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第四十講二項(xiàng)式定理1/91走進(jìn)高考第一關(guān)

基礎(chǔ)關(guān)

教材回歸

2/911.二項(xiàng)式定理

公式(a+b)n=_______________________________(n∈N*)所表示定理,叫做二項(xiàng)式定理,右邊多項(xiàng)式叫做(a+b)n____________.

二項(xiàng)展開(kāi)式3/912.二項(xiàng)式定理特征

(1)項(xiàng)數(shù):二項(xiàng)展開(kāi)式共有________項(xiàng).

(2)通項(xiàng)公式:(a+b)n二項(xiàng)展開(kāi)式中________________叫做二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng),用____________表示,則有________________.

(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開(kāi)式第r+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為_(kāi)_____________.

n+1Tr+14/913.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

(1)對(duì)稱性:在二項(xiàng)展開(kāi)式中,首末兩端__________兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即“等距離”5/91(2)增減性與最大值:二項(xiàng)式系數(shù)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是________;當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是__________.

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),____________取得最大值.

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)____________和__________相等,且同時(shí)取得最大值.

遞增遞減6/91(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和

(a+b)n展開(kāi)式各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)和等于________,

即=__________.

(4)二項(xiàng)展開(kāi)式中,偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于________________,即

+…=______________.

奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和7/91考點(diǎn)陪練8/911.二項(xiàng)式(a+2b)n展開(kāi)式中第二項(xiàng)系數(shù)是8,則它第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為(

)

A.24 B.18 C.16 D.6

答案:D

9/912.展開(kāi)式中含x正整數(shù)指數(shù)冪項(xiàng)

數(shù)是(

)

A.0 B.2

C.4 D.6

答案:B

10/913.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是(

)

答案:B

11/914.展開(kāi)式中,x偶次項(xiàng)系數(shù)之和是(

)

A.-2048 B.-1023

C.-1024 D.1024

答案:C

12/915.展開(kāi)式中有理項(xiàng)個(gè)數(shù)為(

)

A.4 B.5

C.6 D.7

答案:A

13/91解讀高考第二關(guān)

熱點(diǎn)關(guān)

14/91類型一:求展開(kāi)式中指定項(xiàng)和特定項(xiàng)

解題準(zhǔn)備:利用展開(kāi)式中Tr+1可求以下問(wèn)題:

(1)求指定項(xiàng).(2)求特定項(xiàng),如常數(shù)項(xiàng),即字母次數(shù)為0.(3)求指定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù).

15/91典例1已知在展開(kāi)式中,第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

(1)求n;

(2)求含x2項(xiàng)系數(shù);

(3)求展開(kāi)式中全部有理項(xiàng).

16/91[分析]

利用通項(xiàng)確定n,進(jìn)而依據(jù)指定項(xiàng)特征求解,通項(xiàng)公式為17/91∵r∈Z,∴k應(yīng)為偶數(shù),

∴k=2,0,-2,即r=2,5,8.

所以第3項(xiàng),第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng),它們分別為405x2,-61236,295245x-2.

18/91[評(píng)析]

(1)本題是先求二項(xiàng)式指數(shù),再求與通項(xiàng)相關(guān)其它問(wèn)題.普通地,解這類問(wèn)題能夠分兩步完成:第一步是依據(jù)所給出條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式,建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r均為非負(fù)整數(shù),且n≥r隱含條件);第二步是依據(jù)所求指數(shù),再求所求解項(xiàng).另外,解本題時(shí),為降低計(jì)算中錯(cuò)誤,宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

19/91(2)題設(shè)展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)條件,實(shí)際上隱含了未知數(shù)零次項(xiàng)存在,所以n-2r=0,所以,由有常數(shù)項(xiàng)條件可求得n.反之,若已知n,求展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)時(shí),可先假設(shè)展開(kāi)式第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),合并通項(xiàng)中同一字母指數(shù)得f(r),然后令f(r)=0,從中求得r非負(fù)整數(shù)值,即得所求項(xiàng).

