2023屆贛州市重點(diǎn)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（幻=幽（彳€穴），若關(guān)于X的方程/（?-加+1=0恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

ex

圍為（）

A.（冬,DB.（0,冬）C.（1,-+1）D.（1廖+1）

2e2ee2e

2.已知命題P：若a<1,則/<i，則下列說法正確的是（）

A.命題〃是真命題

B.命題〃的逆命題是真命題

C.命題P的否命題是“若a<\,則/21”

D.命題，的逆否命題是“若a?z1,則。<1"

22

3.過雙曲線餐一斗.=1（a>0/>0）的左焦點(diǎn)尸作直線交雙曲線的兩天漸近線于A,8兩點(diǎn)，若6為線段E4的中

ab

點(diǎn)，且08,￡4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）

A.72B.V3C.2D.75

4.設(shè)beR：數(shù)列｛《,｝滿足％=2,an+l=a-a1+b,〃eN*，則（）

A.對(duì)于任意。，都存在實(shí)數(shù)M,使得4恒成立

B.對(duì)于任意匕，都存在實(shí)數(shù)使得?！?lt;用恒成立

C.對(duì)于任意Z?e（2-4a,+8）,都存在實(shí)數(shù)使得%恒成立

D.對(duì)于任意（0,2-4a）,都存在實(shí)數(shù)M,使得q<M恒成立

5.已知函數(shù)/（x）=ei+x-2的零點(diǎn)為若存在實(shí)數(shù)〃使f一以一a+3=（）且|機(jī)—"區(qū)1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

77

A.[2,4]B.2,-C.-,3D.[2,3]

6.復(fù)數(shù)2i（l+i）的模為（）.

A.；B.1C.2D.25/2

7.函數(shù)/（》）=]一，K11%4萬且XNO）的圖象是（）

9.設(shè)集合M={x[l<xW2},N={x|x<a},若McN=M,則。的取值范圍是（）

A.（-℃,1）B.（-oo,l]C.（2,-KO）D.[2,+oo）

10.已知數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為q=2〃+2,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記必為數(shù)陣從左至右的〃歹U,

n

從上到下的〃行共〃2個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列丁的前2020項(xiàng)和為（）

44%-4+2

???????????????

a”4+2***02n-\

1011201920201010

A.-------B.-------C.-------D.-------

2020202020212021

xNO

11.已知“，人，ceR,a>6>c,a+6+c=0.若實(shí)數(shù)x,丁滿足不等式組<x+y<4,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y

hx+ay+c>0

()

A.有最大值，無最小值B.有最大值，有最小值

C.無最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

2i3

12.i為虛數(shù)單位，則的虛部為()

1-i

A.-iB.iC.-1D.1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若(*-3?)"的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為

14.棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCO與正三棱錐E-BCO的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體MCDE的頂點(diǎn)均在一球的

球面上，則正三棱錐E-BC。的內(nèi)切球半徑為.

15.若向量°=任,2),。=(1,x)滿足〃“<3,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形A5C的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓彳+丁=1(。>1)上，其中A(0,1)為直角

27

頂點(diǎn),若該三角形的面積的最大值為k，則實(shí)數(shù)〃的值為.

O

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=2+2cos0

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為<c.z>'(。為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

y=2sin0

4

非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕2=一；--------—,

cos-?+4sin-a

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線/：丁=依與曲線C、曲線C?在第一象限交于P,Q兩點(diǎn)，且|?！?2|。。|,點(diǎn)"的坐標(biāo)為(2,0),求

△MPQ的面積.

18.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程，某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)

選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：[20,30),[30,40),…，[70,80],并繪制了如圖所示的

頻率分布直方圖.

餐率收I提

0.035-

0.030

0.025-

0.020?

0.0IS>

0.010-

0.005-

0203。4050607080彳^歲

(1)現(xiàn)從年齡在[20,30),[30,40),[40,50)內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)

行座談，用X表示年齡在130,40))內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查，其中有攵名市民的年齡在[30,50)

的概率為P(X=Z)(攵=0,1,2,-,20).當(dāng)P(X=Q最大時(shí)，求女的值.

