江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案立體幾何初步第1課直線與平面平行

第1講直線與平面平行一、教學(xué)目標(biāo)1．借助手中的筆與課本，讓學(xué)生直觀感受直線與平面平行的位置關(guān)系，并能夠用圖形來表示，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；2．理解并掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，能運(yùn)用其解決有關(guān)問題；3．通過運(yùn)用兩個(gè)定理解決有關(guān)問題，是學(xué)生感受化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問題、解決問題的能力．二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧與梳理1.直線a和平面α的位置關(guān)系有______、_____、__________，其中_____與______統(tǒng)稱直線在平面外.(1)定義：________________________________________________；(2)判定定理：一條直線與的一條直線平行，則該直線與此平面平行，用符號(hào)表示為.3.直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)，則過這條直線的任一平面與此平面的與該．用符號(hào)表示為：?a∥b.三、診斷練習(xí)題1.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面和底面所在的平面中(1)與直線AB平行的平面是_______________________(2)與直線AC平行的平面是_______________________【分析與點(diǎn)評(píng)】問題1：空間中直線與平面的位置關(guān)系有哪些？問題2：要找線面平行，只要找什么？答案：，題2．已知不重合的直線a，b和平面α，①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b?α，則a∥α；④若a∥b，a∥α，則b∥α或b?α，上面命題中正確的是(填序號(hào)).【分析與點(diǎn)評(píng)】借助實(shí)物（筆和課桌）讓學(xué)生自己動(dòng)手，擺放所有的可能性．通過最熟悉的幾何體—長(zhǎng)方體，讓學(xué)生在圖形中畫出上述的幾種情形，增強(qiáng)學(xué)生的空間想象力和讀圖能力．【答案】④題3．如果直線平行于平面，則平面內(nèi)有條直線與平行．【分析與點(diǎn)評(píng)】問題1：空間中兩條直線的位置關(guān)系有哪些？問題2：在內(nèi)任意作一條直線，由線面平行的定義知道直線與直線沒有公共點(diǎn)，那么可以由此就斷定與平行嗎？【交流與討論】1．關(guān)鍵詞“任意”、“所有”、“無數(shù)”的區(qū)別．2．如果直線垂直于平面，則平面內(nèi)有條直線與垂直．【答案】無數(shù)（交流與討論中2的答案為“任意”或“所有”）題4．已知直線，平面，且，則“∥”是“∥”的條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【分析與點(diǎn)評(píng)】先引導(dǎo)學(xué)生回憶命題的充分性與必要性的定義．提出下列問題：由“∥”能推出“∥”嗎？（直線與平面是怎樣的位置關(guān)系）由“∥”能推出“∥”嗎？已知直線，平面，且，則“∥”是“∥”的條件．【答案】既不充分也不必要3、要點(diǎn)歸納（1）判斷命題正確與錯(cuò)誤時(shí)，一般錯(cuò)誤的命題只要舉出反例，正確的命題要進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明。有時(shí)也可以借助特殊的幾何體，如長(zhǎng)方體、正四面體等模型，結(jié)合有關(guān)的概念加以判斷．（如題２）（2）對(duì)于線線、線面的位置關(guān)系問題，考慮時(shí)一定要全面．（如題１、題3和題４）（3）要重視空間圖形在解題中的作用，輔助分析，幫助理解．四、范例導(dǎo)析例1：在正方體中，棱長(zhǎng)為，分別為和上的點(diǎn)，且.求證：∥平面；求的長(zhǎng)．【教學(xué)處理】要求學(xué)生認(rèn)真審題，自己分析條件和結(jié)論的關(guān)系．建議多提問，讓學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題．【引導(dǎo)分析與精講建議】第（1）問：【變式】在正方體中，分別為和上的中點(diǎn)，求證：∥平面．平面中找到一條線與平行？教師指導(dǎo)：方法一：連結(jié)與，由正方體知為的中點(diǎn)，由中位線定理易得：∥．（圖1）方法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、，由已知易證四邊形為平行四邊形，從而有：∥．（圖2）(圖1)（圖2）（圖3）問題2.本題中，如何在平面中找到一條線與平行？由第1問中方法二的啟示可以作如下的輔助線：過作∥交于，過作∥交于，連結(jié)，從而構(gòu)造出平行四邊形．（圖3）第（2）問：由（1）中的證明可以知道=，故只需要在正方形中求得的長(zhǎng)度即可．【討論交流】1.對(duì)于第（1）問，能否利用三角形構(gòu)造出線線平行？試作出輔助線．2.能否嘗試用面面平行去得線線平行呢？對(duì)比分析，那種方法更為簡(jiǎn)捷．【說明】在提出問題討論交流后，可教師板書示范，也可讓學(xué)生練習(xí)、板演后點(diǎn)評(píng)．【小結(jié)】要證明線面平行關(guān)鍵是找線線平行，而構(gòu)造線線平行的途徑主要有三種：利用三角形的中位線定理；利用平行四邊形；利用對(duì)應(yīng)線段成比例．例2：如圖，四棱錐中，底面為菱形，,為中點(diǎn)，在上找一點(diǎn)，使得∥平面．【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨(dú)立思考并解題，指名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng)．教師在點(diǎn)評(píng)過程中要強(qiáng)調(diào)解題過程的規(guī)范性．