客戶甲又摸出黑球，其概率為1P ，所以P1P

，則PP

2P P .

3n1n 3 n1

3 n2

n n1

3 n1 n2所以當(dāng)1n5時(shí)，數(shù)列PP

是首項(xiàng)為PP2，公比為2的等比數(shù)列.n n1②由①知，當(dāng)1n5PP

1 0 3 32n，3 n n1 3 所以PPPPPP PP n 0 1 0 2 1 n n122223

2n

22n， 3 3

3

3

整理得P

322n，所以P

3225

0.548，33n 5 5 5 5 5 33且P2P22250.452. 6 3 4 5 5 3設(shè)這對(duì)夫妻參與玩耍獲得優(yōu)待的期望為每平方米Y千元，則E(Y)0.3P5

3P6

0.30.54830.4521.5204〔千元〕.由于1.52041.4，所以參與玩耍比較劃算.2019101827日在武漢進(jìn)展，賽期1027個(gè)大項(xiàng)、329個(gè)小項(xiàng).其中，空軍五項(xiàng)、軍事五項(xiàng)、海軍五項(xiàng)、定向越野和跳傘5個(gè)工程為軍事特色工程，其他工程為奧運(yùn)工程.現(xiàn)對(duì)Z國在射擊競(jìng)賽預(yù)賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)展分析，得到如下的頻率分布直方圖：估量Z國射擊競(jìng)賽預(yù)賽成績得分的平均值x〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；依據(jù)大量的射擊成績測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為射擊成績X近似地聽從正態(tài)分布N,2〔1〕問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s50，用樣本平均數(shù)x作為的s作為X350400的概率；〔參考數(shù)據(jù)：假設(shè)隨機(jī)變量N,2P0.6827，P2≤20.9545，P330.9973〕.某汽車銷售公司在軍運(yùn)會(huì)期間推廣一款能源汽車，現(xiàn)面對(duì)意向客戶推出“玩玩耍，送大獎(jiǎng)”，活動(dòng)，客戶可依據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，假設(shè)遙控車最終停在“成功大本營”，則可獲得購車優(yōu)待券.骰子消滅任意點(diǎn)數(shù)1的概率都是，方格圖上標(biāo)有第6

遙控車開頭在0格，客戶每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次，假設(shè)拋擲出正面對(duì)上的點(diǎn)數(shù)是12，3，4，5點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)一格〔從k到k1，假設(shè)拋擲出正面對(duì)上的點(diǎn)數(shù)是6點(diǎn)，遙控車向前移動(dòng)兩格〔從k到k2，直到遙控車移動(dòng)到第49格〔成功大本營〕50格〔失敗大本營〕時(shí)，玩耍完畢.nP，試證明Pn

P

是等比數(shù)列，并求P50

，以及依據(jù)P50

n的值解釋這種玩耍方案對(duì)意向客戶是否有吸引力.1300〔20.1359〔3〕證明見解析，

1149，對(duì)意向客戶有吸1 50 76 引力.【解析】【分析】利用組中值代入求平均值；N(，2)，代入即可；PP

是首項(xiàng)為PP1，公比為1的等比數(shù)列，寫出通n n1

1 0 6 6項(xiàng)公式，利用差分求出P

，求出P

P通過比較，可得結(jié)論.【詳解】〔1〕

n 50 49X0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300；所以P(350X400)1(0.95450.6827)0.1359；2〔3〕0P0

1，6 1 P6 1 P第一次擲骰子，正面對(duì)上不消滅點(diǎn)，搖控車移動(dòng)到第格，其概率為，即

5；6 1 6搖控車移到第n格2n49格的狀況是以下兩種，而且也只有兩種；①搖控車先到第n2格，拋擲出正面對(duì)上的點(diǎn)數(shù)為6點(diǎn)，其概率為1P ；6n2②搖控車先到第n1格，拋擲骰子正面對(duì)上不消滅6點(diǎn)，其概率為5P ，故P1P

，PP

1P

P ，

6n1n 6n2

6n1

n n1

6

n2故1n49PP

是首項(xiàng)為PP

1，公比為1的等比數(shù)列，故PP

n1n，

n1

1 0 6 66 n n1 6 PPPPPPPP n 0 1 0 2 1 n n11112

1n 6 6 6 11n1 6 6

6 1n1 1 11

7 6 6 6 1P P

16

1491

1491，50 6

48

P 1P49 50

67 6 76 21，2故這種玩耍方案客戶參與中獎(jiǎng)的可能性較大，對(duì)意向客戶有吸引力.7．為了避開就餐聚攏和削減排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停惩瑢W(xué)每天中午會(huì)在食堂供給的兩種套餐中選擇，他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠?14，前一天選擇面食套餐后一天連續(xù)選擇面食套餐的12

，如此往復(fù)．求該同學(xué)其次天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；記該同學(xué)第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿镻．nP2為等比數(shù)列； 5n 5n5n證明：當(dāng)n2Pn

12．1 1 2 i

ii .〔【解析】【分析】

〕3

〔〕

〕證明見解析〔1〕A1

“第1天選擇米飯?zhí)撞汀盇2

“第2天選擇米飯?zhí)撞汀盇1

“第1天不選擇A2 米飯?zhí)撞汀保扇怕使接蠵APAPA APAPAA2

，計(jì)算可得；2 1 2 1 1n2〔i〕設(shè)n

“第n天選擇米飯?zhí)撞汀?，則Pn

PAn

，依照〔1〕可得P

與P的關(guān)n