補(bǔ)上一課 向量中的最值（范圍）問(wèn)題

第五章平面向量、復(fù)數(shù)補(bǔ)上一課向量中的最值(范圍)問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.題型分析內(nèi)容索引分層精練鞏固提升題型一與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題A解析設(shè)BD，AE交于點(diǎn)O，因?yàn)镈E∥AB，所以△AOB∽△EOD，

因?yàn)閤＞0，y＞0，此類問(wèn)題的一般解題步驟是第一步：利用向量的運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；第二步：運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.感悟提升B解析由題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)C(cosθ，sinθ)，0°≤θ≤120°，∵0°≤θ≤120°，∴30°≤θ＋30°≤150°，∴當(dāng)θ＝60°時(shí)，x＋y的最大值為2，此時(shí)C為弧AB的中點(diǎn).所以x＋y的最大值是2.題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題A解析法一如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，數(shù)量積最值(范圍)的解法：(1)坐標(biāo)法，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理.(2)向量法，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識(shí)解決.感悟提升A解析取線段AB的中點(diǎn)O，連接OC，則OC⊥AB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.題型三與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題解析法一由題意可設(shè)a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，則a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，

法二由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，求向量模的最值(范圍)的方法，通常有：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行

，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過(guò)程更加簡(jiǎn)單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.感悟提升B題型四與夾角有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題D解析因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b滿足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，

因?yàn)?≤〈a－b，a〉≤π，求夾角的最值(范圍)問(wèn)題要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行.感悟提升

當(dāng)st≤0時(shí)，(st－2)2≥4，當(dāng)st＞0時(shí)，由2t＋s＝2，故s＞0，t＞0，極化恒等式拓展視野

解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在圓的圓心為O，取AB中點(diǎn)D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以CD長(zhǎng)度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，

D解析法一以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升3A【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固】解析設(shè)a＋b，c的夾角為θ，B解析由題設(shè)，知a·b＝0且(a＋b)·(2a－b)＝2a2－a·b＋2a·b－b2＝2a2－b2＝2，當(dāng)|b|＝0時(shí)等號(hào)成立，∴|a＋b|min＝1.CB解析因?yàn)辄c(diǎn)M在△ABC內(nèi)部(包括邊界)，C又|c－a|＝1，于是有|c－b|＝|(c－a)＋(a－b)|≤|c－a|＋|a－b|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)c－a與a－b同向共線時(shí)取“＝”，所以|c－b|的最大值為4.

CCC因?yàn)锳，C不重合，所以－1≤cos∠AOC＜1，所以cos∠AOC＝－1，1又m，n∈[0，1]，又向量a，b的夾角為θ，[－2，2]因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，AB＝AD＝2，法二因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD，記AC，BD的交點(diǎn)為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，BD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，且∠ABC＝60°，因?yàn)辄c(diǎn)P在線段BC上，B【B級(jí)

能力提升】C∵