【引導(dǎo)分析與精講建議】在正面無法入手時(shí)，老師可以引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)論出發(fā)去尋找突破點(diǎn)．連結(jié)交于，連結(jié)．(如圖4)由∥平面，利用線面平行的性質(zhì)定理可以得到∥．那么，現(xiàn)在要考慮的問題就是：將點(diǎn)定在上什么位置，可以使得∥呢？(圖4)【變式】是所在平面外一點(diǎn)，分別是,的重心，則在平面，平面，平面，平面中，與平行的是．例3.四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過A，N，D三點(diǎn)的平面交PC于M.(1)求證：PD∥平面ANC；(2)求證：M是PC中點(diǎn)．答案為：證明(1)連接BD，AC，設(shè)BD∩AC＝O，連接NO，∵ABCD是平行四邊形，∴O是BD中點(diǎn)，在△PBD中，又N是PB中點(diǎn)，∴PD∥NO，又NO?平面ANC，PD?平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，又∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN，∴BC∥MN，又N是PB中點(diǎn)，∴M是PC中點(diǎn)．【教學(xué)處理】指導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，標(biāo)注條件，讓學(xué)生先嘗試思考分析。如，由平行四邊形想到什么？中點(diǎn)？在思路交流環(huán)節(jié)，教師應(yīng)設(shè)計(jì)針對(duì)性的問題引導(dǎo)學(xué)生去思考，通過問題示范思考方法，加深學(xué)生對(duì)方法的理解。此外，步驟必須重視并嚴(yán)格要求到位。【引導(dǎo)分析與精講建議】、第（1）問中證線面平行，是用平移構(gòu)造輔助面？還是中心投影（即面外線+點(diǎn)構(gòu)造三角形）形成輔助面？面外線PD+點(diǎn)B形成輔助面得到要找的交線！第2問：要證中點(diǎn)，已知什么，只要證什么？線面平行的性質(zhì)定理的條件必須強(qiáng)化，讓學(xué)生動(dòng)手寫。【備用題】：如圖，已知四面體的四個(gè)面均為銳角三角形，分別為上的點(diǎn)，∥平面，且．求證：∥平面．【教學(xué)處理】指導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，標(biāo)注條件，讓學(xué)生先嘗試思考分析，教師延遲引導(dǎo)，最后由學(xué)生板演．【引導(dǎo)分析與精講建議】本題中＂線線平行＂和＂線面平行＂關(guān)系比較多，學(xué)生可能容易混亂，在講解過程中要讓學(xué)生抓準(zhǔn)已知的關(guān)系去推到未知的．證明過程中對(duì)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理要加以區(qū)分，定理的條件要全面準(zhǔn)確．變式遷移如下圖，三棱錐A－BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：CD∥平面EFGH.【引導(dǎo)分析與精講建議】問題1、如何證明線面平行（通過線線平行來證）問題2、鎖定目標(biāo)，直觀看，你認(rèn)為CD與哪條線平行（GH）問題3、GH與那條直線有關(guān)？什么關(guān)系？可以進(jìn)一步得到什么結(jié)論？問題4、GH//面ACD，可以得到什么結(jié)論。用了什么定理？說明：本題旨在強(qiáng)化線面平行的性質(zhì)定理。五、解題反思每一道例題討論之后，都應(yīng)該留出一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行回顧和體悟，可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上面的三道例題作如下反思：熟練掌握立體幾何中線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，是解決本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，特別是定理中的前提條件，在分析問題時(shí)要全面到位；（如診斷題4）對(duì)于線面平行的證明，可以尋找線線平行，利用線面平行的判定定理；也可以尋找面面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理；（如例1）高考中立體幾何難度不大，解題時(shí)，證明要嚴(yán)謹(jǐn)，書寫要規(guī)范，同時(shí)力求證明過程簡(jiǎn)潔，步驟清晰．六、課后鞏固：1.平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是________(填序號(hào)).①AB∥CD；②AD∥CB；③AB與CD相交；④A，B，C，D四點(diǎn)共面.答案④2.有下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個(gè)數(shù)有________.答案13.“一條直線與兩個(gè)相交平面都平行”是“這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行”的________條件.答案充分不必要4.如圖，在四棱錐PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn).(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC//AE，,∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點(diǎn)，又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.5.如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點(diǎn).(1)求三棱錐A－PDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又因ABCD是矩形，所以AD⊥CD.因PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱錐A－PDE的高.因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\v