20/91(3)求二項(xiàng)展開(kāi)式中有理項(xiàng),普通是依據(jù)通項(xiàng)公式所得到項(xiàng),其全部未知數(shù)指數(shù)恰好都是整數(shù)項(xiàng).解這類型問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母指數(shù),依據(jù)詳細(xì)要求,令其屬于整數(shù),再依據(jù)數(shù)整除性來(lái)求解.若求二項(xiàng)展開(kāi)式中整式項(xiàng),則其通項(xiàng)公式中同一字母指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù).求解方式與求有理項(xiàng)一致.

21/91類型二:二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)

解題準(zhǔn)備:①求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng):

假如n是偶數(shù),則中間一項(xiàng)[第()項(xiàng)]二項(xiàng)式系數(shù)最大;

假如n是奇數(shù),則中間兩項(xiàng)[第項(xiàng)與第項(xiàng)]二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大;

22/91②求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng):如求(a+bx)n(a,b∈R)展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng),普通是采取待定系數(shù)法.設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,…,An+1,且第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用

解出r來(lái),即得系數(shù)最大項(xiàng).

23/91典例2已知展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和比(3x-1)n展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和大992,求展開(kāi)式中.

(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng);

(2)系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng).

[分析]

依據(jù)二項(xiàng)系數(shù)性質(zhì),列方程求解n,系數(shù)絕對(duì)值最大問(wèn)題需要列不等式組求解.

24/9125/91(2)設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大,

26/91[評(píng)析]

在利用二項(xiàng)式定理時(shí)不能忽略展開(kāi)式中系數(shù)正負(fù)符號(hào).當(dāng)然還需考慮二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式某項(xiàng)系數(shù)之間差異:二項(xiàng)式系數(shù)只與二項(xiàng)式指數(shù)和項(xiàng)數(shù)相關(guān),與二項(xiàng)式無(wú)關(guān);而項(xiàng)系數(shù)不但與二項(xiàng)式指數(shù)和項(xiàng)數(shù)相關(guān),還與二項(xiàng)式相關(guān).值得注意是,本例中是求“系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)”,若改為“系數(shù)最大項(xiàng)”又該怎樣處理?因?yàn)榈?項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值,所以系數(shù)最大項(xiàng)必是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)中某一項(xiàng).比較這兩項(xiàng)系數(shù)大小即可.

27/91類型三:求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和

解題準(zhǔn)備:1.對(duì)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m,(a、b、c∈R)式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,慣用賦值法,只需令x=1即可;對(duì)(ax+by)n(a,b∈R)式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.

28/912.普通地,若,則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

29/9130/91

[解]

所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)相關(guān),能夠考慮用“特殊值”法,整體處理.

31/9132/91類型四:二項(xiàng)式定理應(yīng)用

解題準(zhǔn)備:新課程標(biāo)準(zhǔn)要求能用二項(xiàng)式定理證實(shí)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題,在一些綜合性試題中,尤其是與數(shù)列?不等式相關(guān)一些問(wèn)題中,用二項(xiàng)式定理證實(shí)不等式有時(shí)顯得簡(jiǎn)便?靈活,也能突出表達(dá)新課標(biāo)高考“能力立意”高考動(dòng)向.33/91典例4(1)求證:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.

(2)求除以9余數(shù).

[分析]

將已知式子適當(dāng)整理化簡(jiǎn),再依據(jù)題目要求選擇適當(dāng)二次展開(kāi)式求解.

34/9135/9136/91[評(píng)析]

利用二項(xiàng)式定理處理整除性問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是巧妙地結(jié)構(gòu)二項(xiàng)式,其基本思緒是:要證實(shí)一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除,只要證實(shí)這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開(kāi)后各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可.所以,普通將被除式化為含有相關(guān)除式二項(xiàng)式,然后再展開(kāi),此時(shí)常采取“配湊法”、“消去法”配合整除相關(guān)知識(shí)來(lái)處理.

