平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用復(fù)習(xí)用

一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念1.兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量與，作＝，＝，則∠AOB＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角；說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，與同向；（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，與反向；（3）當(dāng)θ＝時(shí)，與垂直，記作⊥；（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍為0≤≤180.2.數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·＝︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）.規(guī)定；向量的投影：︱︱cos＝∈R，稱為向量在方向上的投影.投影的絕對(duì)值稱為射影.二、平面向量數(shù)量積的幾何意義及其性質(zhì)、運(yùn)算律1.幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.2.性質(zhì)：（1）.（2）（3）（4）（5）⊥·＝0注：乘法公式成立；；3.運(yùn)算律（1）交換律成立：；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；（3）分配律成立：.（4）向量的夾角：cos＝＝.注：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ＝0°，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)，θ＝，同時(shí)與其他任何非零向量之間不涉及夾角這一問(wèn)題.三、兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個(gè)向量，則·＝.（1）垂直：如果與的夾角為90°，則稱與垂直，記作⊥.兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝0，（2）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）.題型一數(shù)量積的概念【例1】判斷下列各命題正確與否：(1)若,·＝·，則＝;(2)若·＝·,則≠當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)成立；(3)·＝0；(4)(·)＝(·)對(duì)任意向量,,都成立；(5)對(duì)任一向量,有2＝||2(6)·＝.【變式練習(xí)】1．若、、為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是()A.B.C.D.2．設(shè),,是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①;

②||－||<|－|;③(·)－(·)不與垂直;④(3＋2)(3－2)＝9||2－4||2中,是真命題的有()A．①②B．②③C．③④D．②④3.已知下列各式：①|(zhì)|2＝2，②③()2＝2·2，④(－)2＝2－2·＋2.其中正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)題型二向量的模與數(shù)量積【例2】(1)已知、滿足|＋|＝eq\r(3)|－|，||＝||＝1，求|3－2|.(2)若||＝13，||＝19，|＋|＝24，則|－|的值為________．變式題1、已知（1）求與的夾角（2）求和（3）若作三角形ABC，求的面積。變式題2、已知a、b是非零向量，若a+b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，試求a與變式題3.已知a=()

，b=()且θ∈.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使題型三夾角問(wèn)題【例3】設(shè)＝(cosα，sinα),＝(cosβ，sinβ),且與具有關(guān)系|k＋|＝eq\r(3)|－k|(k＞0)．(1)與能垂直嗎？(2)若與的夾角為60°，求k的值．【變式練習(xí)1】已知||＝4，||＝3，(2－3)·(2＋)＝61求：

(1)與的夾角θ；(2)|＋|和|－|；(3)若＝，＝，作三角形ABC，求△ABC的面積;

(4)若＝(－1,2)，＝(3，x)，且，的夾角θ為鈍角，求x的取值范圍．

【變式練習(xí)2】.，且（1）與的夾角為鈍角，則的取值范圍為_________且（2））與的夾角為銳角，則的取值范圍為_________（3）與的夾角為直角，則的取值為_________題型四向量的平行、垂直與數(shù)量積【例4】已知向量＝(1,2),＝(－2,1),k，t為正實(shí)數(shù)，向量＝＋(t2＋1),＝－k＋eq\f(1,t)，(1)若⊥,求k的最小值;(2)是否存在k，t使∥？若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【鞏固練習(xí)】1若平面四邊形ABCD滿足,則該四

邊形一定是()A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形2.設(shè)向量,,滿足++=，⊥，||＝1，||＝2，則||2＝()A.1B.2C．4D．53已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，則向量與向量的夾角是()4定義運(yùn)算|?|＝||||sinθ,其中θ是向量,的夾角．若||＝2，||＝5，＝－6，則|?|＝5若向量＝(2,1)，＝(3，x)，若(2－)⊥，則x的值為6若非零向量,滿足||＝||,(2＋)·＝0,則與的夾角為7.已知平面向量,,,則的值是________．8.設(shè)是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,且＝＋2,＝2＋,則|＋|=．9.已知向量||＝10，||＝8，與的夾角θ＝120°，則向量在方向上的投影為()A．4B．－4C．5D．510.已知向量與的夾角為,則等于（）A.5B.4C.3D.111．在△ABC中，若，且·＝·＝·,則△ABC的形狀是()A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形12.定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下:對(duì)任意的＝(m,n),＝(p,q),令

⊙＝mq－np，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．若與共線，則⊙＝B．⊙＝⊙C．對(duì)任意的λ∈R，有(λ)⊙＝λ(⊙)D．(⊙)2＋(·)2＝||2||213.已知點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，CA＝CB，設(shè)＝eq\o(OA,\s\up6(→))，＝eq\o(OB,\s\up6(→))，＝eq\o(OC,\s\up6(→))，若||＝4，

||＝2，求·(－)．14.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC邊上的高為AD，求的坐標(biāo)．15.設(shè)＝(cosα，sinα),＝(cosβ,sinβ),且與具有關(guān)系|k＋|＝eq\r(3)|－k|(k＞0)．(1)求證：(＋)⊥(－)；(2)求將與的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f(k)；(3)求函數(shù)f(k)的最小值及取最小值時(shí)與的夾角θ.作業(yè)一、選擇題1.已知：||＝1，||＝2，＝＋，且⊥，則向量與的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.在中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上，且滿足：，則（）A. B. C. D.3.在中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若A. B. C. D.4.在ΔABC中,若,則ΔABC為（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．無(wú)法確定5.若||=||=|－|,則與+的夾角為（）A．30°B．60°C．150°D．120°6.已知||=1,||=，且(－)與垂直，則與的夾角為（）A．60°B．30°C．135°D．45°7.若,則ΔABC為（） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形D．等腰直角三角形8.設(shè)||=4，||=3，夾角為60°，則|+|等于（）A．37 B．13 C． D．9.若||=1，||=2，與的夾角為60，=3+，=λ－，若⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為（）A．B．C．D． 10.設(shè)a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（）①(a·b)·c－(c·a)·b=0②|a|－|b|<|a－b|③(b·c)·a－(c·a)·b不與c垂直④(3a+2b)·(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A．①②B．②③C．③④D．②④11.在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PM,\s\up6(→))，則eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于（）A．－eq\f(4,9)B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(4,9)12.已知向量＝(1,2)，＝(－2，－4)，||＝eq\r(5)，若(＋)·＝eq\f(5,2)，則與