19.(12分)改革開放40年，我國經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷

加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取

男女駕駛員各50人，進(jìn)行問卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在8()分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).

安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

(I)求。的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;

(D)已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為4:1,完成2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別

有關(guān)；

(in)在(II)的條件下，從交通安全意識(shí)強(qiáng)的駕駛員中隨機(jī)抽取2人，求抽到的女性人數(shù)x的分布列及期望.

2n(ad-bc)2,,

附：K---------------------------------------，其中〃=a+Z?+c+d

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P（K>k）0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

x=2-t

20.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線C,的參數(shù)方程為｛—C。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸

y=2+t

的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為。=cos。(夕cos6+2).

(1)求曲線G與直線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G與直線G交于A,8兩點(diǎn)，求的值.

21.(12分)已知等差數(shù)列但/的前"項(xiàng)和為S”，且6+。3="，S4=24.

①求數(shù)列14)的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹的前"項(xiàng)和7”.

n

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝,其前〃項(xiàng)和為S“，滿足q=2,S“=4〃a“+〃a,i，其中〃..2,衣葉，A,

⑴若2=0,〃=4,bn=an+i-2an(〃eN*)，求證：數(shù)列｛包｝是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列，求X,〃的值；

⑶若%=3,且九+〃=],求證：數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

討論x＞0,x=0,尤＜0三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=g,故/(幻=5^,函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且/出=等;

當(dāng)x=0時(shí),/(0)=0；

rz1-2%

當(dāng)x＜0時(shí)，/(x)=W，/'(%)=-5后＜0,函數(shù)單調(diào)遞減；

卜/r八

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0＜團(tuán)—1＜/,故機(jī)e(1,----F1)?

2e

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

2.B

【解析】

解不等式，可判斷A選項(xiàng)的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用原命題與否命題、

逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

解不等式/＜1，解得一1＜。＜1,則命題。為假命題，A選項(xiàng)錯(cuò)誤

命題。的逆命題是“若/＜1，則。＜1"，該命題為真命題，B選項(xiàng)正確；

命題，的否命題是“若,則/zl"，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

命題，的逆否命題是“若/21，則。之1”，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

由題意可得雙曲線的漸近線的方程為V=±2x.

a

丫B為線段E4的中點(diǎn)，Q8LE4

：.OA=OF=c,則A40F為等腰三角形.

:./BOF=ABOA

由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得ZBOF=ZxOA

:.ZBOF=ZBOA=ZxOA=60°

.,.-=tan60°=V3,即）2=3/.

a

二雙曲線的離心率為e=-==—=2

aaa

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時(shí)涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角

形的三邊的關(guān)系應(yīng)用，對(duì)于求解曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式e=±；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于。，仇C的齊次式，轉(zhuǎn)化為a,C的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不

等式），即可得e（e的取值范圍）.

4.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛4｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使明＜用，只需2＜匕業(yè)也立,由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取。=匕=1,an+i=a；,+l,數(shù)列｛%｝恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng);

由蛛網(wǎng)圖可知'加”一-存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)'且寸三々=1±七

因?yàn)楫?dāng)0<%<否時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則atl<x,；

當(dāng)％<4<W時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則%,<an<4；

所以要使只需要()<弓<々，故2〈歸二匠遜，化簡(jiǎn)得。<2—4。且方>0.

2a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

5.D

【解析】

易知/(x)單調(diào)遞增，由/(1)=0可得唯一零點(diǎn)m=1,通過已知可求得0<〃<2,則問題轉(zhuǎn)化為使方程

V-以一。+3=0在區(qū)間［0,2］上有解，化簡(jiǎn)可得。=%+1+2-2，借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

易知函數(shù)/(x)=e*T+x-2單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為加=1,所以|1一〃區(qū)1,...OWnWZ,問題轉(zhuǎn)化為：使方程

f一次一。+3=0在區(qū)間［0,2］上有解，即a=工±2=1)、-2("+D+4=工+1+/_—2

x+1X+lX+1

在區(qū)間［0,2］上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)y=x+l+W-2在區(qū)間［0,2］的值域?yàn)椋?,3］,.?.2WaW3.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了方程有解問題，分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值

范圍問題，難度較難.

