
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文檔簡介
20232024高一數(shù)學必修第一冊20232024高一數(shù)學必修第一冊專題01集合的概念及集合間的基本關(guān)系專題01集合的概念及集合間的基本關(guān)系№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第一章集合與常用邏輯用語專題01集合的概念及集合間的基本關(guān)系→?考點精析←1元素與集合的概念一般地,把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體,就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集),構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素(或成員).2集合的元素特征①確定性:給定一個集合,那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.
②互異性:一個集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.
③無序性:集合中的元素無順序,可以任意排列、調(diào)換.3元素與集合的關(guān)系若a是集合A的元素,則稱a屬于集合A,記作a∈A;
若a不是集合A的元素,則稱a不屬于集合A,記作a?A.
4常用數(shù)集
自然數(shù)集(或非負整數(shù)集),記作N;正整數(shù)集,記作N*有理數(shù)集,記作Q;實數(shù)集,記作R. 5集合的分類有限集,無限集,空集?.6集合的表示方法①列舉法
把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.②描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,稱為描述法.
方法:在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
一般格式:{x∈A|p(x)}.
用符號描述法表示集合時應(yīng)注意:
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數(shù)還是點、還是集合、還是其他形式?
①概念
對于兩個集合A,B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有包含關(guān)系,稱集合A是集合B的子集(subset).
記作:A?B(或B?A),讀作:A包含于B,或B包含A.
當集合A不包含于集合B②Venn圖
8真子集概念:若集合A?B,但存在元素x∈B且x?A,則稱集合A是集合B的真子集.
記作:A?B(或B?A)
類比?與?的關(guān)系就好比≤與小于<的關(guān)系,"≤"是小于或等于,"?"是真包含或相等9集合相等如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,則集合A與集合B相等.即A?B且10幾個結(jié)論①空集是任何集合的子集:??A;
②空集是任何非空集合的真子集;
③任何一個集合是它本身的子集;
④對于集合A,B,C,如果A?B且B?C,那么A?C→?真題精講←1.(2023新課標Ⅱ卷)設(shè)集合,,若,則().A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論,運算求解即可.【詳解】因為,則有:若,解得,此時,,不符合題意;若,解得,此時,,符合題意;綜上所述:.故選:B.2.(2023?上海)已知,,,,若,,則A. B. C. D.,2,【解析】,,,,,,.故選:.→?題型突破←題型一、集合定義1.下列各組對象能構(gòu)成集合的是()A.充分接近的所有實數(shù) B.所有的正方形C.著名的數(shù)學家 D.1,2,3,3,4,4,4,4【答案】B【解析】選項A、C不滿足集合的確定性;集合故能構(gòu)成集合;選項D不滿足集合的互異性.故選:B.2.下列說法正確的是()
A.某個村子里的高個子組成一個集合;
B.所有小的正數(shù)組成的集合;
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一個集合;
D.1,0.5,12,【解析】由于“高個子”、“小的”沒有一個明確的標準,A,B的對象不具備確定性;D中的0.5,12,14集合具有無序性,所以C是正確的;故選C.【點撥】本題考核集合元素的三要素.3.用列舉法表示集合A={6x-2∈Z|x∈N}=【解析】根據(jù)x∈N,且6x-2x=0時,6x-2=-3;x=1時,x=4時,6x-2=3;x=5時,6∴A={-【點撥】①看集合先確定元素類型(本題中元素是“6x-2”,而不是②集合若能化簡先化簡,用最簡潔的形式表示能讓我們更好理解集合.題型二、利用集合的定義求參數(shù)的值4.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}至多有一個元素,則a【解析】∵集合A={x|ax∴a=0或a≠0△=4-4a≤0,解得a=0∴a的取值范圍是{a|a=0或【點撥】注意二次項系數(shù)是否等于0,先確認函數(shù)類型.5.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一個元素,則實數(shù)k的值為【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx當k=0時,4x+4=0,即當k≠0時,△=16-4?k?4=0,解得k=1.綜上,k=0或16.(2020·黑龍江哈爾濱·高三月考(理))已知集合,,若,則等于()A.1或2 B.或 C.2 D.1【答案】C【解析】因為,所以,解得或.當時,,與集合元素互異性矛盾,故不正確.經(jīng)檢驗可知符合.故選:C7.(2020·四川成都·石室中學月考)其,則由的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.【解析】,當,即時,,集合中有相同元素,舍去;當,即(舍)或時,,符合,故由的值構(gòu)成的集合是.故選:D8.(2020·泊頭市第一中學高一月考)若,則a=()A. B.0 C.1 D.0或1【解析】因為,所以有或.