不等式的解集

TOC\o"13"\h\z\u題型1一元一次不等式(組）的解法 ③.可以利用絕對值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函數(shù)最值，要注意其中等號成立的條件.（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式∶數(shù)軸上兩點(diǎn)A（a），B（b）之間的距離AB=|ab|（2）數(shù)軸上兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式∶數(shù)軸上兩點(diǎn)A（a），B（b）的中點(diǎn)坐標(biāo)x=絕對值不等式的幾何意義.不等式（m>0）解集的幾何意義|x|<m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離小于m的所有數(shù)的集合|x|>m數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于m的所有數(shù)的集合|xb|<m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離小于m的所有數(shù)的集合|xb|>m數(shù)軸上與表示b的點(diǎn)的距離大于m的所有數(shù)的集合解集的幾何意義（4）本質(zhì)∶就是表示未知量到數(shù)軸上某點(diǎn)處的距離.（5）應(yīng)用∶利用絕對值的幾何意義可以較快求解簡單的絕對值不等式問題以及由兩個簡單絕對值和構(gòu)成的不等式問題.思考注意：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間的距離都可以利用此公式計算。題型1一元一次不等式(組）的解法【方法總結(jié)】解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母；（2）去括號；（3）移項；（4）化成（或等）的形式（其中）；（5）兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集．（1）求出不等式組中各個不等式的解集；（2）在數(shù)軸上表示各個不等式的解集；（3）確定各個不等式解集的公共部分，就得到這個不等式組的解集．◆類型1一元一次不等式【例題11】（2021秋·海南·高一海南二中?？茧A段練習(xí)）不等式x-2<1的解集是（

）A．x|x<3 B．x|x<-1C．x|x>3 D．x|x>2【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法求得正確答案.【詳解】x-2<1，x<2+1,x<3.所以不等式的解集為x|x<3.故選：A【變式11】1.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）不等式-3x+2>0的解集為（

）A．{xx<1或x>2} B．C．xx<2【答案】C【分析】直接求解一元一次不等式.【詳解】-3x+2>0?3x-2<0，得x<23，所以不等式的解集是故選：C【變式11】2.（2021·高一課時練習(xí)）不等式1-2x<5-1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)解不等式的步驟解出不等式的解集，再找出符合條件的整數(shù)即可．【詳解】由1-2x<5-12x可得x>-83【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步驟是關(guān)鍵．【變式11】3.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于x的不等式2x2<(x3)(5x)的解集是.【答案】?【分析】由不等式性質(zhì)，計算即可得出結(jié)果.【詳解】去括號得，2x2<x35+x，則2<8.所以不等式無解，即解集為空集?.故答案為：?.◆類型2一元一次不等式組【例題12】（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)不等式組3x-2>x2-x<1-x3的解集為SA．-∞,1 B．1,+∞ C．52,+∞【答案】D【分析】首先解一元一次不等式組，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷可得；【詳解】解：因?yàn)椴坏仁?x-2>x2-x<1-x3，解3x-2>x得x>1，解2-x<1-x3得x>52，綜上可得x>52，所以原不等式組的解得S=5故選：D【變式12】1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）不等式組-x<1x-2≤1的整數(shù)解共有【答案】4【分析】取不等式-x<1和x-2≤1的解集的交集，結(jié)合x是整數(shù)即可確定所有的整數(shù)解.【詳解】由-x<1得：x>-1，由x-2≤1得：x≤3，∴不等式組的解集是-1<x≤3，∴不等式組的整數(shù)解是0，1，2，3，共4個．故答案為：【變式12】2.（2020秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式組12(x-1)≤11-x<2【答案】3【解析】解不等式組求得x的取值范圍，由此求得x的最大整數(shù)解.【詳解】依題意12所以x的最大整數(shù)解為3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.【變式12】3.（2023·高一課時練習(xí)）解不等式組1-x+1【答案】{x|【分析】先分別求出每個不等式的解集，再求出公共解集即可求解.【詳解】由（1）可得x+13≤1，解得：由（2）可得3-4x+4<1，也即-4x<1-7，解得：x>3所以原不等式組1-x+13≥0【變式12】4.（2020·高一課時練習(xí)）不等式組{x-1>0A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式組解得1<x≤2，然后在數(shù)軸上表示1<x≤2；注意實(shí)心點(diǎn)、空心點(diǎn)的區(qū)別：實(shí)心表示包含2(≤2)，空心表示不包含1(＞1)【詳解】{∵解不等式(1)得：x>1解不等式(2)得：x≤2∴不等式組的解集為1<x≤2在數(shù)軸上表示不等式組的解集如下故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式、數(shù)軸表示不等式解集；數(shù)軸上表示解集時注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別題型2含參一元一次不等式(組）的解法【方法總結(jié)】求解含參不等式的問題，一定要討論x的系數(shù)的取值范圍◆類型1含參一元一次不等式【例題21】（2023·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的不等式ax<1的解集，下列說法不正確的是（

