2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編-13 不等式、推理與證明

專(zhuān)題13不等式、推理與證明

x+l>0

1.【2021?浙江高考真題】若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件卜一y?0,貝l]z=x—

-y的最

2x+3y-l<0

小值是（）

3人11

A.—2B.C.D.—

2210

【答案】B

【分析】畫(huà)出滿(mǎn)足條件的可行域，目標(biāo)函數(shù)化為y=2x-2z,求出過(guò)可行域點(diǎn)，且斜率為

2的直線(xiàn)在y軸上截距的最大值即可.

x+120

【詳解】畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域，

2jc+3y-1<0

如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)z=x_]y化為y=2x-2z,

尤=一1

解得彳設(shè)4—1,1),

2x+3y-l=0y=i

當(dāng)直線(xiàn)y=2x—2z過(guò)A點(diǎn)時(shí),

13

z=x--y取得最小值為一-.

故選：B.

2.【2020年新高考全國(guó)I】已知a>0,b>0,且4+3=1,則

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.>[a+\[b<0

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,a2+b2=a2+(\-a)2=2a2-2a+l=2(a-^}

'，[2)22

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對(duì)于B,a-b=2a-l>-l,所以2""〉2T='，故B正確;

2

'a+b,1c

對(duì)于C,log,+log=loglog=log24=-2，

a2b2ab<2、亍

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=，時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

2

對(duì)于D,因?yàn)?=1+2旅41+。+匕=2,

所以&+揚(yáng)4起，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=g時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)

性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

[x-3y+1<0

3.【2020年高考浙江】若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足約束條件'.,則z=x+2y的取值范圍是

[x+y-3>0n

A.(F4]B.f4,+oo)

C.L5,-KO)D.y,”)

【答案】B

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

其中Z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在y軸上的截距最大,

z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在），軸上的截距最小，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，

聯(lián)立直線(xiàn)方程：\.c八，可得點(diǎn)4的坐標(biāo)為：A（2』），

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：ZmM=2+2xl=4

且目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有最大值.

故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是［4,+8）.

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)Z=or+勿（4厚0）的最值，當(dāng)。＞0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上

截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y

軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

4.【2020年高考全國(guó)I卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為

一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,

則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為

由題意P02=J_a/,,即廿一三='0/,,化簡(jiǎn)得4（2>—2.2—1=0,

242aa

解得2=匕亞（負(fù)值舍去）.

a4

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道

容易題.

5.【2020年高考浙江】設(shè)集合5,T,SUN*,TUN*,S,7中至少有2個(gè)元素，且S,7滿(mǎn)

足：①對(duì)于任意的X,ywS,若存y,則外道丁；②對(duì)于任意的X,yeT，若了勺，則上wS.

下列命題正確的是

A.若S有4個(gè)元素，則SU7有7個(gè)元素

B.若S有4個(gè)元素，則SU7有6個(gè)元素

C.若S有3個(gè)元素，則SUT有5個(gè)元素

D.若S有3個(gè)元素，則SUT有4個(gè)元素

【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則T={2,4,8},此時(shí)SUT={L2,4,8},包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)

D；

若取S={2,4,8},則7={8,16,32},此時(shí)SUT={2,4,8,16,32},包含5個(gè)元素，排除

選項(xiàng)C；

若取S={2,4,8,16},則T={8,16,32,64,128},此時(shí)SUT={2,4,8,16,32,64,128},

包含7個(gè)元素，排除選項(xiàng)8；

下面來(lái)說(shuō)明選項(xiàng)A的正確性：

設(shè)集合5={口，。2，，3，。4}，且Pl<P2Vp3Vp4，Pl，P2，P3，P4CN*,

則P|P2<P2P4，且P|P2,P2P4G7，則&GS,

Pl

同理賁^S,5,&GS,

PIPi

若Pi=l,則p,N2,則上<小，吟=1%即P3=P；，

Pi

又"嚕噴”故資=華=。2,所以〃4=H，

故5={1,「2，夕；,<},此時(shí)p；eT,P2eT,故矛盾，舍.

運(yùn)4…久

若Pi22,則-Pi^~-P\即Pi=p；,p?=p；,

P\P\PiP\

又P4>△>%■>區(qū)>1,故更￡=々=〃],所以“4=〃：，

PiP2P3P3Pl

故s=｛p,Pt，Pi，Pl｝，此時(shí)｛p：,Pi，Pi，pf,p：｝￡T.

nq

若qeT,則"GS,故"=p；,i=l,2,3,4,故夕=p｝」=12,3,4,

PiPi

即qw{p；,p：,p：,p：,p：},故{P^,pt，P',pf,p；}=7，

此時(shí)SuT={〃|,p；,p：,〃:,〃：,戶(hù),〃；,〃:}即SUT中有7個(gè)元素.

