正弦函數(shù)教學(xué)設(shè)計

（一）正弦指導(dǎo)思想與理論依據(jù)根據(jù)布魯納認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論可知，學(xué)習(xí)就是主動地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，學(xué)習(xí)的過程實(shí)際上是人們利用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對新的知識經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工改造并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。這個過程不是被動地產(chǎn)生的，而是一種積極主動的過程。根據(jù)維果茨基的最近發(fā)展理論，教學(xué)中為學(xué)生發(fā)展創(chuàng)造最近發(fā)展區(qū)，從而使得學(xué)生的最近發(fā)展轉(zhuǎn)化為他現(xiàn)有的發(fā)展水平。課程標(biāo)準(zhǔn)中也同樣指出課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程。本節(jié)課通過一系列與圓有關(guān)的探究活動，得出圓心角和弦與半徑的比具有函數(shù)關(guān)系，通過圖形間的分解和轉(zhuǎn)換，過渡到直角三角形中，進(jìn)而得出直角三角形中銳角和對邊與斜邊的比值具有函數(shù)關(guān)系，從而得到正弦函數(shù)的概念。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計符合學(xué)生心理和發(fā)展特點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)的思想，加深了學(xué)生對函數(shù)概念的理解，激發(fā)學(xué)生內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)。教學(xué)背景分析（一）教學(xué)內(nèi)容的地位與作用：本節(jié)課內(nèi)容選自《人教版義務(wù)教育教科書》九年級下冊第二十八章銳角三角函數(shù)第一課時正弦函數(shù)，這部分內(nèi)容在課本61頁——63頁。銳角三角函數(shù)是全章乃至整個三角學(xué)的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是初中教材中出現(xiàn)的唯一的初等超越函數(shù)。而本節(jié)課是銳角三角函數(shù)的起始課，通過探究圓心角與所對弦的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而找出具有函數(shù)關(guān)系的量，從而得出正弦函數(shù)的概念。掌握了正弦函數(shù)的概念和研究方法，不僅可以使學(xué)生更全面的認(rèn)識函數(shù)的概念，而且也為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)做好準(zhǔn)備。（二）學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念、相似三角形、勾股定理、以及圓的相關(guān)知識，已具有一定的數(shù)學(xué)探究活動的經(jīng)歷和能力，具有一定的合情推理和推理證明能力。正弦函數(shù)是建立銳角與比值之間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系不同于以前學(xué)習(xí)的數(shù)值與數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，因此學(xué)生建立這種對應(yīng)關(guān)系有一定難度。（三）教學(xué)方法探究式、啟發(fā)式。本節(jié)課通過六個學(xué)習(xí)活動，嘗試給學(xué)生創(chuàng)造充分探究的空間和時間，減少教師在課堂上的機(jī)械宣講，讓學(xué)生真正體驗(yàn)和經(jīng)歷了一回數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)、問題再認(rèn)識的過程。（四）教學(xué)手段：多媒體投影與計算機(jī)輔助教學(xué)。（五）技術(shù)準(zhǔn)備：課前制作的幾何畫板課件、PPT演示文稿、印發(fā)學(xué)生學(xué)案。