高等數(shù)學(xué)-二重積分習(xí)題課省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第九章重積分習(xí)題課(一)二重積分1/23一、二重積分概念

1．定義：

2．幾何意義：

表示曲頂柱體體積3．物理意義：

——

質(zhì)量.

2/23二、二重積分性質(zhì)（三重類似）1．線性性質(zhì)：2.可加性：

4.單調(diào)性：3.區(qū)域面積：若在

上,,則3/23設(shè)5．估值性質(zhì)：6．中值定理：則在上最少存在一點(diǎn),使得是面積，7.奇偶對(duì)稱性：,是面積0D關(guān)于x(或y)軸對(duì)稱,為y(或x)奇函數(shù)設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)域上連續(xù),D關(guān)于x(或y)軸對(duì)稱,為y(或x)偶函數(shù)則4/23三、二重積分計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算（1）X-型區(qū)域：

.關(guān)鍵：選擇積分次序5/23（2）Y-型區(qū)域：

2．利用極坐標(biāo)計(jì)算

6/23四.經(jīng)典例題

【例1】利用二重積分性質(zhì)，預(yù)計(jì)積分

值；其中因?yàn)樵谏?/p>

故由二重積分性質(zhì)可知即

7/23【例2】計(jì)算二重積分其中分析首先應(yīng)畫出區(qū)域

圖形.本題可采取直角坐標(biāo)計(jì)算。

注意到既是型區(qū)域,又是型區(qū)域，而不論型區(qū)域或型區(qū)域都不能用一個(gè)不等式組表出,均需要把分割成兩個(gè)型區(qū)域或兩個(gè)型區(qū)域和形式。不妨把分成型區(qū)域和來計(jì)算．解:積分區(qū)域如圖所表示..8/23將二重積分轉(zhuǎn)化為先對(duì)后對(duì)二次積分,得因其中9/23解:積分區(qū)域如圖所表示.在極坐標(biāo)系下，因?yàn)椤纠?】計(jì)算二重積分其中是由圓周,及直線,所圍成第一象限內(nèi)閉區(qū)域..將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對(duì)后對(duì)二次積分,得10/23【例4】計(jì)算二重積分.其中是圓周所圍成閉區(qū)域。解:在極坐標(biāo)系下，因?yàn)?11/23【例5】計(jì)算二重積分其中.解:積分區(qū)域如圖。為去掉絕對(duì)值：因?yàn)槠渲袆t12/23【例6】設(shè)區(qū)域

計(jì)算二重積分分析因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故先利用二重積分化為二次積分進(jìn)行計(jì)算即可。其中

然后再利用極坐標(biāo)將

對(duì)稱性簡化所求積分.因是關(guān)于變量為偶函數(shù)，關(guān)于為奇函數(shù)，故13/23解：

【例7】設(shè)

有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且求14/23分析本題是二重積分計(jì)算、變上限積分求導(dǎo)和求極限綜合題目。應(yīng)首先利用極坐標(biāo)將二重積分轉(zhuǎn)化成積分變上限函數(shù)，然后再利用洛必達(dá)法則求極限。

解：

型型15/23五、二重積分應(yīng)用1．幾何應(yīng)用（其中）2．物理應(yīng)用

（1）質(zhì)量

（2）質(zhì)心

（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

曲頂柱體體積16/23【例8】求上半球面

與旋轉(zhuǎn)拋物面

所圍成立體體積。分析首先求出立體在坐標(biāo)面上投影區(qū)域，然后利用二重積分幾何意義將所求立體體積用二重積分來表示，再利用極坐標(biāo)計(jì)算即可。解：令

求得曲線在坐標(biāo)面上投影曲線方程為故立體在坐標(biāo)面上投影區(qū)域?yàn)?7/23由二重積分幾何意義，可知所求立體體積為18/23六、交換二次積分次序方法

交換二次積分次序，其實(shí)質(zhì)是把二重積分化為二次積分逆問題。改變積分次序應(yīng)首先對(duì)給定二次積分求出其對(duì)應(yīng)二重積分積分區(qū)域,其次要判斷類型,然后再依據(jù)類型,將二重積分化為另一次序二次積分。19/23經(jīng)典例題【例9】改變積分次序。步驟：原不等式-區(qū)域圖-新不等式-新積分限解設(shè)

.可知為型區(qū)域;且所以20/23【例10】計(jì)算分析因?yàn)楸环e函數(shù)為假如先對(duì)變量

積分,則會(huì)碰到原函數(shù)求不出問題,所以計(jì)算二次積分問題就歸結(jié)為改變積分次序問題，即把二次積分化成先對(duì)后對(duì)二次積分。解：因?yàn)?/p>

能夠表示成型區(qū)域(如圖)所以.21/23（令)【例11】證實(shí)分析觀察所要證實(shí)等式左右兩邊不難發(fā)覺，等式左邊是一個(gè)二次積分，可視作是一個(gè)二重積分化成二次積分，而等式右端