當時,解得或,當時,,不符合集合元素的互異性,故舍去,所以.當時,解得,由上可知舍去,綜上:.故選:C題型三、集合的表示方法10.用列舉法表示集合A={6x-2∈Z|x∈N}=【解析】根據(jù)x∈N,且6x-2x=0時,6x-2=-3;x=1時,x=4時,6x-2=3;x=5時,6∴A={-【點撥】①看集合先確定元素類型(本題中元素是“6x-2”,而不是②集合若能化簡先化簡,用最簡潔的形式表示能讓我們更好理解集合.11.點的集合M={(x,y)|xy≥0}是指()A.第一象限內(nèi)的點集B.第三象限內(nèi)的點集C.第一、第三象限內(nèi)的點集D.不在第二、第四象限內(nèi)的點集【答案】D【解析】xy≥0指x和y同號或至少一個為零,故為第一或第三象限內(nèi)的點或坐標軸上的點.故選D12.用列舉法表示集合{m|m-23∈N,m∈N,m≤10}=【答案】{2,5,8}.【解析】根據(jù)題意,∵m∈N,m≤10,∴m-2≤8,又因m-23∈N,∴(m-2)∈N,且是∴m-2=0或3或6,∴m=2或5或8,∴集合{m|m-2故答案為:{2,5,8}.13.用列舉法表示下列集合(1)11以內(nèi)偶數(shù)的集合;(2)方程(x+1)(x(3)一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點組成的集合.【解析】(1){2,4,6,8,10};(2)解方程(x+1)(x2-故方程(x+1)(x2-(3)解方程組&y=2x&y=x+1得&x=1因此一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點為(1,2),故所求的集合為{(1,2)}.題型四、元素與集合的關(guān)系14.設(shè)集合A={2,1-a,a2-a+2},若4∈A,則a=【解析】∵4∈A∴1-a=4或a2-i若1-a=4,則a=-3,此時(ii)若a2-a+2=4,a=2時,此時1-a=-1,∴A={2,-1,4}a=-1時,此時1-a=2,則A={2,2,4}不符合集合的"互異性”,故a≠-1綜上a=-3或2.【點撥】本題考核集合元素的特征和元素與集合的關(guān)系;當a=-1時,1-a=2,此時A={2,2,4}不符合集合的"互異性”,故故求出集合后最好做下檢查.16.已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成{a,ba,1},又可表示成{a2,a+b,0}【答案】-【解析】根據(jù)題意,由{a,ba,1}={a2又由ba的意義,則a≠0,必有b則{a,0,1}={a則有a2=1,即集合{a,0,1}中,a≠1,則a故答案為:-題型五、利用元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍17.已知x,y,z為非零實數(shù),代數(shù)式x|x|+y|y|+z|z|A.4∈M B.2∈M C.0?M D.-【答案】A【解析】根據(jù)題意,分4種情況討論;①、x、y、z全部為負數(shù)時,則②、x、y、z中有一個為負數(shù)時,則③、x、y、z中有兩個為負數(shù)時,則④、x、y、z全部為正數(shù)時,則則M={4,-4,0};分析選項可得A符合.18.已知含有三個實數(shù)的集合既可表示成{a,ba,1},又可表示成{a2,a+b,0},【答案】-【解析】根據(jù)題意,由{a,ba,1}={a2又由ba的意義,則a≠0,必有b則{a,0,1}={a則有a2=1,即集合{a,0,1}中,a≠1,則a故答案為:-19.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}中只有一個元素,則實數(shù)k【答案】0或1【解析】由集合A={x|kx當k=0時,4x+4=0,即當k≠0時,△=16-4?k?4=0,解得k=1.綜上,k=0或120.已知集合A1)若A是空集,求a的取值范圍;2)若A中只有一個元素,求a的值,并把這個元素寫出來;3)若A中至多只有一個元素,求a的取值范圍【答案】1)a>98;2)若a=0,則有A=23;若a=98,則有A=【解析】1)若A是空集,則方程ax2-3x+2=0無解,此時a≠0且2)若A中只有一個元素則方程ax當a=0時,方程為一元一次方程,滿足條件;當a≠0,此時Δ=9-8a=0,解得a=9∴a=0或a=若a=0,則有A=23;若a=983)若A中至多只有一個元素,則A為空集,或有且只有一個元素由(1),(2)得滿足條件的a的取值范圍是:a=0或a≥9題型六、集合間關(guān)系的判斷21.已知集合A={x|x=k+16,k∈N},B={x|x=m2-13A.A?C?B 【答案】A【解析】∵集合C={x|=n∴當n=2a(a∈N)時,x=當n=b-1(b∈N*又∵集合A={x|x=k+16,又∵集合B={x|x=m∴集合B比集合C多一個元素-13,即綜上所求:A?故選:A.22.已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z,N=x∣x=nA.M?NB.M?NC.N?MD【答案】B【解析】設(shè)n=2m或2m+1,則有N=x∣x=又∵M=x∣x=m+16題型七、確定集合的子集、真子集23..(2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學??级#┮鸭?,若,則實數(shù)a的取值集合是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用子集的定義即可求解.【詳解】,∴當時,,滿足;當時,若,則時,時,.的取值集合是.故選:C.24.(2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模)集合的子集個數(shù)為(
)A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【分析】確定,再計算子集個數(shù)得到答案.【詳解】,故子集個數(shù)為.故選:B25.(2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合,,且,則實數(shù)(
)A. B.1 C.或1 D.0【答案】A【解析】∵集合,,,∴由集合元素的互異性及子集的概念可知,解得實數(shù).故選:A.26.求集合A={x∈N|0<x<4}的子集個數(shù).