37/91笑對(duì)高考第三關(guān)

成熟關(guān)

名師糾錯(cuò)

38/91

誤區(qū)一:了解概念失誤

典例1求2100除以9余數(shù).顯然,2

100除以9余數(shù)為-2.

39/91[剖析]

錯(cuò)解中了解概念失誤,誤認(rèn)為-2就是余數(shù),其實(shí)不然,余數(shù)一定是正整數(shù),于是,對(duì)結(jié)果要進(jìn)行轉(zhuǎn)化,由

能夠看出,除以9余數(shù)為7.

誤區(qū)二:混同項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)

40/91典例2將二項(xiàng)式展開(kāi)式按x降冪排列,

若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列,求展開(kāi)式中含x項(xiàng).

41/91[剖析]

錯(cuò)解中混同了項(xiàng)系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù),其實(shí),題目要求是項(xiàng)系數(shù),而錯(cuò)解中用是二項(xiàng)式系數(shù).

42/91誤區(qū)三:混同第r項(xiàng)與第r+1項(xiàng)

典例3設(shè)試問(wèn)展開(kāi)式中第幾項(xiàng)最大?

[錯(cuò)解]

設(shè)通項(xiàng)為Tr+1項(xiàng)最大,43/91[剖析]

二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式是第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng);錯(cuò)解就誤認(rèn)為是第r項(xiàng),其實(shí),應(yīng)該是展開(kāi)式中第30項(xiàng)最大.

44/91解題策略

45/91

依據(jù)歷年來(lái)高考命題在本部分考查及綱領(lǐng)要求,本單元命題特點(diǎn)應(yīng)保持穩(wěn)定,所以二項(xiàng)式定理仍為必考內(nèi)容,其中考查通項(xiàng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)可能性較大,所以學(xué)習(xí)時(shí)宜采取以下策略:

46/911.利用二項(xiàng)式定理一定要切記通項(xiàng),注

意即使相同,但詳細(xì)到它們展開(kāi)式某一項(xiàng)時(shí)是不相同,我們一定要注意次序問(wèn)題,另外二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)(字母)系數(shù)是兩個(gè)不一樣概念,前者只指,而后者是除字母外部分.

47/912.對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題,應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

(1)求二項(xiàng)式全部項(xiàng)系數(shù)和,可采取“特殊值取代法”,通常令字母變量值為1;

(2)關(guān)于組合恒等式證實(shí),常采取“結(jié)構(gòu)法”——結(jié)構(gòu)函數(shù)或結(jié)構(gòu)同一問(wèn)題兩種算法;

(3)證實(shí)不等式時(shí),應(yīng)注意利用放縮法.48/913.求二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng),通常是先依據(jù)已知條件求r,再求Tr+1,有時(shí)還需先求n,再求r,才能求出Tr+1.

4.有些三項(xiàng)式展開(kāi)式問(wèn)題能夠經(jīng)過(guò)變形變成二項(xiàng)式問(wèn)題加以處理;有時(shí)也能夠經(jīng)過(guò)組合處理,但要注意分類清楚、不重不漏.

5.對(duì)于二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題,首先要熟記二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),其次要掌握賦值法,賦值法是處理二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題一個(gè)主要伎倆.

6.近似計(jì)算要首先觀察準(zhǔn)確度,然后選取展開(kāi)式中若干項(xiàng).

49/917.用二項(xiàng)式定理證實(shí)整除問(wèn)題,普通將被除式變?yōu)橄嚓P(guān)除式二項(xiàng)式形式再展開(kāi),常采取“配湊法”配合整除相關(guān)知識(shí)來(lái)處理.

50/91快速解題

51/91[分析]

第(1)小題可先求出a0+a1+…+a7,再求a0+a2+a4+a6和a1+a3+a5+a7;第(2)小題可使兩項(xiàng)結(jié)合,使之含有二項(xiàng)式形式,然后依通項(xiàng)公式求出r可得.

