2024屆重慶市西南大學附中、重慶育才中學拔尖強基聯(lián)盟高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2024屆重慶市西南大學附中、重慶育才中學拔尖強基聯(lián)盟高三上學期9月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程得到，由定義域得到，從而求出并集.【詳解】由題意得，解得，故，又，所以.故選：C2．若隨機變量，則（

）A．4.8 B．2.4 C．9.6 D．8.6【答案】C【分析】由，求出，進而由線性關系計算出.【詳解】因為，所以，所以.故選：C3．已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，限定出的范圍即可比較出它們的大小.【詳解】根據(jù)題意可知，即可得；由對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，，即；且，所以.故選：A4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式和對數(shù)運算法則依次求得即可.【詳解】，，.故選：B.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.6．教育扶貧是我國重點扶貧項目，為了縮小教育資源的差距，國家鼓勵教師去鄉(xiāng)村支教，某校選派了5名教師到A、B、C三個鄉(xiāng)村學校去支教，每個學校至少去1人，每名教師只能去一個學校，不同的選派方法數(shù)有（

）種A．25 B．60 C．90 D．150【答案】D【分析】按照分類分步計數(shù)原理可先將5人分成3組，再將3組人員分配到3個學校去，即可計算出結果.【詳解】由題意可知，先將5人分成三組有2類分法，第一類：各組人數(shù)分別為1，1，3，共有種分法；第二類：各組人數(shù)分別為1，2，2，共有種分法，再將三組人員分配到A、B、C三個鄉(xiāng)村學校去，共有種，所以不同的選派方法共有種.故選：D7．定義在上的函數(shù)滿足:對任意，都有，且為奇函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)已知條件推出是周期為4，關于、對稱的偶函數(shù)，再結合、與的平移伸縮關系判斷各項的正誤.【詳解】由為奇函數(shù)，則，即，B錯；所以關于對稱，由，令，則，即，所以關于對稱，則關于，即y軸對稱，C對；所以，則，故，則，即的周期為4，則，綜上，是周期為4，關于、對稱的偶函數(shù)，將所有橫坐標縮短為原來的一半得到函數(shù)，所以是周期為2，關于、對稱的偶函數(shù)，D錯；則，A錯；故選：C8．對于所有的正實數(shù)，都有成立，則整數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令，將問題化為，在上恒成立，討論、，結合二次函數(shù)性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍，即可得最小整數(shù)值.【詳解】由題設，令，則，所以，在上恒成立，當，則，不滿足題設；當，對稱軸為，只需，可得.綜上，，故整數(shù)的最小值為2.故選：B二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．是第三象限角B．角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊在直線上的角的集合可表示C．D．若，則【答案】ACD【分析】A利用終邊相同的角的集合并求最小正角判斷；B寫出終邊在直線上的角的集合判斷；C應用誘導公式、和角余弦公式判斷；D根據(jù)與、倍角正弦公式判斷.【詳解】A：與終邊相同角的集合，若，故在第三象限，對；B：終邊在直線上的角的集合可表示，錯；C：，對；D：，則，對；故選：ACD10．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．時，函數(shù)的極大值為B．是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件C．若函數(shù)恰有兩個零點，則或D．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則【答案】BC【分析】A應用導數(shù)研究極值；B根據(jù)奇函數(shù)及充分、必要性定義判斷；C由，問題化為有且僅有一個零點，結合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)；D由恒成立求參數(shù)范圍即可.【詳解】A：，則，在上，在上，故極大值為，錯；B：，則，故，函數(shù)為奇函數(shù)，充分性成立；，則，必要性成立，對；C：由，顯然，要使函數(shù)恰有兩個零點，只需有且僅有一個零點，即，即，對；D：由題設在上恒成立，即，所以，錯；故選：BC11．已知編號為的三個盒子，其中1號盒內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從該盒子中任取一個球，則下列說法正確的是（

