考點36 圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

考點36圓的方程、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1.(2019·全國卷Ⅱ理科·T4)2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,L2點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.設α=rR,由于α的值很小,A.M2M1R B.M22M1R 【命題意圖】本題主要考查函數(shù)模型及其應用.【解析】選D.由題可知11+2rR+r2R2M1+R2r2M2=1+rRM1,把α=rRM2α2=[1+α-11+α2=αα2+3α+31+α2M1所以M2M1≈3r3R3,r3≈M2二、填空題2.(2019·浙江高考·T12)已知圓C的圓心坐標是(0,m),半徑長是r.若直線2x-y+3=0與圓相切于點A(-2,-1),則m=,r=.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關(guān)系.【解析】設圓的標準方程為x2+(y-m)2=r2,由題意可得(-2)答案:-253.(2019·江蘇高考·T10)在平面直角坐標系xOy中,P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點,則點P到直線x+y=0的距離的最小值是【命題意圖】主要考查基本不等式的運用,通過點到直線距離公式表示出距離,然后運用基本不等式求解即可.【解析】方法一:設Px0,x0+4x0(x0>0),由點到直線距離公式得d=x0+x0+4x02≥282=4,方法二:當直線x+y=0平移到與曲線y=x+4x相切位置時,切點Q即為到直線x+y=0的距離最小的點由y'=1-4x2=-1,得x=2(-2舍),y=3即切點Q(2,32),則切點Q到直線x+y=0的距離為2+32答案:4三、解答題4.(2019·全國卷Ⅰ文科·T21)已知點A,B關(guān)于坐標原點O對稱,|AB|=4,☉M過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)若A在直線x+y=0上,求☉M的半徑.(2)是否存在定點P,使得當A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.【命題意圖】本題考查圓的方程的求解問題,圓錐曲線中的定點定值類問題.【解題指南】解決本定點定值問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動點所滿足的軌跡方程,進而根據(jù)拋物線的定義得到定值,進而驗證定值符合所有情況,使得問題得解.【解析】(1)因為☉M過點A,B,所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0上,且A,B關(guān)于坐標原點O對稱,所以M在直線y=x上,故可設M(a,a).因為☉M與直線x+2=0相切,所以☉M的半徑為r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半徑r=2或r=6.(2)存在定點P(1,0),使得|MA|-|MP|為定值.理由如下:設M(x,y),由已知得☉M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2.由于⊥,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為y2=4x.因為曲線C:y2=4x是以點P(1,0)為焦點,以直線x=-1為準線的拋物線,所以|MP|=x+1.因為|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在滿足條件的定點P.5.(2019·江蘇高考·T18)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA.規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD(C,D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長.(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由.(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P,Q兩點間的距離.【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的應用、解方程、直線與圓等基礎知識,考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.【解析】方法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因為PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以PB=BDcos∠PBD=12因此道路PB的長為15百米.(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E外)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD=AE2從而cos∠BAD=AD2+AB2-BD所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此,Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9當∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時,CQ=QA2-AC2=152-62=321綜上,當PB⊥AB,點Q位于點C右側(cè),且CQ=321時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.方法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,-3.因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(-4,-3),直線AB的斜率為34因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為-43直線PB的方程為y=-43x-25所以P(-13,9),PB=(-13+4)因此道路PB的長為15百米.(2)①若P在D處,取線段BD上一點M(-4,0),則MO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=-34x+6(-4≤x≤4)在線段AD上取點M3,154,因為OM=32所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1(-13,9);當∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時,設Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+321,所以Q(4+321,綜上,當P(-13,9),Q(4+321,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.【題后反思】方法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長;(2)分類討