三、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)的確定基于上面對課程的整體認(rèn)識和學(xué)生情況分析，確定了以下教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)：目標(biāo)：1、理解正弦函數(shù)的含義，能夠正確應(yīng)用正弦函數(shù)表示直角三角形中銳角的對邊與斜邊的比，知道直角三角形中銳角度數(shù)一定時，它的對邊與斜邊的比值是固定值；2、經(jīng)歷銳角正弦函數(shù)的探索過程，進(jìn)一步體會函數(shù)的意義，培養(yǎng)由特殊到一般的演繹推理能力及合作交流能力；3、在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)好奇心和主動學(xué)習(xí)的欲望。重點(diǎn)：理解正弦函數(shù)的概念。難點(diǎn)：體會當(dāng)銳角一定時，它的正弦值也唯一確定。教學(xué)過程的設(shè)計及實(shí)施發(fā)現(xiàn)問題階段發(fā)現(xiàn)問題階段問題探究階段問題探究階段問題解決階段問題解決階段概念應(yīng)用階段概念應(yīng)用階段小結(jié)提升階段小結(jié)提升階段（一）發(fā)現(xiàn)問題階段師：咱們班有很多同學(xué)都喜歡看足球比賽，常常被其中的精彩畫面所吸引，可大家知道嗎，在足球比賽中蘊(yùn)含著不少數(shù)學(xué)知識呢！下面請同學(xué)們觀看一段足球比賽視頻。（播放視頻）師：通過視頻我們不難發(fā)現(xiàn)足球比賽中有我們數(shù)學(xué)中圓的知識，當(dāng)圓心角改變時，與它對應(yīng)的圓周角也隨之改變，而當(dāng)圓心角一定時，它所對應(yīng)的圓周角也隨之確定，二者之間具有函數(shù)關(guān)系。那么在圓中還有那些量之間具有函數(shù)關(guān)系？今天讓我們繼續(xù)來研究?！驹O(shè)計意圖】利用足球運(yùn)動員射門時的角度問題，得出圓心角與其相對應(yīng)的圓周角之間存在函數(shù)關(guān)系，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而產(chǎn)生繼續(xù)在圓中尋找具有函數(shù)關(guān)系的量的欲望。（二）問題探究階段活動1：第一環(huán)節(jié)：動手實(shí)踐任意畫一個圓，做出一個圓心角和它所對的弦；再改變圓心角的大小畫出它所對的弦。（教師巡視）生：觀察與思考在定圓中，弦的長度隨圓心角的變化而變化嗎？怎樣變化的？第二環(huán)節(jié)：展示交流在學(xué)生畫圖、思考問題后進(jìn)行交流?！驹O(shè)計意圖】進(jìn)一步明確弦長與圓心角之間的正比關(guān)系。從圖形上直觀感受在定圓中，弦的長度隨圓心角的增大而增大。第三環(huán)節(jié)：驗(yàn)證猜想（幾何畫板演示）【設(shè)計意圖】通過幾何畫板演示，驗(yàn)證得出的猜想，滲透從特殊到一般的研究問題的方法，為后續(xù)探究做好鋪墊。第四環(huán)節(jié)：深度領(lǐng)悟師：對于圓心角、圓心角所對的弦、半徑這三者而言，當(dāng)半徑確定時，圓心角越大所對的弦越長?；顒?：第一環(huán)節(jié)：動手實(shí)踐任意畫一組半徑為1cm、2cm、4cm的同心圓，任意做出一個圓心角，并畫出這個圓心角在每個圓中所對的弦。（學(xué)生獨(dú)立探究）生：通過動手畫圖，思考在大小不同的圓中，當(dāng)圓心角一定時，所對的弦怎樣變化？第二環(huán)節(jié)：展示交流【設(shè)計意圖】從圖形上直觀感受當(dāng)圓心角一定時，所對的弦隨半徑的增大而增大。第三環(huán)節(jié)：驗(yàn)證猜想（幾何畫板演示）【設(shè)計意圖】通過幾何畫板演示，驗(yàn)證學(xué)生得出的猜想，進(jìn)一步體會特殊到一般的研究問題的方法。第四環(huán)節(jié)：深度領(lǐng)悟師：當(dāng)圓心角一定時，半徑越長，圓心角所對的弦越長?！驹O(shè)計意圖】進(jìn)一步體會到圓心角、圓心角所對的弦、半徑這三個變量之間具有某種依賴關(guān)系，但不是函數(shù)關(guān)系。師：圓心角一定時，哪個量的值是唯一確定的？【設(shè)計意圖】使學(xué)生帶著問題進(jìn)入到活動3，問題激發(fā)學(xué)生濃厚的探究欲望?；顒?：利用活動2所畫的圖形完成下表：給出3個特殊角，其余角學(xué)生自己選。圓心角半徑124弦長弦長：半徑獨(dú)立探究環(huán)節(jié)：學(xué)生通過計算完成表格的填寫，先完成教師給定的3個特殊角的計算，再自己任選兩個角計算，表格填完后思考問題：①圓心角改變時弦長：半徑的值改變嗎？②在圓心角一定的情況下，弦長：半徑的值呢？③除了以上的特殊角，圓心角是其它度數(shù)時，②的結(jié)論還成立嗎？【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)主要任務(wù)是通過表格填寫的結(jié)果，得出圓心角一定時，所對弦長與半徑的比值為“固定的值”的猜想。