）A．如果將10個相同的小球放入這三個盒子內(nèi)，允許有空盒子，則不同的放法有36種B．第二次抽到3號球的概率為C．如果第二次抽到的是3號球，則它來自1號盒子的概率最大D．在第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到2號球的概率為【答案】BCD【分析】A應用插棍法求不同放法數(shù)；B應用全概率公式求第二次抽到3號球的概率；C應用貝葉斯公式求3號球來自不同盒子的概率比較大??；D根據(jù)題意寫出條件概率即可.【詳解】將10個相同的小球放入這三個（不同）盒子內(nèi)，應用插棍法，把10個小球和3個盒子排成一列有12個空（不含兩端），再用2根棍插入其中兩個空，所以不同的放法有種，A錯；表示第一次抽取到1號球，表示第一次抽取到2號球，表示第一次抽取到3號球，所以，表示第二次抽到3號球，則，所以而，所以，B對；第二次抽到的是3號球來自1號盒，第二次抽到的是3號球來自2號盒，第二次抽到的是3號球來自3號盒，所以第二次抽到的是3號球，則它來自1號盒子的概率最大，C對；表示第二次抽到2號球，則第一次抽到3號球的條件下，第二次抽到2號球的概率，D對.故選：BCD12．已知函數(shù)有兩個極值點，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】A選項，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，令，求導得到其單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合得到；B選項，先得到，且，故；C選項，得到，且，，D選項，構造，利用導數(shù)得到，從而得到，再由在上單調(diào)性得到答案.【詳解】A選項，定義為R，且，由題意得有兩個變號零點，令，即有兩個不同的根，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，且，又當時，，當時，，畫出的圖象，如下，故，A正確；B選項，由A選項可知，，且，故，B錯誤；C選項，由A選項可知，，且，，C正確；D選項，設，，則，因為，所以，，則，故，故在上單調(diào)遞增，又，而，故，即，又，所以，其中，，而由A選項可知，在上單調(diào)遞減，所以，即，D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：極值點偏移問題，通常會構造差函數(shù)來進行求解，極值點偏移問題，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進行變形，可構造關于的函數(shù)，利用導函數(shù)再進行求解.三、填空題13．已知函數(shù)在點處的切線與直線平行，則實數(shù).【答案】【分析】利用導數(shù)的幾何意義有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設，則，故.故答案為：14．已知展開式中第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中含項的系數(shù)為.【答案】【分析】先根據(jù)第3項與第6項的二項式系數(shù)相等求出，從而得到展開式的通項公式，得到答案.【詳解】由題意得，解得，故展開式通項公式為，令得，故展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：15．已知，角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則.【答案】/【分析】根據(jù)已知得，且，應用差角正弦公式求角的大小.【詳解】由題設，，即，而，故，則，所以，則.故答案為：16．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.【答案】【分析】對函數(shù)求導，將問題化為在上恒成立，構造函數(shù)，得到，結合導數(shù)求滿足條件的參數(shù)范圍即可.【詳解】，在上恒成立，由，則，所以在上恒成立，令，則，所以，可得，令，則，即在遞增，而，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)區(qū)間單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立為關鍵.四、解答題17．已知，求下列代數(shù)式的值.（1）；（2）.【答案】(1);(2).【分析】（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式化解，即可求得所給式子的值.（2）把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函數(shù)的基本關系化為關于正切的式子，從而求得它的值.【詳解】由，可得：，解得：.（1）．（2）【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式在化簡求值中的應用，屬于基礎題18．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，當時，的最小值為4.(1)求實數(shù)的值;(2)令，對，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得，利用基本不等式求出最小值可得；（2）利用換元法構造函數(shù)，，求得函數(shù)值域根據(jù)不等式恒成立解出實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，對應定義域內(nèi)任意，函數(shù)滿足，即，即，解得；所以，當時，，即，解得；所以，.（2）由（1）可得，令，，則，易知當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；令，則可化為，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又對，都有，即即可；所以，即，解得，所以；綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.19．