考點17 正弦定理和余弦定理

考點17正弦定理和余弦定理選擇題1.(2018·全國卷II高考理科·T6)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則()A.42 B.30 C.29 D.25【命題意圖】本題考查余弦定理,二倍角公式.【解析】選A.cosC=2cos2C2-1=2×552-1=-35,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB所以AB2=1+25-2×1×5×-35=32,所以AB=42.(2018·全國卷II高考文科·T7)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則()A.42 B.30 C.29 D.25【命題意圖】本題考查余弦定理,二倍角公式.【解析】選A.cosC=2cos2C2-1=2×552-1=-35,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB所以AB2=1+25-2×1×5×-35=32,所以AB=43.(2018·全國Ⅲ高考理科·T9)同(2018·全國Ⅲ高考文科·T11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積為a2+b2-c24A.π2 B.π3 C.π4 【命題意圖】本題考查三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查推理論證能力、運算求解能力,體現(xiàn)了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).試題難度:中.【解析】選C.由題意S△ABC=12absinC=a2+b2-c24,即sinC=a2+又C∈(0,π),所以C=π4二、填空題4.(2018·全國卷I高考文科·T16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

【解析】根據(jù)正弦定理有:sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,所以2sinBsinC=4sinAsinBsinC,因為B,C∈(0,π),所以sinB≠0,sinC≠0,所以sinA=12.因為b2+c2-a2所以cosA=b2+c2-所以bc=833,所以S=12bcsinA答案:25.(2018·北京高考文科·T14)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形,求取值范圍,意在考查靈活運用公式與基本運算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】由余弦定理,a2+c2-b2=2accosB,△ABC的面積S=34(a2+c2-b2)=34·2accos又S=12acsinB所以32cosB=12sinB,因為角C為鈍角,所以cosB所以tanB=sinBcosB=3,又所以B=π3由正弦定理,ca=sinCsinA,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=12sinA所以ca=12+32cosA因為B=π3,A+B+C=π所以A+C=2π3,A=2π3-C,又0<A<π即π2<C<π所以0<A<π6,0<tanA<33,32tanA>32,c即ca的取值范圍是(2,+∞)答案:π36.(2018·浙江高考T13)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.

【命題意圖】考查正、余弦定理的簡單應(yīng)用.【解析】由正弦定理asinA=bsinB得7sin60°=2sinB,得sinB=217,由余弦定理得cosA=b答案:217三、解答題7.(本小題13分)(2018·北京高考理科·T15)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-17(1)求∠A.(2)求AC邊上的高.【命題意圖】考查運用正弦定理、余弦定理解三角形,意在考查靈活運用公式與基本運算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】方法一:(1)由余弦定理,cosB=c2c2+7解得c=-5(舍),或c=3,所以cosA=b2+c2-又因為0<A<π,所以A=π3(2)設(shè)AC邊上的高為h,則sinA=hc所以h=csinA=3×sinπ3=332,即AC方法二:(1)因為cosB=-17<0得角B為鈍角,由三角形內(nèi)角和定理,角A為銳角,又sin2B+cos2B=1,所以sinB>0,sinB=4由正弦定理,asinA=即sinA=absinB=78×43又因為0<A<π2,所以A=π(2)設(shè)AC邊上的高為h,則h=asinC,由(1)及已知,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32×(-17)+12×4所以h=asinC=7×3314=332,即8.(本小題滿分13分)(2018·天津高考理科·T15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命題意圖】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理asinA=可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-得asinB=acosB-π6,即sinB所以sinB=32cosB+12sinB,可得tanB=又因為B∈(0,π),可得B=π3(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-π6,可得sinA因為a<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-17×9.(本小題滿分13分)(2018·天津高考文科·T16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(Ⅰ)求角B的大小. (Ⅱ)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.【命題意圖】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力.【解析】(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理asinA=可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-得asinB=acosB-π6,即sinB所以sinB=32cosB+12sinB,可得tanB=又因為B∈(0,π),可得B=π3(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B