張量分析總結(jié)

第第，則T必定是一個(gè)p+q階的張量。以上規(guī)則稱為張量的商法則。3二階張量二階張量是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中最常遇到的一類張量，例如應(yīng)力張量、應(yīng)變張量、變形梯度張量和正交張量等。3.1二階張量的矩陣(1)任何一二階張量T總可以按其分量寫成矩陣形式： (3.1)二階張量與矩陣雖然有上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，但它們并非全能一一對(duì)應(yīng)。首先，矩陣并非只包括方陣，而二階張量只能對(duì)應(yīng)方陣；其次，在一般坐標(biāo)系中，轉(zhuǎn)置張量與轉(zhuǎn)置矩陣、對(duì)稱（或反對(duì)稱）張量與對(duì)稱（或反對(duì)稱）矩陣不能一一對(duì)應(yīng)；第三，二階張量的某些運(yùn)算不完全能用矩陣的運(yùn)算與之互相對(duì)應(yīng)。(2)二階張量T的轉(zhuǎn)置張量TT為： (3.2)(3)二階張量的行列式二階張量對(duì)應(yīng)的矩陣具有行列式值：由于兩個(gè)互為轉(zhuǎn)置的矩陣的行列式值相等，故兩個(gè)互為轉(zhuǎn)置的張量的行列式相等(4)二階張量的代數(shù)運(yùn)算與矩陣的代數(shù)運(yùn)算張量的相等、相加、標(biāo)量與張量相乘等代數(shù)運(yùn)算均與矩陣運(yùn)算一一對(duì)應(yīng)；二階張量與矢量的點(diǎn)積；二階張量與二階張量的點(diǎn)積。以上運(yùn)算都可以表示成對(duì)應(yīng)的矩陣運(yùn)算，但二階張量的有些運(yùn)算沒(méi)有相應(yīng)的矩陣運(yùn)算，例如并乘運(yùn)算。3.2幾種特殊的張量3.2.1零二階張量零二階張量將任意矢量映射為零矢量，它是一種特殊的退化的二階張量。零二階張量對(duì)應(yīng)的矩陣為： (3.3) (3.4)式中，左端的O是零二階張量，右端的0為零矢量。3.2.2度量（單位）張量G QUOTE (3.5)度量張量將任意矢量映射為原矢量，即： (3.6)度量張量與任意二階張量的點(diǎn)積仍為該張量本身，即： (3.7)因此，有些書中將度量張量記作I或1。3.2.3球形張量主對(duì)角分量為α，其余分量為零的二階張量稱為球形張量。它是數(shù)α與單位張量的數(shù)積，即： QUOTE (3.8)3.2.4轉(zhuǎn)置張量二階張量QUOTE由對(duì)換分量指標(biāo)而基矢量順序保持不變所得的新張量稱為張量B的轉(zhuǎn)置張量。若同時(shí)轉(zhuǎn)換二階張量B的分量指標(biāo)和基矢順序，結(jié)果仍為B。三階張量QUOTE有三種不同的轉(zhuǎn)置張量，任意對(duì)換i，j，k得到： (3.9)3.2.5對(duì)稱張量與反對(duì)稱張量對(duì)稱張量，轉(zhuǎn)置張量等于其自身的張量：。反對(duì)稱張量，轉(zhuǎn)置張量與其相反的張量：。QUOTE三維二階對(duì)稱張量的獨(dú)立分量有6個(gè)，n維有QUOTE個(gè)。反對(duì)稱張量的主對(duì)角分量為0。三維二階反對(duì)稱張量的獨(dú)立分量有3個(gè)，n維有QUOTE個(gè)。任意