【解析】集合A=x∈N0<x<4={1,2,3},則其子集有?,1,【點撥】①討論集合的子集,不要漏了空集與自身;②集合中有n個元素,則子集的個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n題型八、利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值混取值范圍27.(2023·山東德州·三模)已知集合,,若,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先化簡集合,根據(jù),即可得到的取值范圍.【詳解】,,因為,所以,解得.故選:B.28.(2023·山東聊城·統(tǒng)考三模)已知集合,,若對于,都有,則的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知可得可得答案.【詳解】若對于,都有,則,由已知可得.故選:B.29.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2【解析】由題得A={1,2},因為B?A,則B=?或{1}或{2}或{1,2},①當B=?,所以△=4a+12②當B={1},則△=8a+24=01+2(a+1)+a2-③當B={2},則△=8a+24=04+4(a+1)+a④當B={1,2},則△=8a+24>0綜上a≤-3.【點撥】若B?A,注意不能忽略了“B=?”這種情況.→?專題精練←1.(2022秋·河南信陽·高一??计谥校┛疾煜铝忻拷M對象,能構(gòu)成集合的是()①中國各地的美麗鄉(xiāng)村;②直角坐標系中橫、縱坐標相等的點;③不小于的自然數(shù);④截止到年月日,參與“一帶一路”的國家.A.③④B.②③④C.②③D.②④2.(2022秋·陜西咸陽·高一??茧A段練習)(多選)下列選項中能構(gòu)成集合的是()A.高一年級跑得快的同學B.中國的大河C.3的倍數(shù)D.大于6的有理數(shù)3.(2022秋·重慶萬州·高一校考期中)下列各組對象不能構(gòu)成集合的是()A.參加運動會的學生B.小于的正整數(shù)C.年高考數(shù)學試卷上的難題D.所有有理數(shù)4.(2022秋·廣西桂林·高一??计谥校┫铝懈鹘M對象不能構(gòu)成集合的是()A.1~10之間的所有奇數(shù)B.北方學院2022級大學一年級學生C.滑雪速度較快的人D.直線上的所有的點5、(2022秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學??计谥校┫铝懈鹘M對象不能組成集合的是()A.大于6的所有整數(shù)B.高中數(shù)學的所有難題C.被3除余2的所有整數(shù)D.函數(shù)y=x圖象上所有的點6、(2023·江蘇·高一假期作業(yè))(多選)判斷下列每組對象,能組成一個集合的是()A.某校高一年級成績優(yōu)秀的學生B.直角坐標系中橫、縱坐標相等的點C.不小于3的自然數(shù)D.2022年第24屆冬季奧運會金牌獲得者7、(2023·江蘇·高一假期作業(yè))(多選)現(xiàn)有以下說法,其中正確的是()A.接近于0的數(shù)的全體構(gòu)成一個集合B.正方體的全體構(gòu)成一個集合C.未來世界的高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個集合D.不大于3的所有自然數(shù)構(gòu)成一個集合8、(2022秋·貴州銅仁·高一??茧A段練習)下列各組對象中,能組成集合的有___________(填序號).①所有的好人;②平面上到原點的距離等于2的點;③正三角形;④比較小的正整數(shù);⑤滿足不等式的的取值.9、(2022秋·上海浦東新·高一統(tǒng)考期末)請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上____________.①上海市2022年入學的全體高一年級新生;②在平面直角坐標系中,到定點的距離等于1的所有點;③影響力比較大的中國數(shù)學家;④不等式的所有正整數(shù)解.10.(2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學??奸_學考試)給出下列6個關(guān)系:①,②,③,④,⑤,⑥.其中正確命題的個數(shù)為()A.4B.2C.3D.511、(2022秋·湖南邵陽·高一校考期中)下列關(guān)系中正確的個數(shù)是()①;②;③;④A.1B.2C.3D.412、(2022秋·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學??茧A段練習)下列說法正確的有()①
②
③
④