6.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【詳解】

解：2/（1+z）=-2+2/,

???復(fù)數(shù)2/（1+i）的模為7（-2）2+22=20.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.

【詳解】

由題可知/（%）定義域?yàn)椋垡桓亍＃?°，句，

???/（X）是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱,

二排除C,D.

72一36

<0,

12萬

”X）在（0㈤必有零點(diǎn),排除A.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.A

【解析】

用x<0排除5,C；用x=2排除。；可得正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)x<0時(shí)，x2-4x+l>0?e'>0>

所以/(力>0,故可排除8,C；

當(dāng)x=2時(shí)，/(2)=-3e2<0,故可排除Z).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

由McN=M得出M=利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

M=1x|l<x<21,N={x|x<a}且A/cN=M,;.a>2.

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(2,+8).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為q,可得9=4+4%|+...+?！?一=〃(〃+萬+1),繼而可求解

。n1

a=J+C2+...+C.=2〃2(〃+1),表示廠=丁7~X，裂項(xiàng)相消即可求解.

bn2〃(〃+1)

【詳解】

由題意，設(shè)每一行的和為￡

故c(.=4+aM+...+a“+i=("+；"-)"=〃("+2i+1)

因此：b,—C1+c2+…+c”=〃[(〃+3)+(〃+5)+…+(/?+2〃+1)]—(〃+1)

hn2n(n+1)2n〃+l

…111111、1八1、1010

故S^o——Z1(1----1----------F???H------------------)=—(1---------)—------

2020222320202021220212021

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

11.B

【解析】

判斷直線笈+ay+c=O與縱軸交點(diǎn)的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.

【詳解】

由a+b+c=O,a>b>c,所以可得a>0,c<0.

cc1clic

a>b=a>-a-c=—>一2,b>c=>-?-c>c=>—<——-2<—<——=>—<——<2,

aa2a22a

bc

所以由〃x+ay+c=Ony=-tx-上，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖

aa

所示：

由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.

12.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

2『—2，—2z(l+i).

-~~；=-~：=7：~7TZ—T=-Z(l+O=l-Z，故虛部為-1.

1-Z1-Z(l-z)(l+z)

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)。+初（a,》eR）的虛部為〃，不是從，本題為基礎(chǔ)題，也是易錯(cuò)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2025

【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和列方程，由此求得〃的值.再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中x的

系數(shù).

【詳解】

依題意，令x=l,解得2"=32,所以〃=5,則二項(xiàng)式（2-3石）的展開式的通項(xiàng)為：

（s（1Y生.5

=］一叼=55，（-3）y?

令。一5=1,得廠=4,所以x的系數(shù)為55^x（-3）4XC；=2025.

2

故答案為：2025

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，考查二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

14372-76

14.---------a

12

【解析】

由棱長(zhǎng)為。的正四面體ABCO求出外接球的半徑，進(jìn)而求出正三棱錐E-3C。的高及側(cè)棱長(zhǎng)，可得正三棱錐

七-8。的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進(jìn)而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積丫=^5表面積?/?',求出內(nèi)

切圓的半徑.

【詳解】

由題意可知：

多面體ABCDE的外接球即正四面體ABC。的外接球

作面交于連接CE,如圖

B

則CF=2.走"旦,且4E為外接球的直徑，可得

323

AF=y/AC2-CF2=

a

設(shè)三角形BCD的外接圓的半徑為「，貝ijsin60°近，解得「=恭

設(shè)外接球的半徑為R，則上=產(chǎn)+(AF-R)2可得2A/.R=r2+AF2^

即2?瓜.R=《+史，解得R=4,

3394

設(shè)正三棱錐E-BCD的高為〃，

因?yàn)锳E=2R=^^-a,所以。=EF=2R—AF==-^-a>

2236

所以BE=CE=DE=yjEF2+CF2

而BD=BC=CD=a,

所以正三棱錐￡-BC￡)的三條側(cè)棱兩兩相互垂直,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為R',VE-BDC=§S岫CD'EF=-,（SE_BCD）表面積"R'>

an1百2屈13+百2“甑省n'3>/2-A/6

即——a?——a=--------a?R解得：R=------------a.