合作交流環(huán)節(jié)：學(xué)生在已分好的小組內(nèi)進(jìn)行交流討論，主要交流結(jié)果以及互相講解，并通過討論交流解決教師提出的問題。【設(shè)計意圖】通過小組合作共同發(fā)現(xiàn)規(guī)律。分組展示環(huán)節(jié)：展示各組交流的結(jié)果。得出猜想環(huán)節(jié)：通過對表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，師生共同歸納得出結(jié)論，當(dāng)圓心角一定時，所對弦長與半徑的比值為“固定的值”這樣的判斷。驗(yàn)證猜想環(huán)節(jié)：（幾何畫板演示）【設(shè)計意圖】數(shù)形結(jié)合，通過改變半徑，使學(xué)生直觀觀察到圓心角一定時，所對弦長與半徑的比值為“固定的值”。（三）問題解決階段活動4：思考：1、當(dāng)圓隱藏時，只剩下等腰三角形，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可以怎樣敘述？2、等腰三角形還可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為什么特殊圖形？如何轉(zhuǎn)化？又能得到什么新的猜想？師：幾何畫板演示。生：觀察，在老師引導(dǎo)下思考與回答【設(shè)計意圖】進(jìn)行情景轉(zhuǎn)換，圓隱藏時只留下等腰三角形，進(jìn)而將等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，揭示圓與直角三角形之間的相互內(nèi)在關(guān)聯(lián)?；顒?：當(dāng)半角取30、45、60時，半弦與半徑的比還是“固定的值”嗎？當(dāng)半角任取一個銳角時，半弦與半徑的比還是“固定的值”嗎？生：說明猜想，并用語言敘述猜想師：利用幾何畫板演示，通過特殊角體會，半弦與半徑的比值，不隨半徑的大小而改變，只與角的大小有關(guān)?！驹O(shè)計意圖】驗(yàn)證當(dāng)半角一定時，半弦與半徑的比是固定值，與三角形的大小無關(guān)?；顒?：任取一個銳角，在MO邊上任取兩點(diǎn)A、A，過A、A分別向ON做垂線，交ON于B、B，求證：獨(dú)立證明環(huán)節(jié)：主要以獨(dú)立證明為主，教師做個別輔導(dǎo)。交流反饋環(huán)節(jié)：展示證明過程【設(shè)計意圖】使學(xué)生真正認(rèn)識到直角三角形中銳角度數(shù)一定時，它對邊與斜邊的比值是固定值。明確結(jié)論環(huán)節(jié)：提出新的概念——正弦。正弦概念：在中，=，a、b、c分別為、、的對邊，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦。記作：即：==師：說出，思考正弦是函數(shù)嗎？師：1、對于銳角的每一個確定的值，有確定的比值與之相對應(yīng)，這個確定的值是唯一的，所以正弦是函數(shù)。自變量是角，函數(shù)是比值。2、“”是一個完整的符號，表示一個比值3、記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”，單獨(dú)寫出符號sin是沒有意義的，因?yàn)樗x開了確定的銳角無法顯示它的含義。（四）概念應(yīng)用階段已知和中，，，于點(diǎn),如果=，那么=，=，=生：先獨(dú)立思考，然后展示交流?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生是利用發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決的問題，進(jìn)一步說明了直角三角形中，正弦是銳角的函數(shù)，當(dāng)銳角一定時，正弦值也一定。與直角三角形的大小，位置無關(guān)。（五）小結(jié)提升階段你是怎么理解正弦的意義的？這節(jié)課我們都用了哪些數(shù)學(xué)研究的方法？生：總結(jié)自己的收獲。師：通過同學(xué)們自己動手實(shí)驗(yàn)，大膽猜測和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個新的結(jié)論。希望大家發(fā)揚(yáng)這種創(chuàng)新精神，變被動學(xué)知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識?！驹O(shè)計意圖】學(xué)生從知識、方法等方面進(jìn)行回顧，增強(qiáng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力。五、教學(xué)特色分析由于正弦函數(shù)知識本身既具有函數(shù)的特征，其特征的發(fā)現(xiàn)和證明又運(yùn)用到了幾何中的圓與相似三角形的知識。以往的教學(xué)基本上僅注意了其中的幾何推理，而忽視了其函數(shù)的本質(zhì)屬性，本節(jié)課是基于正弦的函數(shù)意義下的教學(xué)，從“正”和“弦”的本身意義開始研究。本節(jié)課以探究具有函數(shù)