第二講隨機(jī)變量的定義及分布

第二講隨機(jī)變量的定義及分布第1頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章學(xué)習(xí)的目標(biāo)：復(fù)習(xí)概率與隨機(jī)變量的理論加深隨機(jī)變量函數(shù)的理論（重點(diǎn)）深化一些重要概念的理解加深多維正態(tài)隨機(jī)變量的理論增加Matlab的統(tǒng)計(jì)分析函數(shù)(自主學(xué)習(xí)）第2頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.1概率的基本術(shù)語(yǔ)

隨機(jī)試驗(yàn)(RandomExperiment):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)：(1)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，所有可能的結(jié)果能事先明確；(3)每次試驗(yàn)前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。例：投擲硬幣(Tossacoin)Theoutcomevariesinanunpredictablefashionwhentheexperimentisrepeatedunderthesameconditions.第3頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)事件(RandomEvent):在隨機(jī)試驗(yàn)中，對(duì)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的事情，稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱為事件。如投擲硬幣出現(xiàn)正面就是一個(gè)隨機(jī)事件。第4頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本事件(ElementaryEvent):隨機(jī)試驗(yàn)中最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件稱為基本事件，如投擲骰子出現(xiàn)1、2、.....、6點(diǎn)是基本事件，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)是隨機(jī)事件，但不是基本事件。(簡(jiǎn)單事件SimpleEvent)第5頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月樣本空間(SampleSpace)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件組成的集合稱為樣本空間.Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}第6頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗(yàn)構(gòu)成的樣本空間－－看下例第7頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedbyE={HTT,THT,TTH}第8頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于樣本空間的注釋：離散的樣本空間Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}連續(xù)的樣本空間由多次子試驗(yàn)構(gòu)成的樣本空間可數(shù)無(wú)窮的樣本空間S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}第9頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月頻率和概率(FrequencyandProbability):n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA：-

事件A的頻數(shù)比值nA/n:-

事件A發(fā)生的頻率概率頻率反映了事件A發(fā)生的頻繁程度，若事件A發(fā)生的可能性大，那么相應(yīng)的頻率也大，反之則較小。第10頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.2隨機(jī)變量的定義(Definitionofarandomvariable)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e}，如果對(duì)于每一個(gè)eS，有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。隨機(jī)變量是定義在樣本空間S上的單值函數(shù)1.定義第11頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.第12頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber第13頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根據(jù)隨機(jī)變量取值的不同可以分為：連續(xù)型隨機(jī)變量(Continuousrandomvariable)離散型隨機(jī)變量(Discreterandomvariable)第14頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)第15頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)(0,1)分布

隨機(jī)變量的可能取值為0和1兩個(gè)值，其概率分布為PMF:01第16頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.第17頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)Binomial獨(dú)立地進(jìn)行n次貝努利試驗(yàn)，事件A發(fā)生m次的概率剛好是展開的第m+1項(xiàng)的系數(shù)例：雷達(dá)雙門限檢測(cè)器第18頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Example:

Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofX.Findtheprobabilityofoneorfewererrors0101

1-1-第19頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Theprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenbytheprobabilityofanerrorpatternthatk1’sandn-k0’sXisabinomialrandomvariable第20頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：信息傳輸問題（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}(3)geometricrandomvariable第21頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable第22頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月泊松分布(Poissondistribution)例：交通路口在單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)第23頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.3分布函數(shù)和概率密度函數(shù)ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定義第24頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月右連續(xù)2.分布函數(shù)的性質(zhì)（PropertiesoftheCDF）第25頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分布函數(shù)是右連續(xù)的不減函數(shù)，在負(fù)無(wú)窮處為零，正無(wú)窮處為1。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，取某一特定值的概率是為零的。即P{X=x}=0第26頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于離散型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為階梯函數(shù)，階梯的跳變點(diǎn)出現(xiàn)在隨機(jī)變量的取值點(diǎn)上，跳變的高度為隨機(jī)變量取該值的概率。第27頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于離散型隨機(jī)變量，PMF與CDF的關(guān)系為○第28頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概率密度隨機(jī)變量落入(x1,x2)的概率

第29頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于離散型隨機(jī)變量，它的概率密度函數(shù)是一串