故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然

后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新

定義的透徹理解.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不

一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

6.[2020年高考全國(guó)II卷理數(shù)】0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列a。

滿(mǎn)足q€{0,l}(i=l,2「.)，且存在正整數(shù)機(jī)，使得/?,=4"=1,2廣.)成立，則稱(chēng)其為0-1周

期序列，并稱(chēng)滿(mǎn)足4+?,=4?=1，2,…)的最小正整數(shù)由為這個(gè)序列的周期.對(duì)于周期為機(jī)的

1

0-1序列qo,…a〃…，。⑹=—之4%(左=1,2,%-1)是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周

期為5的0-1序列中，滿(mǎn)足C(A)4%A;=1,2,3,4)的序列是

A.11010---B.11011---

C.10001---D.11001...

【答案】C

【解析】由4+,“=4知，序列對(duì)的周期為辦由已知，機(jī)=5,

15

C(k)=￡E生%,k=1,2,3,4

5/=1

對(duì)于選項(xiàng)A,

[5]111

C(l)二一)：4〃川二一+3+。3“4+”405+”5。6)=—(1+。+。+。+。)=———

5,?=]5555

[5]]2

C(2)=--一(4。3+。2。4+。3。5+。4。6+)=-(。+1+。+1+。)=一，不滿(mǎn)

5：=]555

足；

對(duì)于選項(xiàng)B,

[5]j3

C(l)——〉:=一+。2。3++“4a5+。5。6)=—(1+0+。+1+1)=一,不滿(mǎn)

5y_1555

足；

對(duì)于選項(xiàng)D,

[51]2

C(l)=—)：44+i=—(q2+出生+。3〃4+%的+a5a6)=—(1+0+0+0+1)=—,不滿(mǎn)

5j=]555

足；

故選：C

【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問(wèn)題，涉及到周期數(shù)列，考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力以

及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

7.【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚

臍至足底的長(zhǎng)度之比是正二!■（縣口漢）.618,稱(chēng)為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”

22

便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是避二1.若某

2

人滿(mǎn)足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其

身高可能是

A.165cmB.175cm

C.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】方法一：如下圖所示.

依題意可知：

AC_V5-1AB_V5-1

~CD~2'~BC~2

①腿長(zhǎng)為105cm得，即CD>105,

AC=CD>64.89,

2

A￡>=AC+CD>64.89+105=169.89,

所以169.89.

②頭頂至脖子下端長(zhǎng)度為26cm,

即4B<26,

AD

BC=-1=—<42.07,

V5-1

2

AC=AB+BC<6S.O7，

AC

CD=<110.15,

V5-1

2

AC+CZX68.07+110.15=178.22,

所以AO<178.22.

綜上，169.89<AD<178.22.

Ar頭頂

B-咽喉

DL足底

故選B.

方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為xcm,肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm,則

生=型二=1二1,得%=42.07cm,ya5.15cm.又其腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端

xy+1052

的長(zhǎng)度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查類(lèi)比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類(lèi)比法，

利用轉(zhuǎn)化思想解題.

8.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次

月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)

鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲

橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上.設(shè)地

球質(zhì)量為月球質(zhì)量為M?,地月距離為R,4點(diǎn)到月球的距離為「，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律

MMMr

和萬(wàn)有引力定律，，滿(mǎn)足方科—？+言=必「)言.設(shè)"亂,由于0的值很小，

3cc+3a"+CL

因此在近似計(jì)算中23a3,則r的近似值為

0+a)2

A尚

B膈R

3M,"

C.3-ZRD.

\陷

3-----K

\3M,

【答案】D

【解析】由a=/,得「=。7?

R

M.M,f、M

因?yàn)槎鴕+^二力+^^'

MM,〃

所以+-=(l+a

/?2(l+a)2a2H2

即絲1=?2[(1+?)------~~]=優(yōu)+3a4+3a3

??3a3,

(1++)2

M](1+a)

【名師點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意;

易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜式子的變形出錯(cuò).