）A．可能為? B．可能為R C．可能為1a,+【答案】A【分析】對a的取值進(jìn)行分類討論，然后解不等式.【詳解】若a=0，不等式ax<1的左邊=0，∴x∈R若a>0，則x<1若a<0，則x>1故選：A.【變式21】1.（2022秋·上海奉賢·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)a、b∈R，解關(guān)于xA．該不等式的解集為ba,+∞；C．該不等式的解集可能為?； D．該不等式的解集不可能為?.【答案】C【分析】對a,b分四種情況討論得解.【詳解】解：當(dāng)a>0時，x>ba，該不等式的解集為當(dāng)a<0時，x<ba，該不等式的解集為當(dāng)a=0，b<0時，該不等式的解集為R；當(dāng)a=0，b≥0時，該不等式的解集為?.故選：C【變式21】2.（2021·全國·高一專題練習(xí)）不等式組x-1>aA．-1<a<3 B．a(chǎn)<-1或a>3C．-3<a<1 D．a(chǎn)<-3或a>1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件化簡不等式組，再列式即可求解作答.【詳解】依題意，x-1>a2x-4<2a?x>因此，a2+1<4+2a，即a2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：-1<a<3.故選：A【變式21】3.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式m(x+2)<x+m.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)含參數(shù)的一元一次不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，不等式m(x+2)<x+m，可化為(m-1)x<-m，當(dāng)m-1=0時，即m=1時，不等式為0<-1不成立，所以解集為空集；當(dāng)m-1>0時，即m>1時，可得x<-mm-1，即解集為當(dāng)m-1<0時，即m<1時，可得x>-mm-1，即解集為綜上可得，當(dāng)m=1時，不等式的解集為空集；當(dāng)m>1時，不等式的解集為(-∞,-m當(dāng)m<1時，不等式的解集為(-m【變式21】4.（2022秋·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知a∈R，解關(guān)于x的不等式組【答案】見解析【分析】分a<0，0≤a≤4，a>4三種情況討論即可.【詳解】2x-a>0，解得x>aax-a2+2a<0當(dāng)a=0，顯然不等式無解，當(dāng)a>0時，ax<a2-2a，x<a-2，此時比較a①a2≥a-2，即0<a≤4時，此時②a2<a-2，即a>4時，此時不等式解為當(dāng)a<0時，ax<a2-2a，ax<若a2≥a-2，a≤4，又∵a<0，則a<0綜上所述：0≤a≤4，不等式無解，a>4，不等式解集為a2a<0，不等式解集為a2【變式21】5.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）求關(guān)于x的不等式1<ax<3-2x的解集.【答案】答案見解析.【分析】將1<ax<3-2x轉(zhuǎn)化為1<axax<3-2x【詳解】不等式1<ax<3-2x等價于1<axax<3-2x①當(dāng)a=0時，原不等式的解集為?.②當(dāng)a>0時，原不等式等價于x>若0<a≤1，則1a≥3若a>1，則1a<3③當(dāng)a<0時，若-2<a<0，則原不等式等價于x<1a,x<3若a=-2，則原不等式的解集為-∞,-1若a<-2，則原不等式等價于x<1a,x>3綜上所述，當(dāng)a>1時，原不等式的解集為1a當(dāng)0≤a≤1時，原不等式的解集為?；當(dāng)-2≤a<0時，原不等式的解集為-∞,1當(dāng)a<-2時，原不等式的解集為3a+2◆類型2已知解集取值（范圍問題）【例題22】（2022秋·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于x的不等式a+bx+b-2a<0解集為1,+∞，則關(guān)于x的不等式【答案】(-【分析】根據(jù)給定的解集，求出a，b的關(guān)系，再代入求解不等式作答.【詳解】因關(guān)于x的不等式a+bx+b-2a<0解集為1,+∞，則1是方程因此a=2b，且b<0，不等式ax>-b化為：2bx>-b，而b<0，解得x<-1所以關(guān)于x的不等式ax>-b的解集為(-∞故答案為：(-【變式22】1.（2021秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知a，b為常數(shù)，若ax-b<0的解集是-∞,2，則bx+a>0的解集是【答案】-【分析】由不等式的解集可得a>0且b=2a，代入不等式bx+a>0中求解即可.【詳解】由題意，不等式ax<b解得x<2，∴a>0，ba=2，即則bx+a>0即2x+1>0，解得x>-12，所以解集為故答案為：-【變式22】2.2022秋·遼寧大連·高一校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式mx+1>0的解集是-∞,15，則關(guān)于x的不等式A．-∞,-23 B．-23【答案】A【分析】根據(jù)不等式mx+1>0的解集，求出參數(shù)m的值，再代入不等式m-1x>-1-m【詳解】∵關(guān)于x的不等式mx+1>0的解集是-∞,1∴m=-5，把m=-5代入m-1x>-1-m得-6x>4，解得x<-【點(diǎn)睛】本題考查不等式的解集，掌握不等式的解法是解題的關(guān)鍵．【變式22】3.（2022秋·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知不等式組x+a>1,2x-b<2解為-2<x<3，則a-b2022的值為【答案】1【分析】根據(jù)已知求出a,b的值即得解.