3463412

故答案為：3正步第

12

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意借助

幾何體的直觀圖進(jìn)行分析.

15.(-3,1)

【解析】

根據(jù)題意計(jì)算4-6=三+2不<3,解得答案.

【詳解】

<7=(%2,2),。=(1,X),故”.b=x2+2XV3,解得一3cx<1.

故答案為：(一3,1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

16.3

【解析】

-7a2k1-a2k2

設(shè)直線AB的方程為y=kx+\,則直線AC的方程可設(shè)為j=--x+l,(厚0),聯(lián)立方程得到B(",,a：),

kl+a2k2l+a2k2

-khC-...................................A?—心J-殂，―/2i\2到甲小牯太竺#殂利公安

14,21;2.11k------------FCl~t

1+a+ci1k+-j~Y1t

【詳解】

設(shè)直線AB的方程為y=kx+l,則直線AC的方程可設(shè)為y=x+1,（孫0）

K

y=kx+\

-2a2k

22

由,尤2消去y,得（1+層42）x+2akx=0f所以x=0或x--------

—+/=1l+a2k2

[a-

-2n2k2G即B（~2a~k,"aK）

???A的坐標(biāo)（0,D,?,?b的坐標(biāo)為（二^"，k,—“二+1）,

2222

l+akl+ak1+八2i+a2k2

因此AB=卜―-2呼）2+（]」一吁：）2=Ji+\2.2aq

V\+a2k21+a2k2X+crk2

M

同理可得：+

-1+F

2Q4a4

j<——=-----------------

,:t=k+:22,/?SAABCI(c(2_1)2~ci{cr-1).

k2J-Jxah

2i2?4

當(dāng)且僅當(dāng)幺蘆=。〃，即七竺二時(shí)，△ABC的面積S有最大值為,,,、=—

Jtaa(a-8

解之得a=3或。=3+屈.

16

?：a=3七歷I時(shí),f=￡z!<2不符合題意，，a=3.

16a

本題考查了橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)G的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。，C,的直角坐標(biāo)方程為三+產(chǎn)=1(2)述

4'3

【解析】

(1)先把曲線G的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用龍=285。,〉=25皿。求得極坐標(biāo)方程.將

4

p1=—-------------,化為夕2cos2a+4/?2sin2a=4,再利用x=pcos9,y=psin。求得曲線C,的普通方程.

cosa+4sin~a

24

(2)設(shè)直線的極角e=%,代入夕2=------------—得區(qū)=l+3sin/'將代入?=4cos。，得

cos-a+4sin-a

Q,=4cosq,由10Pl=21OQI，得"p=2a,即(dcos%)：:,從而求得sin?4=：

cos?%=3

LI3111IXQJ

從而求得PQ、PP，再利用S.VPQ=SAOMP-SAOM。=；,IOMI?-,sin4求解.

【詳解】

(1)依題意，曲線G：(X-2)2+/=4,即/+/一4%=0,

故一42cos6=0,即/?=4cos。.

因?yàn)?2=--力—----—，故p2cos2a+4p2sin2a-4,

cosa+4sirra

即/+4/=4,即:+y2=i.

)424

⑵將。=4代入「一=「——得而萬'，

cos~a+4sinal+3sm%

將8=4代入P=4cos9,得0,=4cosa),

216

由10Pl=2|。。|,得幺=2%,得(4cos[)-=；『二,

1+jsin%

21

解得sin?%則85國二1.

71

T7cA-MrI42>/3A4>/3

又0<%<彳，故&=J—a.2〃=二-，4=48$4=二-,

2\l+3sin0()33

故bMPQ的面積51Mp廣S,OMP-=g?IOMH%一㈤.sin4=平?

