第二課時正射影和三垂線定理

第二課時正射影和三垂線定理第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月課標(biāo)研讀1．理解點、斜線、斜線段在平面上的射影，圖形在平面上的射影等概念；掌握三垂線定理及其逆定理，并能靈活應(yīng)用．2．重點是三垂線定理及其逆定理，難點是非標(biāo)準(zhǔn)位置的三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用．課前自主學(xué)習(xí)第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月溫故夯基1．直線a⊥平面α的判定定理為m∩n＝O，m?α，n?α，a⊥m，a⊥n?a⊥α.2．若a∥b，a⊥α，則______3．若a⊥α，b⊥α，則_______b⊥α.a∥b.第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月知新益能1．過一點向平面引_____，_____叫做這個點在這個平面內(nèi)的射影．這點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的__________2．一條直線和一個平面____，但不和這個平面____時，這條直線就叫做這個平面的____，斜線和平面的交點叫_______從平面外一點向平面引斜線，這點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的________垂線垂足垂線段．相交垂直斜線斜足．斜線段．第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月3．在_______的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的_____垂直，那么它也和這條____垂直；反之，如果和這個平面的一條____垂直，那么它也和這條斜線的______垂直．平面內(nèi)射影射影斜線斜線第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月問題探究1．從平面外同一點出發(fā)的斜線段在該平面內(nèi)的射影長受斜線段長的影響嗎？提示：受影響．相等的斜線段的射影也相等，較長的斜線段的射影也較長，反之射影相等的斜線段相等，射影較長的斜線段也較長．第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2．“三垂線定理”及“逆定理”中“平面內(nèi)”這個條件能否省略？提示：兩個定理中“平面內(nèi)”這個條件不能省略，否則不一定成立，需要進(jìn)一步證明．這是因為：由三垂線定理及其逆定理的證明過程可知，只有平面內(nèi)的直線若能滿足和斜線的射影垂直，才能保證和斜線與垂線所在平面垂直，只有線面垂直才能保證線線垂直．第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月題型一圖形在某個平面上的射影課堂互動講練圖形在某個平面上的投影就是從圖形上每個點向平面引垂線，垂足點所形成的圖形．一般是找圖形各頂點的射影點．第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為正方體的中心，則△PAC在該正方體各個面上的射影可能是__________．(要求：把可能的圖的序號都填上)【思路點撥】找圖形邊界點的投影點，再連線．例1第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【解析】由于A、C在下底面上的射影是它們各自本身，P在下底面上的射影是AC中點，故△PAC在下底面上的射影是下底面對角線AC.因此，圖①是可能的，且△PAC在上底面上的射影是上底面對角線A1C1也是圖①的情形；而A在側(cè)面BC1上的射影是B，P在側(cè)面BC1上的射影是側(cè)面BC1的中心，故圖④也是可能的．同理，可知△PAC在其他三個側(cè)面上的射影也都是圖④的情形，于是圖②、③是不可能的．因此，所有可能的情形是圖①、圖④.【答案】①④第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【名師點評】本題側(cè)重于考查數(shù)學(xué)語言向圖形語言的轉(zhuǎn)化，并根據(jù)這兩種語言提供的信息展開空間想象，去偽存真，它對于空間想象能力和思維判斷能力有著較高的要求，是近幾年高考題型改革較為成功的一種題型．第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月題型二三垂線定理及逆定理的應(yīng)用三垂線定理及其逆定理主要用來證明線線垂直時省去其中線面垂直的過程．從兩個定理的作用上區(qū)分，三垂線定理解決已知共面直線垂直、證明異面直線垂直的問題，逆定理相反．利用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵是要善于從各種圖形中找出“平面的垂線”“平面的斜線”“斜線的射影”．第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(2010年高考陜西卷改編)如圖，在四棱錐P

ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E、F分別是AD、PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.【思路點撥】結(jié)合量的計算尋找PC⊥BF、PC⊥BE.例2第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【證明】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA＝AB＝2∴PB＝2.∴PB＝BC.又∵F為PC的中點，∴BF⊥PC.連結(jié)AC.設(shè)AC∩BE＝G，AC為PC在平面ABCD上的射影．第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【思維總結(jié)】運用三垂線定理及逆定理，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確識別或作出構(gòu)成定理的五個元素．第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月在本例中，求證：BC⊥PB、CD⊥PD.證明：PA⊥面ABCD.AB為PB在面ABCD上的射影，BC?面ABCD且BC⊥AB，∴BC⊥PB，同理可證CD⊥PD.互動探究第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月題型三點到平面的距離平面外一點向平面引垂線，這點與垂足之間的長度是這點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為直角三角形的直角邊來求．已知P為△ABC外一點，PA、PB、PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，求點P到平面ABC的距離．【思路點撥】欲求點到平面的距離，可先過點作平面的垂線，進(jìn)一步求出垂線段的長．例3第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【解】過P作PO⊥平面ABC于O點，連結(jié)AO，BO，CO，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵PA＝PB＝PC＝a，∴△PAO≌△PBO≌△PCO，∴OA＝OB＝OC，∴O為△ABC的外心．第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【思維總結(jié)】求點到平面的距離較常用的方法有兩種：(1)作出垂線段，求垂線段的長度；(2)求出幾何體的體積，利用等積法轉(zhuǎn)化成求點到平面的距離．第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月錯誤運用三垂線定理或逆定理條件在長方體ABCD－A1B1C1D1中，D1D＝DC，判定對角線BD1和B1D是否一定垂直，請說明理由．例思維誤區(qū)警示第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月【錯解】連結(jié)C1D，D1C，∵B1C1⊥面CDD1C1，∴C1D為B1D在平面CDD1C1上的射影．∵D1D＝DC，∴D1C⊥C1D，∴D1C⊥B1D.又D1C為BD1在平面CDD1C1的射影，∴B1D⊥BD1.【錯因】

B1D⊥D1C，雖然D1C是斜線BD1在面CDD1C1上的射影，但B1D?面CDD1C1，用錯三垂線定理．【自我挑戰(zhàn)】在長方體中，體對角線不一定垂直．要使B1D⊥BD1，必須有BB1＝BD.第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1．準(zhǔn)確認(rèn)識三垂線定理及其逆定理(1)三垂線定理及其逆定理是解、證與線線(面)垂直有關(guān)問題的重要而有效的工具，三垂線定理的基本要素是“一面四線”，一面：基礎(chǔ)平面；四線：斜線、垂線、射影、面內(nèi)直線．規(guī)律方法總結(jié)第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)應(yīng)用三垂線定理及其逆定理解題通常要遵循的“三步曲”：①定“線面”：確定一個基礎(chǔ)平面和這個平面內(nèi)的一條直線；②找“三線”：找這個平面的一條垂線、一條斜線及這條斜線在這個平面內(nèi)的射影；③證“垂直”：證明平面內(nèi)的這條直線與斜線或斜線在平面內(nèi)的射影垂直．第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2．三垂線定理及其逆定理的區(qū)別三垂線定理是先有平面內(nèi)的直線a垂直于射影的條件，然后得出a垂直于斜線的結(jié)論．而逆定理則是已知平面內(nèi)的直線垂直于斜線，再推出平面內(nèi)的直線垂直于射影，即三垂線定理是“線與射影垂直?線與斜線垂直”，逆定理正好相反，在引用時注意不要混淆．第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1．(2010年長春調(diào)研)下面有四個命題：(1)射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；(2)相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；(3)垂線段比任何一條線段都短；(4)斜線在平面內(nèi)的射影可能是一條直線，也可能是一個點．其中正確的命題有(

)A．0個B．1個C．3個D．4個隨堂即時鞏固第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：選A.(1)、(2)、(3)均不正確．垂線段和斜線段長定理中涉及的垂線段和斜線段都是從平面外同一點引出的，離開了這個前提，結(jié)論就不成立．(4)也不對，斜線在平面內(nèi)的射影必為直線，只有點或垂線在平面內(nèi)的射影才是點．故本題應(yīng)選A.第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2．△ABC在平面α內(nèi)，點P在平面α外，PO⊥α于O，且P到A、B、C的距離相等，則O為△ABC的(

)A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心解析：選A.由PO⊥α于O，知AO、BO、CO分別為斜線段PA、PB、PC在平面α內(nèi)的射影，又PA＝PB＝PC，所以AO＝BO＝CO，即O為△ABC的外心．第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月3．(2010年吉林高二統(tǒng)考)如圖，在正方體ABCD

A1B1C1D1中，M、N分別是A1A、AB上的點，若∠NMC1＝90°，那么∠NMB1的大小是(

)A．小于90°

B．等于90°C．大于90°

D．不能確定解析：選B.由已知C1M是平面ABB1A1的斜線，而C1B1⊥平面ABB1A1，所以MB1是斜線C1M在平面ABB1