【詳解】解：x+a>1①2x-b<2②，解不等式①得x>1-a，解不等式②∴原不等式組的解為1-a<x<2+b2，∵所以1-a=-2,且2+∴a=3，b=4，∴(a-b)2022故答案為：1【變式22】4.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）若1是關(guān)于x的不等式ax+1>2a-x的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】-∞,2【分析】根據(jù)1是關(guān)于x的不等式ax+1>2a-x的解，將1代入求解.【詳解】因?yàn)?是關(guān)于x的不等式ax+1>2a-x的解，所以a+1>2a-1，解得a<2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,2，故答案為：-∞,2【變式22】5.（2021·高一單元測試）不等式組{x+5<5x+1x-m>1的解集是A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0【答案】D【分析】化簡不等式組得到{x>1x>1+m，結(jié)合不等式的解集，得出不等式【詳解】{x+5<5x+1x-m>1,可化為因?yàn)椴坏仁浇M{x+5<5x+1x-m>1所以1+m≤1，解得：m≤0故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法，屬于基礎(chǔ)題.【變式22】6.（2019·高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組x-43+1≥3x-46,A．a(chǎn)≥-2 B．a(chǎn)>-2 C．a(chǎn)≤-2 D．a(chǎn)<-2【答案】D【分析】分別求出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集為x＜2可得關(guān)于a的不等式，解之可得．【詳解】x-43+1≥3x-46,①3x+a2<x,②解∵不等式組的解集為xx≤2，∴-a>2∴a<-2.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．◆類型3有解問題【例題23】（2023·高一課時練習(xí)）若不等式組1+x<ax+92+1≥A．a(chǎn)<-36 B．a(chǎn)≤-36C．a(chǎn)>-36 D．a(chǎn)≥-36【答案】C【分析】分別解兩個不等式，根據(jù)原不等式組有解可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解不等式1+x<a可得x<a-1；解不等式x+92+1≥x+13-1由于原不等式組有解，則a-1>-37，解得a>-36.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組有解求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式23】1.（2022秋·上海奉賢·高一?？计谥校╆P(guān)于x的不等式組ax>1x-a>0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a【答案】(-∞,-1)∪(0,+∞)【分析】由題意，分類討論a的范圍，先判斷a>0時滿足條件，當(dāng)a<0時，再根據(jù)a<1a，求出【詳解】解：∵關(guān)于x的不等式組ax>1x-a>0的解集不是空集，∴a≠0當(dāng)a>0時，滿足不等式組ax>1x-a>0當(dāng)a<0時，不等式組ax>1x-a>0，即x<∵它的解集不是空集，∴a<1a，即1-a2a綜上可得，a的范圍為(-∞，-1)∪(0，+∞)，故答案為：(-∞，-1)∪(0，+∞).【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)范圍，以及一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.【變式23】2.（2022秋·吉林·高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式組x>a2x<3a-2A．1<a<2 B．a(chǎn)<1或a>2 C．1≤a≤2 D．a(chǎn)≤1或a≥2【答案】A【分析】由題意可知a2<3a-2，從而求出【詳解】∵不等式組x>a∴a2<3a-2即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2)．故選：A．◆類型4無解問題【例題24】（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式a2-1x≤a-1的解集為?，則a=【答案】-1【分析】就a2-1的符號分類討論后可求【詳解】當(dāng)a2-1<0時，a2當(dāng)a2-1>0時，a2當(dāng)a2若a=1時，a2-1x≤a-1若a=-1時，a2-1x≤a-1故答案為：-1【變式24】1.（2022秋·山東濰坊·高一壽光市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組3x-a≤0,2x≥6的解集是?，則aA．a(chǎn)<9 B．a(chǎn)>9 C．a(chǎn)≥9 D．a(chǎn)≤9【答案】A【分析】先分別解兩個不等式，再利用交集為空集列不等式求解即可【詳解】3x-a≤0,①2x≥6,②解不等式①，得x≤a3，解不等式②∵原不等式組的解集是?，∴a3<3，解得故選A.【點(diǎn)睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，考查交集運(yùn)算，是基礎(chǔ)題【變式24】2.（2019·高一課時練習(xí)）若不等式x<m,x-2<3x-6無解，則實(shí)數(shù)mA．-∞,2 B．2,+∞ C．-∞,2 D．2,+∞【答案】A【分析】分別求出各不等式的解集，由題意各不等式的解集為空集，即可求出參數(shù)m的取值范圍．【詳解】x<m,①由①得，x<m，由②得，x>2，又因?yàn)椴坏仁浇M無解，所以m≤2.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組無解問題，屬于基礎(chǔ)題．【變式24】3.（2021·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax<b，若解集為?，則a，b滿足的條件是；若解集為1,+∞，則a，b滿足的條件是.