函數(shù)之和，

函數(shù)出現(xiàn)在隨機(jī)變量的取值點(diǎn)，強(qiáng)度為取該值的概率。第30頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第31頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.常見概率分布正態(tài)分布（Normal），也稱高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正態(tài)分布概率密度標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)第32頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第33頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)（Exponential）分布指數(shù)分布概率密度0123456700.511.5第34頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)數(shù)正態(tài)分布（LogNormal）高分辨率雷達(dá)雜波分布01234567891000.10.20.30.40.5對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度為尺度參數(shù)為形狀參數(shù)第35頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.4多維隨機(jī)變量及其分布MultipleRandomVariablesandDistributions1.定義S●●e第36頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.二維分布函數(shù)和概率密度BivariateCDFandPDF二維分布函數(shù)圖解定義：第37頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二維分布函數(shù)性質(zhì)：邊緣（Marginal）分布由二維分布函數(shù)可以求出一維分布函數(shù)第38頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二維概率密度：由二維概率密度可以求出邊緣概率密度第39頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量落在某個(gè)區(qū)域的概率第40頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.條件分布(ConditionalDistribution)條件分布函數(shù)條件概率密度稱隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立第41頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Example:CommunicationChannelwithDiscreteInputandContinuousOutputnoisevoltageN~U(-2,2)通信信道X:+1or-1FindP{X=+1,Y≤0}Y第42頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Solution:1/2WhentheinputX=1,theoutputYisuniformlydistributedintheintervalTherefore第43頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5隨機(jī)變量的數(shù)字特征均值方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差矩陣舉例第44頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.均值（Mean)算術(shù)平均：所有可能取值等概率加權(quán)統(tǒng)計(jì)平均值：所有可能取值按概率加權(quán)連續(xù)型隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量：第45頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：如果X和Y相互獨(dú)立，如果E[XY]=0，則稱X和Y正交(Orthogonal)。第46頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.方差(Variance)方差反映了隨機(jī)變量X的取值偏離其均值的偏離程度或分散程度，D(X)越大，則X的取值越分散。第47頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)：如果X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立。第48頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Varianceisanonlinearoperator第49頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)(CovarianceandCorrelationcoefficient)如果X和Y相互獨(dú)立，則rXY=0，|rXY|=1的充要條件是P{Y=aX+b}=1第50頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月wedefineXandYtobeuncorrelatedIf,IfXandYareindependent,thenXandYareuncorrelated.XandYareindependentXandYareuncorrelatedTrueFalse第51頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ThecorrelationcoefficientprovidesameasureofhowgoodapredictionofthevalueofoneofthetwoRVscanbeformedbasedonanobservedvalueoftheother.1indicatesahighdegreeoflinearbetweenXandY+1meansb>0and-1meansb<0第52頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Independent:UncorrelatedOrthogonal:第53頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不相關(guān)就認(rèn)為X與Y沒有關(guān)系嗎？例：為零均值正態(tài)隨機(jī)變量，Y與X相關(guān)嗎？Y是依賴于X的(Dependence)，但Y與X不相關(guān)(Uncorrelated),線性不相關(guān)的。第54頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Independentimplieszerocovariancebutzerocovariancedoesnotimplyindependence.Example:UncorrelatedbutdependentrandomvariablesLetbeuniformlydistributedintheinterval(0,2)。LetXandYareuncorrelatedbutdependent第55頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意英文單詞的區(qū)別:Correlation(Uncorrelated)Dependent（Independent)Itcanbeshownthat第56頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.協(xié)方差矩陣（CovarianceMatrix）多維隨機(jī)變量通常用協(xié)方差矩陣來(lái)描述隨機(jī)變量之間的相互關(guān)系。第57頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月協(xié)方差矩陣是對(duì)稱（共軛對(duì)稱）的；如果變量之間是不相關(guān)的，則K是一個(gè)對(duì)角陣。第58頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1:(0,1)分布隨機(jī)變量，P{X=1}=p,P{X=0}=q=1-p,求X的均值和方差5.ExpectedvalueofsomeimportantrandomvariableE[X]=1·P{X=1}+0·P{X=0}=pE[X2]=12·P{X=1}+02·P{X=0}=pD(X)=E(X2)-(E[X])2=p-p2=pq解:第59頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2(a,b)上均勻分布的隨機(jī)變量，求均值和方差

第60頁(yè)，課件共69頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3求瑞利分布隨機(jī)變量的均值和方差。第61頁(yè)，課件共6