ChatGPT作為一個基于大型語言模型的聊天機器人，最近成為全球關注的焦點.ChatGPT是一個超強的AI，它能像人類一樣聊天交流，甚至能完成撰寫郵件、文案、寫論文、答辯、編程等任務.專家預言，隨著人工智能技術的發(fā)展，越來越多的職業(yè)可能會被ChatGPT或其他類似的人工智能工具所取代.某地區(qū)為了了解ChatGPT的普及情況，統(tǒng)計了該地區(qū)從2023年1月至5月使用ChatGPT的用戶人數(shù)(萬人)，詳見下表:X（月份）12345Y（萬人）3.66.411.718.6427.5(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)信息及模型(1)與模型(2)，判斷哪一個模型更適合描述變量和的變化規(guī)律（無需說明理由），并求出關于的經(jīng)驗回歸方程;(2)為了進一步了解人們對適應人工智能所將帶來的職業(yè)結構變化的自信程度(分為“基本適應”和“不適應”)是否跟年齡有關，某部門從該地區(qū)隨機抽取300人進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表:基本適應不適應合計年齡小于30歲10050150年齡不小于30歲7575150合計175125300根據(jù)小概率的獨立性檢驗，分析該地區(qū)對職業(yè)結構變化的自信程度是否與年齡有關.附參考公式與數(shù)據(jù):，;155597967.84263.561120.240.150.10.050.0250.010.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)更適合，回歸方程為(2)該地區(qū)對職業(yè)結構變化的自信程度與年齡有關【分析】（1）根據(jù)增量變化確定模型，再應用最小二乘法求回歸方程即可；（2）應用卡方公式求卡方值，由獨立試驗的基本思想下結論即可.【詳解】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)知：隨月份變化，用戶人數(shù)的增量在變大，則更適合，而，，則，所以，故.（2）由，所以小概率的獨立性檢驗，該地區(qū)對職業(yè)結構變化的自信程度與年齡有關.20．已知定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關于的方程的解的個數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）構造，利用導數(shù)研究其單調(diào)性；（2）構造，利用導數(shù)研究其零點個數(shù)即可，注意分類討論參數(shù).【詳解】（1）令，則，當時，，則在上遞減；當時，，則在上遞增；所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由題設，即求解的個數(shù)，令，則，當時，恒成立，即遞增，又，即此時僅有一個零點；當時，當時，，則在上遞減；當時，，則在上遞增；則，令，則，所以，，故遞增；，，故遞減；則，即，而趨向于或時都趨向，所以，當時，，此時僅有一個零點；當且時，，此時有兩個零點；綜上，或，僅有一個解；且，有兩個解.21．某公司在一種傳染病毒的檢測試劑吅上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗試劑品分為兩類不同劑型和.現(xiàn)對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測時兩類試劑和合格的概率分別為和.已知兩次檢測過程相互獨立，兩次檢測均合格，試劑品才算合格.(1)設經(jīng)過兩次檢測后兩類試劑和合格的種類數(shù)為，求的分布列;(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才可以確定為“感染高危戶”率為，若該家庭被確定為“感染高危戶”，且當時，最大，求的值.【答案】(1)答案見解析；(2)【分析】（1）分別求出兩類試劑和檢測合格的概率，再求出所有可能取值的概率即可得分布列；（2）根據(jù)題意可得，利用換元法構造函數(shù)解析式根據(jù)由基本不等式即可求出最大時的的值.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，試劑檢測合格的概率為，試劑檢測合格的概率為；易知的所有可能取值為；，，，所以的分布列為012（2）根據(jù)題意可知，檢測3個人可以確定為“感染高危戶”的概率為，檢測4個人可以確定為“感染高危戶”的概率為；所以可得，令，所以，則可化為，因為，當且僅當時，即時等號成立，此時的最大值為；此時，即.22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有一個零點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）討論參數(shù)a，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；（2）問題化為在上僅有一個解，構造，利用導數(shù)研究其在的單調(diào)性，結合零點存在性判斷區(qū)間零點個數(shù)，即可求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由，且，當，則，此時在上遞