【答案】a=0，b≤0a=b<0【分析】根據(jù)一元一元不等式的解得特征解答即可；【詳解】解：關(guān)于x的不等式ax<b，若解集為?，則a=0，b≤0；若解集為1,+∞，則a=b<0；故答案為：a=0，b≤0；a=b<0；【變式24】4.（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組m-2x<（1）當(dāng)m=-11時，求不等式組的解集；（2）當(dāng)m??【答案】（1）-4,-52【分析】（1）將m=-11解不等式求交集即可（2）解不等式利用交集為空集列不等式求解即可【詳解】（1）當(dāng)m=-11時，-11-2x<解不等式①得x>-4，解不等式②得x<-5∴不等式組的解集為-4,-5（2）解不等式m-2x<12x-1∵不等式組的解集為?，∴2m+1∴m≥-29【點(diǎn)睛】本題考查了解一次不等式組，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，能根據(jù)空集求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．◆類型5解集為R問題【例題25】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax<1的解集為R，則（

）A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)=0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)不存在【答案】B【分析】當(dāng)a=0時，0<1恒成立，即可得到答案；【詳解】當(dāng)a=0時，0<1恒成立，∴不等式的解集為R，故選：B◆類型6整數(shù)解問題【例題26】（2020·安徽宣城·高一涇縣中學(xué)?？紡?qiáng)基計劃）若關(guān)于x的不等式a-2<2a-x<12只有一個整數(shù)解2，則實(shí)數(shù)【答案】3【分析】求出不等式的解后可得端點(diǎn)滿足的不等式組，從而可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】a-2<2a-x<12的解為因?yàn)椴坏仁降恼麛?shù)解只有2，故1≤2a-12<2故答案為：34【變式26】1.（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的一元一次不等式組2x+a>03x-6a<0的解集中有且僅有4個整數(shù)，則a的取值范圍是【答案】3【分析】求得不等式組的解集為-a2,2a【詳解】解：關(guān)于x的一元一次不等式組2x+a>03x-6a<0的解集為-a2故0一定為不等式組的一個整數(shù)解，若不等式的4個整數(shù)解為0，1，2，3時，則-1≤-a2<0當(dāng)不等式的4個整數(shù)解為-1,0,1,2時，則-2≤-a綜上所述，a的取值范圍是32故答案為：32【變式26】2.（2023·高一課時練習(xí)）如果關(guān)于x的不等式組3x-a≥02x-b≤0【答案】a的值可能為1或2或3，b的值可能為4或5.【分析】求得不等式組的解，根據(jù)整數(shù)解確定不等關(guān)系得范圍，從而得可能的整數(shù)值．【詳解】原不等式組的解集可利用a，b表示為a3≤x≤b2.根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅有1，2，可確定a，b的范圍為0＜即0＜a≤3，4≤b＜6.因?yàn)閍，b均為整數(shù)．所以a的值可能為1或2或3，b的值可能為4或5.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的整數(shù)解問題，掌握解不等式組是解題基礎(chǔ)．題型3絕對值不等式【方法總結(jié)】含有絕對值不等式的解法（1）|x|<a(a>0);|x|<a(a>0)的口訣：小于取中間大于取兩邊.（3）形如|a|<|b|的絕對值不等式的常用方法：兩邊平方.（4）|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．（5）利用絕對值不等式的性質(zhì)：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.（三角不等式）（6）充分利用絕對值的幾何意義，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解絕對值不等式.◆類型1小于取中間大于取兩邊【例題31】（2021春·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）不等式x-1<2A．x-1<x<3 B．C．xx<-1或x>3 D．xx<1【答案】A【分析】由絕對值不等式的解法解原不等式即可得解.【詳解】由x-1<2可得-2<x-1<2，解得-1<x<3故原不等式的解集為x-1<x<3故選：A.【變式31】1.（2022秋·北京·高一?？计谥校┎坏仁?x-1≥1【答案】xx≥2【分析】利用公式求解絕對值不等式.【詳解】3x-1≥1，即3x-1≥1或3x-1≤-1解得：x≥23或故解集為：xx≥2故答案為：xx≥2【變式31】2.（2019·天津·高考真題）設(shè)x∈R，則“0<x<5”是“x-1<1A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求出x-1<1【詳解】x-1<1等價于0<x<2，故0<x<5推不出x-1由x-1<1能推出0<x<5故“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分條件．故選B．【點(diǎn)睛】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷；(2)集合法：根據(jù)由p，q成立的對象構(gòu)成的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把要判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題【變式31】3.（2022春·江西鷹潭·高二貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮阎}A:x-2≤3，命題B:A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】B【分析】解不等式，求出集合A,B，由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.【詳解】由x-2≤3得-3≤x-2≤3，則-1≤x≤5，所以集合A=集合B=x顯然B是A的子集，所以A是B必要不充分條件.故選：B.【變式31】4.（2019·高一課時練習(xí)）不等式2＜|2x＋3|≤4的解集為()A．x-7C．x-7【答案】C【分析】把原不等式化為2＜2x+3≤4