52/9153/9154/9155/91[方法與步驟]

第(1)小題詳解雖不簡(jiǎn)便,但給出了怎樣求奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和方法.第(2)小題將x與結(jié)合后展開(kāi),因?yàn)轫?xiàng)數(shù)不多,展開(kāi)后反而易算.快解第(1)小題更簡(jiǎn)便,看作(1+2x)7系數(shù)即可.第(2)小題利用通項(xiàng)公式,依然是考

慮偶次冪.

56/91[得分主要步驟]

詳解中第(1)小題要算出①②③④四式來(lái),還要說(shuō)明a1、a3、a5、a7都小于零,第(2)小題要說(shuō)明常數(shù)在偶次冪展開(kāi)中出現(xiàn),結(jié)果便不難得到.[易丟分原因]

相關(guān)二項(xiàng)式題目,只要符號(hào)不錯(cuò),普通都能做對(duì).易丟分在利用通項(xiàng)公式求r時(shí),r值與r對(duì)應(yīng)項(xiàng),一些同學(xué)可能會(huì)求錯(cuò).

57/91教師備選

58/91

三項(xiàng)展開(kāi)式例談

經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理,對(duì)這類問(wèn)題已比較熟悉,但對(duì)相關(guān)三項(xiàng)式問(wèn)題,可能感到困難,下面以一道題為例,淺析三項(xiàng)展開(kāi)式解答策略.

59/91典例展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.

一、利用二項(xiàng)展開(kāi)式

先把三項(xiàng)式中某兩項(xiàng)視為一項(xiàng),用二項(xiàng)式定理展開(kāi),然后利用二項(xiàng)展開(kāi)式求解.60/9161/91二、轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式

常見(jiàn)能轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式三項(xiàng)式兩種形式:一是三項(xiàng)式恰好是二項(xiàng)式平方;二是三項(xiàng)式可分解因式.

所以本題可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式問(wèn)題,把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求分子中含x5項(xiàng)系數(shù).

62/9163/91三?利用組合思想

利用組合思想,能夠簡(jiǎn)捷地求一些三項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題.

解法3:把看成五個(gè)之積,則要得到常數(shù)項(xiàng),有三種情況:

64/91(1)五個(gè)因式都取

(2)五個(gè)因式中,三個(gè)取一個(gè)取一個(gè)取

(3)五個(gè)因式中,一個(gè)取兩個(gè)取兩個(gè)取

由此得到所求式常數(shù)項(xiàng)為65/9166/91課時(shí)作業(yè)四十

二項(xiàng)式定理

67/91一?選擇題

1.(能力題,中)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,則a2值為(

)A.3 B.6 C.9 D.12解析:設(shè)x-2=t,則x=t+2,原式化為(2+t)3=a0+a1t+a2t2+a3t3,∴a2=2=6,故選B.答案:B68/912.★(·新創(chuàng)題,易)在展開(kāi)式中,整式項(xiàng)共有(

)

A.130項(xiàng) B.133項(xiàng)

C.項(xiàng) D.項(xiàng)

答案:B69/9170/913.(基礎(chǔ)題,易)(1-x)9展開(kāi)式中,系數(shù)最大項(xiàng)為(

)

A.第3項(xiàng) B.第4項(xiàng)

C.第5項(xiàng) D.第5項(xiàng)或第6項(xiàng)

答案:C71/914.(能力題,中)若(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,令f(n)=a0+a2+a4+…+a2n,則f(1)+f(2)+…+f(n)等于(

)

答案:D72/9173/915.(能力題,中)若多項(xiàng)

式x2+x10=a0+a1(x+1)+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10,則a9=(

)

A.9 B.10 C.-9 D.-10

答案:D74/916.(能力題,中)在(x2+3x+2)5展開(kāi)式中x系數(shù)為(

)

A.160 B.240 C.360 D.800

答案:B75/9176/91二?填空題7.(能力題,中)設(shè)(x+1)4(x+2)5=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a9(x+3)9,則(a0+a2+a4+a6+a8)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2=________.答案:0

77/91解析:令x=-2,∵a0+a1+a2+…+a9=(-2+1)4(-2+2)5=0,∴(a0+