⑤A.1個B.2個C.3個D.4個13.(2022秋·甘肅慶陽·高一??计谥校┮阎?,則有()A.B.C.D.14.(2022秋·江蘇南通·高一校考期中)已知,則下列判斷正確的是()A.B.C.D.15.(2022秋·高一課時練習)已知集合,,,若,,則必有()A.B.C.D.不屬于集合A、B、C中的任何一個16.設(shè)集合,則下列元素屬于A的是()A.B.C.D.017、(2022秋·湖南郴州·高一??茧A段練習)下列說法正確的是()A.B.C.D.18、(2022秋·江蘇泰州·高一靖江高級中學??计谥校┮阎?,,.若,,.則下面結(jié)論中一定正確的是()A.B.C.D.19.(2022秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校??茧A段練習)已知集合,,則()A.B.或C.D.20.(2022秋·福建廈門·高一廈門雙十中學??茧A段練習)若,則的可能值為()A.0,2B.0,1C.1,2D.0,1,221、(2021秋·安徽宣城·高一涇縣中學??茧A段練習)已知,若集合A中恰好有5個元素,則實數(shù)的取值范圍為()A.B.C.D.22.(2022秋·四川南充·高一??茧A段練習)設(shè)集合,若,則的值為().A.,2B.C.,,2D.,223.設(shè)A,B是兩個集合,有下列四個結(jié)論:①若A?B,則對任意x∈A,有x?B;②若A?B,則集合A中的元素個數(shù)多于集合B中的元素個數(shù);③若A?B,則B?A;④若A?B,則一定存在x∈A,有x?B.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.124.已知集合A={x|x=k+16,k∈N},B={x|x=m2-13,m∈N}A.A?C?B 25.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N},則滿足A?C?B的集合CA.4 B.8 C.7 D.1626.已知集合M=x∣x=m+16,m∈Z,N=x∣x=n2A.M?NB.M?NC.N?MD27.已知集合P={正奇數(shù)}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M?P,則M中的運算“⊕”是(A.加法 B.除法 C.乘法 D.減法28.(2022秋·山西運城·高一??茧A段練習)集合,用列舉法表示為()A.1B.2C.D.29.(2022秋·江西宜春·高一江西省樟樹中學校考階段練習)下列集合中,不同于另外三個集合的是()A.B.C.D.30..(2022秋·江西·高一統(tǒng)考階段練習)(多選)以下命題中正確的是()A.所有正數(shù)組成的集合可表示為B.大于2020小于2023的整數(shù)組成的集合為C.全部三角形組成的集合可以寫成{全部三角形}D.中的元素比中的元素只多一個元素0,它們都是無限集31.(2022秋·湖北十堰·高一??茧A段練習)(多選)給出下列說法,其中正確的是()A.集合用列舉法表示為{0,1}B.實數(shù)集可以表示為{x|x為所有實數(shù)}或{R}C.方程組的解組成的集合為D.方程的所有解組成的集合為32、(2022秋·河南洛陽·高一??茧A段練習)(多選)集合用描述法可表示為()A.是不大于9的非負奇數(shù)B.且C.D.33、(2022秋·甘肅慶陽·高一??茧A段練習)(多選)下列正確表示方程組的解集的是()A.B.C.D.34.(2022秋·上海浦東新·高一上海南匯中學校考階段練習)用列舉法表示集合,______.35.(2022秋·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中)集合,若,則__________36.(2022秋·河南南陽·高一校聯(lián)考期中)已知集合,,若,,則______.37、(2022秋·湖南永州·高一??茧A段練習)若,則實數(shù)的值為______.38、(2022秋·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習)若,則實數(shù)________.39、(2022秋·江蘇連云港·高一贛榆一中??茧A段練習)已知集合,且,則實數(shù)的值為___________.40.(2022秋·遼寧沈陽·高一外國語學校??茧A段練習)集合為單元素集合,則______.41.(2022秋·北京·高一??茧A段練習)已知集合是單元素集,用列舉法表示的取值集合___________.42.已知集合A?{0,1,2},且A中至少含有一個奇數(shù),則這樣的集合A有個.43.定義集合A*B={x|x∈A,且x?B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},則A*B的子集個數(shù)為
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