9.【2019年高考全國(guó)H卷理數(shù)】若則

A.ln(a-Z>)>0B.3"<3〃

Cd-加>0D.|a|>|fe|

【答案】C

【解析】取。=2*=1,滿(mǎn)足a>。，ln3-0)=0,知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3“>34=3,

知B錯(cuò)，排除B；取。=1,。=一2,滿(mǎn)足1=同<網(wǎng)=2,知D錯(cuò)，排除D,因?yàn)楦?/p>

函數(shù)y=》3是增函數(shù)，a>b,所以/>廿，故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、基函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透

了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷.

10.【2019年高考北京卷理數(shù)】若x,y滿(mǎn)足|x|Vl-y,且正-1,則3x+y的最大值為

A.-7B.1

C.5D.7

【答案】C

-1WV

【解析】由題意〈/I，作出可行域如圖陰影部分所示.

y-[<x<\-y

設(shè)z=3尤+y,y=z-3x,

當(dāng)直線(xiàn)％：y=z-3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)時(shí)，z取最大值5.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型，根據(jù)“畫(huà)、移、解”等步驟可得解.題目難

度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.

11.【2019年高考北京卷理數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆

5E,

星的星等與亮度滿(mǎn)足牝-如二；1g寸，其中星等為儂的星的亮度為反(61,2).已知太陽(yáng)的

2J

星等是-26.7,天狼星的星等是T.45,則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為

A.IO10-1B.

10.1

C.IglO.lD.10」°」

【答案】A

5.E

【解析】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足，々一叫=7lgU，令啊=T45,g=-26.7,

Ll()l

=|(m2-/M1)=|(-l.45+26.7)=l0.l,^=l0.

故選：A.

【名師點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問(wèn)題為背景，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理

解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.

x+y-2<0,

x—y+2>0,

12.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)變量x,y滿(mǎn)足約束條件〈，，則目標(biāo)函數(shù)

,1,

z=-4x+y的最大值為

A.2B.3

C.5D.6

【答案】C

【解析】已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線(xiàn)y=4x+z在y軸上的截距,

故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值.

x-y+2=0,

由彳，'，得

x=-l

所以Zmax=-4X(-1)+1=5.

故選C.

【名師點(diǎn)睛】線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域，分界線(xiàn)是

實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線(xiàn)的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直

線(xiàn)的斜率、還是點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值或范圍.即：一畫(huà)，

二移，三求.

13.【2019年高考天津卷理數(shù)】設(shè)xeR,則“爐_5%<0”是的

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】化簡(jiǎn)不等式，可知0<x<5推不出忖―1|<1,

由忖一1|<1能推出0<x<5,

故-5%<0”是“Ix-l|<1"的必要不充分條件，

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡(jiǎn)不等式，由集合的關(guān)系來(lái)判斷條件.

x-3y+4>0

14.【2019年高考浙江卷】若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件<3x-y-4?0,則z=3x+2y的最大

x+yNO

值是

A.-1B.1

C.10D.12

【答案】C

【解析】畫(huà)出滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示。

31

因?yàn)閦=3x+2y,所以了二一^元+己%.

31

平移直線(xiàn)丁二—-x+—z可知，當(dāng)該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值.

22

x-3y+4=0x=2

聯(lián)立兩直線(xiàn)方程可得<，解得〈c

3x-y-4=0[y=2

即點(diǎn)A坐標(biāo)為A(2,2),

所以Zmax=3x2+2x2=10.故選C-

【名師點(diǎn)睛】解答此類(lèi)問(wèn)題，要求作圖要準(zhǔn)確，觀察要仔細(xì).往往由于由于作圖欠準(zhǔn)確而影

響答案的準(zhǔn)確程度，也有可能在解方程組的過(guò)程中出錯(cuò).

15.【2019年高考浙江卷】若a>0,b>0,則“a+6W4”是“必W4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)a>0,人>0時(shí)，a+0225/茄當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)a+》W4時(shí)，

有+解得曲W4,充分性成立；

當(dāng)a=l,反4時(shí)，滿(mǎn)足"W4,但此時(shí)a+〃=5>4,必要性不成立，綜上所述，

^a+b<4”是"必<4”的充分不必要條件.

【名師點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活

的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取a力的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

2x+y-2<0,

16.[2020年高考全國(guó)I卷理數(shù)】若x,y滿(mǎn)足約束條件,x-y-l>0,則z=x+ly的最大值

>'+1>0,

為.