或﹣4≤2x+3＜﹣2，再把每個不等式的解集取并集．【詳解】由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或－4≤2x＋3＜－2.解得－12＜x≤12或－72【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式來解．【變式31】5.（2021秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學(xué)校考開學(xué)考試）不等式1≤|x＋1|＜3的解集為【答案】(－4，－2]∪[0，2)【分析】對x＋1進(jìn)行分類討論，去掉絕對值可得.【詳解】當(dāng)x+1≥0時，原不等式等價于1≤x+1<3，解得0≤x<2；當(dāng)x+1<0時，原不等式等價于1≤-x-1<3，解得-4<x≤-2；綜上可得不等式1≤|x＋1|＜3的解集為(－4，－2]∪[0，2).【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法，通常采用分段討論法，去掉絕對值求解.◆類型2零點(diǎn)分段法【例題32】（2023·高一課時練習(xí)）求下列不等式的解集：（1）|x-1|+|x-2|<5（2）|x-1|+|x-2|≥3（3）|x-1|+|x-2|>（4）|x-1|+|x-2|<1【答案】（1）(-1,4)；（2）(-∞,0]∪[3,+∞)；（3）R；（4）?【解析】（1）采用零點(diǎn)分區(qū)間法，分類討論解答.（2）采用零點(diǎn)分區(qū)間法，分類討論解答.（3）采用零點(diǎn)分區(qū)間法，分類討論解答.（4）采用零點(diǎn)分區(qū)間法，分類討論解答.【詳解】解：（1）∵|x-1|+|x-2|<5當(dāng)x<1時，原不等式可化為1-x+2-x<5，解得-1<x<1；當(dāng)1?x?2時，原不等式化為x-1+2-x<5，解得1?x?2；當(dāng)x>2時，原不等式化為x-1+x-2<5，解得2<x<4．綜上，原不等式的解集為(-1,4)．（2）∵|x-1|+|x-2|≥3當(dāng)x<1時，原不等式可化為1-x+2-x≥3，解得x≤0；當(dāng)1?x?2時，原不等式化為x-1+2-x≥3，即1≥3解得x∈?；當(dāng)x>2時，原不等式化為x-1+x-2≥3，解得x≥3．綜上，可得原不等式的解集為(-∞,0]∪[3,+∞)．（3）∵|x-1|+|x-2|>當(dāng)x<1時，原不等式可化為1-x+2-x>12，解得當(dāng)1?x?2時，原不等式化為x-1+2-x>12，解得當(dāng)x>2時，原不等式化為x-1+x-2>12，解得綜上，可得原不等式的解集為R．（4）∵|x-1|+|x-2|<當(dāng)x<1時，原不等式可化為1-x+2-x<13，解得當(dāng)1?x?2時，原不等式化為x-1+2-x<13，解得當(dāng)x>2時，原不等式化為x-1+x-2<13，解得綜上，原不等式的解集為?．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，采用零點(diǎn)分區(qū)間法或絕對值的幾何意義是兩種有效的方法，屬于基礎(chǔ)題.【變式32】1.（2022秋·遼寧沈陽·高一沈陽二十中?？奸_學(xué)考試）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整數(shù)解是（

）A．0 B．－1C．1 D．2【答案】A【分析】首先對x的范圍進(jìn)行討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化三個不等式組，求得結(jié)果.【詳解】原不等式可化為x>2x-1+x-2≤3或1≤x≤2x-1-(x-2)≤3或解得0≤x≤3，所以最小整數(shù)解是0，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)絕對值不等式的問題，涉及到的知識點(diǎn)有分類討論去絕對值符號解絕對值不等式，屬于簡單題目.【變式32】2.（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）不等式1≤2x-1A．x-12<x<0或1≤x≤C．x-12<x≤0且1<x≤【答案】D【分析】根據(jù)絕對值不等式的解法，對2x-1分類討論求解即可.【詳解】解：當(dāng)2x-1≥0時，即x≥12時，有1≤2x-1<2，解得當(dāng)2x-1<0時，即x<12時，有1≤1-2x<2，解得綜上不等式的解集為x-12故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法，通常采用分段討論法，去掉絕對值求解.【變式32】3.（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）已知x∈R，則“|x+1|+|x-1|≤2”是“1A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．【答案】B【分析】解出不等式的解集，判斷“|x+1|+|x-1|≤2”和“1x【詳解】解|x+1|+|x-1|≤2，當(dāng)x<-1時，即-x-1-x+1≤2，則x≥-1，此時解集為?，當(dāng)-1≤x≤1時，即x+1-x+1≤2，則2≤2，此時解集為[-1,1]，當(dāng)x>1時，即x+1+x-1≤2，則x≤1，此時解集為?，故“|x+1|+|x-1|≤2”成立時，等價于-1≤x≤1；當(dāng)“1x>1”成立時，等價于故-1≤x≤1成立時，不一定推出0<x<1成立，反之成立，故“|x+1|+|x-1|≤2”是“1x故選：B【變式32】4.（2021秋·高一課時練習(xí)）不等式x+1<2x-1的解集【答案】2,+∞【分析】根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號后再解不等式．【詳解】x≥-1時，原不等式可化為x+1<2x-1，x>2，∴x>2；x<-1時，原不等式可化為-(x+1)<2x-1，x>0，∴x∈?．綜上原不等式的解為x>2．故答案為(2,+∞)．