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)

形結(jié)合思想，屬于中檔題.

3

18.(1)分布列見解析,用=二

(1)7

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù)，結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù)；X的可能取值為0,1,1,由離

散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.

（D先求得年齡在［30,50）內(nèi)的頻率，視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì)，表示出P（X=&）=C；o（OJS/Cl-OJS）25-4

p（X—k］

令t=J、，化簡(jiǎn)后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)k的值.

ZL—K—i）

【詳解】

（1）按分層抽樣的方法拉取的8人中,

0.005

年齡在［20,30）的人數(shù)為x8=1人,

0.005+0.010+0.025

0.010

年齡在［30,40）內(nèi)的人數(shù)為x8=2人.

0.005+0.010+0.025

0.025

年齡在［40,50）內(nèi)的人數(shù)為x8=5人.

0.005+0.010+0.025

所以X的可能取值為0,1,1.

C3co5

所以

c；14

G2cl15

P(X=1)=-^

28

2

P(X=2)=串C'C'93,

C；28

所以X的分市列為

X011

5153

P

L42828

51533

EX=0x—+lx—+2x—=-

1428284

（1）設(shè)在抽取的10名市民中，年齡在［30,50）內(nèi)的人數(shù)為X,X服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知，年齡在

[30,50)內(nèi)的頻率為(0.010+0.025)x10=0.35,

所以X?5(20,0,35),

所以P(X=A)=C；o(0.35)*(1-0.35)25-*(Jt=0.1.2,?-..20).

P(X=k=0(。.35)：(1-。.35)2。；型心

P(X=k—1)C，o(035)1(1—0.35)2i13k

若f>l,則々<7.35,P(X=k-l)<P(X=k)i

若f<l,貝！U>7.35,P(X=k-l)>P(X=k).

所以當(dāng)Z=7時(shí)，P(X=Q最大，即當(dāng)P(X=心最大時(shí)，k=Q.

【點(diǎn)睛】

本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

2

19.(I)<7=0.016.0.2(II)見解析，有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)(in)見解析，y

【解析】

(I)直接根據(jù)頻率和為1計(jì)算得到答案.

(II)完善列聯(lián)表，計(jì)算長(zhǎng)2=9>7.879,對(duì)比臨界值表得到答案.

(m)X的取值為0,1,2,,計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

【詳解】

(I)10(0.004x2+0.008+?+0.02x2+0.028)=1,解得a=0.016.

所以該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率P=0.16+0.04=0.2.

(II)

安全意識(shí)安全意識(shí)合

強(qiáng)不強(qiáng)計(jì)

男

163450

性

女

44650

性

合

2080100

計(jì)

2_(16x46—4x34)2xl00

K------------------------------------

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)

(ffl)X的取值為。，1,2,

5。)噌嘿P(X=D=管=||,P(X=2)噌喉

所以X的分布列為

X012

12323

p

199595

g_,、八3262

期41n望E(X)=—+—=-.

95955

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

20.(1)曲線G的直角坐標(biāo)方程為y2=2x；直線的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0(2)60

【解析】

X-OCOS0

(1)由公式｛./、可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程;

y=psin，

(2)聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得兩點(diǎn)間距離.

【詳解】

解：(1)pcos0(79cos^+2)

p=pcos?。+2cos。

p1=p2cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

■■曲線G的直角坐標(biāo)方程為/=2x

直線G的直角坐標(biāo)方程為x+y—4=0

y=-x+4x=2x=8

(2)據(jù)《解，得5=2或

/=2xy=-4

I陰二^(2-8)2+[2-(-4)]2=60

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.

]3jj

21.(1)a=2n+l(2)T-----——

nt112'2n+1n+Z

【解析】

①先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件，求出首項(xiàng)和公差，即可得出結(jié)果.

⑵利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.

【詳解】

解：⑺設(shè)公差為d的等差數(shù)列但，的前n