【答案】1

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

2x+y-2=0/、

聯(lián)立直線(xiàn)方程：，八，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A（l,0）,

x-y-l=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：Zmax=1+7x0=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)Z="x+切（“以0）的最值，當(dāng)〃>0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y軸上

截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)b<0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)可行域且在y

軸上截距最大時(shí)，z值最小，在），軸上截距最小時(shí)，z值最大.

x+y>0,

17.【2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)】若x,y滿(mǎn)足約束條件1x-yNO,則z=3x+2y的最大值為

x<1,

【答案】7

【解析】不等式組所表示的可行域如圖

3Yzz

因?yàn)閦=3x+2y,所以y=-一+—，易知截距一越大，則z越大,

-222

3Y3尤7

平移直線(xiàn)y=-二，當(dāng)＞=-二+—經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大,

222

y=2xX=]

由,x=r得'C，41,2),

[y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生

數(shù)形結(jié)合的思想，是一道容易題.

18.【2020年高考江蘇】已知5/〉2+寸=心,｝，€即，則"+12的最小值是_上

4

【答案】y

【解析】V5x2/+/=1

二"0且x?=二^

5y

1-/14y2￡?=%當(dāng)且僅當(dāng)9=茅，即丁磊丫送

/.x2+y2=2

—5y^2-+‘y=5-y2542,

時(shí)取等號(hào).

f+y的最小值為

,4

故答案為：二

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確

理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)

能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用之或4時(shí)等號(hào)能否同

時(shí)成立）.

11Q

19.【2020年高考天津】已知a>0,b>0,且"=1,則——十丁+—的最小值為

2a2ba+h

【答案】4

118abab8

【解析】>0,Z?>0,/.4?+Z?>0,ab=l,一十一+-------一十一+-------

2a2b。+b2a2ha+b

-+-^—>2.p^-x-^—=4,當(dāng)且僅當(dāng)a+Z?=4時(shí)取等號(hào),

2a+bv2a+b

結(jié)合ab=l,解得a=2—=2+，或a=2+J^,。=2—時(shí),，等號(hào)成、7..

故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，"1”合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

20.[2020年高考江蘇】已知5/丁+V=l（x,yeR）,則x2+y2的最小值是▲.

4

【答案】y

［解析】V5x2/+/=1

.1_v4

“。且…可

.201-丁4214y2.警《當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=若

5/5y25

時(shí)取等號(hào).

/.f+y2的最小值為：

4

故答案為：].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確

理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，

其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)

能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用之或《時(shí)等號(hào)能否同

時(shí)成立）.

21.【2021?全國(guó)高考真題】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條

對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dmx12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到

10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和=240dm2,對(duì)折2次

共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

2

S2=180dm,以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)

折〃次，那么、＞*=dm2.

A=1

__._15（3+〃）

【答案】5720——匚一

2"-4

【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S“，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.

【詳解】（1）由對(duì)折2次共可以得至ij5dmx12dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的

圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：一xl2,5x6,10x3；20x±,共4種不同規(guī)格（單位dn?）；

22

5533

故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：-X12,4x6,5x3,10x-,20x4,共5種不同規(guī)

4224

格；

（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如

何，其面積成公比為g的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120（dn?）,第〃次對(duì)折后的圖形面積為

120x1,對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為

〃+1種（證明從略），故得猜想S,=l2；二+”,

J120x2120x3120x4,120（?+1）

則為=120x2120x3120?120(/?+1)

—n-----H

2c2+…+-^rr+~—

兩式作差得:

入=240+12()3+…+上]-^^

2(22?T-')2"

.24oHH]20(〃+1)

112"

2

120120(〃+1)120(〃+3)

=30U---：---------=3OU---------,

2"''2"2"

240(/2+3)15(n+3)

因此,5=720---------=720——

2"2'1

故答案為：5；720」5(“：3)

2，i

【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

(2)對(duì)于｛。也｝結(jié)構(gòu)，其中｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求和；

(3)對(duì)于｛an+b?｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

(4)對(duì)于‘一｝結(jié)構(gòu)，其中｛%｝是等差數(shù)列，公差為則

」一==11———\利用裂項(xiàng)相消法求和.

4"，用八%a/J

22.【2019年高考全國(guó)II卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一上|]

信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多

面體''(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)

學(xué)的對(duì)稱(chēng)美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面

上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.(本題

第一空2分，第二空3分.)

圖1

【答案】26,V2-1

【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第

二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有18+8=26個(gè)面.

如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為X,則AB=BE=X,延長(zhǎng)CB與EE交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)

BC交正方體棱于H，由半正多面體對(duì)稱(chēng)性可知，△BGE為等腰直角三角形，

BG=GE=CH=—x,,-.=2x走x+x=(