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式，解絕對值不等式的常用方法是根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號，然后求解．◆類型3平方法【例題33】（2023·全國·高一課時練習(xí)）不等式|x－2|－|x－1|＞0的解集為A．(-∞,32)B．(【答案】A【分析】由不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0?不等式|x﹣2|＞|x﹣1|?（x﹣2）2＞（x﹣1）2即可求得答案．【詳解】∵|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0，∴|x﹣2|＞|x﹣1|≥0，∴（x﹣2）2＞（x﹣1）2，可得﹣4x+4＞﹣2x+1∴x＜32．∴不等式|x﹣2|﹣|x﹣1|＞0的解集為{x|x＜3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式是關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．【變式33】1.不等式的解集為【解析】由不等式兩邊平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集為.【變式33】2.解下列不等式：．【答案】【分析】不等式變形為，然后由，根式有意義，再平方后求解．【解析】原不等式化為，所以，解得或，所以．所以原不等式的解集為．題型4距離問題與中點(diǎn)問題◆類型1距離問題【例題41】（2023·全國·高一課時練習(xí)）在數(shù)軸上，已知Aa-1，B1-A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)≥1 C．AB=0【答案】D【分析】由a-1與【詳解】∵a-1與1-a互為相反數(shù)，【變式41】1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為13，-13，則ABA．0 B．-23 C．2【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)Ax1、Bx【詳解】AB=【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，屬于基礎(chǔ)題．【變式41】2.（2023·全國·高一課時練習(xí)）數(shù)軸上的三點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為3，1，5，則MPPN等于（

）A．4 B．4 C．12 D．12【答案】B【分析】直接根據(jù)距離公式計算可得；【詳解】解：MP=-5-3故選：B【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.◆類型2中點(diǎn)問題【例題42】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)Aa，Bb，則在數(shù)軸上滿足條件PA=PB的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（A．b-a2 B．a(chǎn)-【答案】C【分析】由題意PA=PB，則設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x，再根據(jù)【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x.∵PA=PB，∴a-x=b-x，即【變式42】（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)A，B，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，且AB=5，則線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）.A．112 B．12 C．4 D．1【答案】D【分析】由題意根據(jù)B的坐標(biāo)及AB可求A的坐標(biāo)，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求中點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】記點(diǎn)Ax1，Bx2，則x2=3.AB=x2-x1=5，即3-x1=5【點(diǎn)睛】數(shù)軸上兩點(diǎn)Ax1，Bx◆類型3取值范圍問題【例題43】（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A與數(shù)3對應(yīng)，點(diǎn)B與數(shù)x對應(yīng)，已知線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍．【答案】[【解析】依題意得到AB的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為3+x2，即【詳解】解：因?yàn)锳B的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為3+x2，所以由題意可知3+x2≤5，即|3+x|【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.【變式43】1.（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知數(shù)軸上三點(diǎn)P-8，Qm（1）若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若PQ中點(diǎn)到線段PR中點(diǎn)的距離大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)m=-【分析】（1）討論P(yáng),Q,R分別為中點(diǎn)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可（2）利用距離公式求解即可【詳解】（1）若P是線段QR的中點(diǎn)，則-8=m+22，若Q是線段PR的中點(diǎn)，則m=-8+22=-3；若R是線段PQ（2）由題意，知m-82--8+22>1，即m2-1>1，∴m2【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的點(diǎn)坐標(biāo)，考查中點(diǎn)坐標(biāo)及距離公式，考查絕對值不等式解法，是基礎(chǔ)題【變式43】2.（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知數(shù)軸上，A(-（1）若A與C關(guān)于點(diǎn)B對稱，求x的值；（2）若線段AB的中點(diǎn)到C的距離小于5，求x的取值范圍．【答案】（1）x=5【解析】（1）依題意，B為AC的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式解答.（2）首先表示出AB的中點(diǎn)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式得到不等式，解得.【詳解】解：（1）∵A與C關(guān)于點(diǎn)B對稱，∴B為AC的中點(diǎn)，∴x=（2）∵AB的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為-1+x2，∴由題意得-解得3<x<23，∴x的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.題型5含參絕對值不等式◆類型1已知解集問題【例題51】（2023·高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式m-|x|≥0的解集是[-1,1]，則實(shí)數(shù)m的取值集合為（

）A．{1} B．(1,+∞) C．[1,+【答案】A【分析】解不等式即可.【詳解】由已知，易知m≥0，由m-x≥0得：故選：A.【變式51】1.（2020秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的不等式|mx－2|＜3的解集為x∣-56<x<【答案】6【分析】利用絕對值性質(zhì)不等式轉(zhuǎn)化為－1＜mx＜5，然后按m>0和m<0分類討論解得不等式，再結(jié)合已知解集求解m．【詳解】|mx－2|＜3?－3＜mx－2＜3?－1＜mx＜5，①若m＞0，則-1由題意得-1m=-②若m＜0，則5m由題意得5m=-5所以m＝－6，綜上可得m＝－6.故答案為：-6．【點(diǎn)睛】本題考查解含絕對值的不等式，解題方法是利用絕對值的性質(zhì)得出等價不等式，直接求解后利用已知解集求參數(shù)【變式51】2.（2019·高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的不等式ax-2<3的解集為x-5【答案】a=-3【分析】解絕對值不等式，討論a的正負(fù)，并利用-5【詳解】由ax-2<3得-3<ax-2<3，即-1<ax<5若a>0，則-1a解得a=5若a=0，不等式的解集為R（舍）若a<0，則5a<x<-1a，則【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查方程思想的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題【變式51】3.（2019·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的不等式x-a<1的解集為1,3，則實(shí)數(shù)a=【答案】2【分析】由x-a<1可得a-1<x<a+1，根據(jù)不等式x-a<1的解集為【詳解】因?yàn)閤-a<1所以-1<x-a<1,即a-1<x<a+1,又∵關(guān)于x的不等式x-a<1的解集為1,3∴a-1=1，且a+1=3，∴a=2，故選答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于簡單題.【變式51】4.（2020·高一課時練習(xí)）已知2x-3≤1的解集為[m,n]（1）求m+n的值；（2）若x-a<m，求證：x【答案】（1）m+n=3.（2）見解析【分析】（1）先解絕對值不等式，由此求得m,（2）利用絕對值不等式求證即可．【詳解】（1）解：不等式2x-3≤1可化為-1≤2x-3≤1解得1≤x≤2，所以m=1，n=2，m+n=3.（2）證明：若x-a<1，則x=x-a+a【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的基本解法，以及絕對不等式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題．◆類型2充分（必要）結(jié)合問題【例題52】（2021秋·湖南常德·高一常德市鼎城區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若不等式x-a<1成立的充分非必要條件是13<x<A．-12,43 B．【答案】A【分析】求得不等式x-a<1的解集，根據(jù)充分非必要條件列不等式組，由此求得a【詳解】不等式x-a<1?-1<x-a<1?a-1<x<a+1由于不等式x-a<1成立的充分非必要條件是1所以a-1≤1所以a的取值范圍是-1故選：A【變式52】1.（2021秋·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）已知條件p:x+1>2，條件q:x>a，且?p是?q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)A．1,+∞ B．-1,+∞ C．-∞,1 D．-∞,3【答案】A【分析】由題意，可先解出?p：-3≤x≤1與?q：x≤a，再由?p是?q的充分不必要條件列出不等式即可得出a的取值范圍.【詳解】由條件p:x+1>2，解得x>1或x<-3，故?p：由條件q:x>a得?q：x≤a，∵?p是?q的充分不必要條件，∴a≥1，故選：A.【點(diǎn)睛】本題以不等式為背景考查充分條件必要條件的判斷，考查了推理判斷能力，準(zhǔn)確理解充分條件與必要條件是解題的關(guān)鍵.【變式52】2.（2023·高一課時練習(xí)）如果12<x<32是不等式A．12,C．-∞,12【答案】B【分析】由題意，解不等式x-a<1，求得其解集，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件與集合間包含關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系，可得不等式組a-1≤【詳解】根據(jù)題意，不等式x-a<1的解集是xa-1<x<a+1，設(shè)其為p，12則p的充分不必要條件是q，

則q表示的集合是p表示的集合的真子集.

則有a-1≤12a+1≥【點(diǎn)睛】本題考查充分、必要條件的判斷及運(yùn)用，注意與集合間關(guān)系的對應(yīng)即可，對于本題應(yīng)注意得到的不等式的等號成立與否，需要驗(yàn)證分析．◆類型3恒成立問題【例題53】（2020·高一課時練習(xí)）對于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x＋7|≥m＋2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】(-∞,-2]【分析】求出x+7的最小值ymin，然后解不等式m+2≤【詳解】令y＝|x＋7|，要使任意x∈R，|x＋7|≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin，因?yàn)閥min＝0，所以m＋2≤0，所以m≤－2，所以m的取值范圍是(-∞,-2]．故答案為：(-∞,-2]．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是問題轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值，然后易得參數(shù)范圍．【變式53】1.（2021秋·高一課時練習(xí)）關(guān)于x的不等式|x+1|-|ax-1|>0對任意x∈(0,1)恒成立，求a的取值范圍.【答案】-1<a≤3.【解析】當(dāng)x∈(0,1)時，|x+1|-|ax-1|>0可化為|ax-1|<x+1，結(jié)合參數(shù)分離思想解參數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)閤∈(0,1)，所以原不等式可化為：|ax-1|<x+1，∴-x-1<ax-1<x+1，∴a<1+2x∵1+∴-1<a≤3.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)絕對值不等式恒成立求參問題，難度一般，解答時可利用參變分離思想求解參數(shù)的取值范圍.【變式53】2.（2019·高一課時練習(xí)）若不等式2x-a≤x+3對任意x∈0,2恒成立，則實(shí)數(shù)A．-1,3 B．-1,3 C．1,3 D．1,3【答案】B【分析】將不等式去掉絕對值符號，然后變量分離轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值問題.【詳解】不等式2x-a≤x+3去掉絕對值符號得-x-3≤2x-a≤x+3即-x-3≤2x-a2x-a≤x+3對任意x∈變量分離得a≤3x+3a≥x-3，只需a≤(3x+3)所以a的取值范圍是-1,3故選B【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法和恒成立問題的處理方法，屬于基礎(chǔ)題.【變式53】3.（2022秋·浙江嘉興·高三嘉興一中?？计谥校┮阎猘∈R，則“a≤2”是“|x-2|+|x|>a恒成立”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】令函數(shù)y＝|x﹣2|+|x|，得y∈2,+∞【詳解】函數(shù)y＝|x﹣2|+|x|的值域?yàn)閇2，+∞），則當(dāng)a≤2時，|x﹣2|+|x|＞a不恒成立.若|x﹣2|+|x|＞a恒成立，則說明a小于函數(shù)y＝|x﹣2|+|x|的最小值2，即a＜2.故“a≤2”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的必要不充分條件.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．【變式53】4.（2020·高一課時練習(xí)）若關(guān)于x的不等式|ax-1|≤2在[﹣1,1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【答案】[1,1]【分析】利用絕對值不等式的定義化簡|ax﹣1|≤2，再根據(jù)x∈[﹣1，1]討論a的取值情況，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】不等式|ax﹣1|≤2，∴﹣2≤ax﹣1≤2，∴﹣1≤ax≤3；又x∈[﹣1，1]，若a＞0，則﹣a≤ax≤a，∴a≤3-a≥-1若a=0，則﹣1≤0≤3，滿足條件；若a＜0，則a≤ax≤﹣a，∴-a≤3a≥-1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，1]．