直線與圓學(xué)案北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2024屆北京高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案之《直線與圓》一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1.1直線的傾斜角與斜率一、直線的傾斜角1.傾斜角的定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0°；當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，它的傾斜角為90°.2.直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.注意：直線傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.二、直線的斜率1.若直線l的傾斜角為α，則α=90°時(shí)，直線l的斜率不存在；α≠90°時(shí)，直線l的斜率k=tanα.2.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示???傾斜角αα=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°斜率kk=0k>0k不存在k<03.已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1=x2，則直線l的斜率不存在；若x1≠x2，則直線l的斜率k=y注意：若已知兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等”.4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線的斜率k存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為(1，k)；(2)當(dāng)直線的一個(gè)方向向量為(x，y)(x≠0)時(shí)，直線的斜率k=yx三、兩條直線平行的判定1.兩條直線(不重合)平行的判定如下表：類型斜率存在斜率不存在前提條件α1=α2≠90°α1=α2=90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2兩直線的斜率都不存在?l1∥l2圖示?注意：若l1，l2重合，則仍有k1=k2或l1，l2的斜率均不存在.四、兩條直線垂直的判定1.兩條直線垂直的判定如下表：圖示?對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2=1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2五、傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用1.直線的傾斜角與斜率的關(guān)系(1)當(dāng)直線的傾斜角α滿足0°≤α<90°時(shí)，斜率非負(fù)，傾斜角越大，斜率越大；(2)當(dāng)直線的傾斜角α滿足90°<α<180°時(shí)，斜率為負(fù)，傾斜角越大，斜率越大；(3)k=tanα0≤α<π，α≠π2由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象，進(jìn)而得到傾斜角α的范圍；反過來，由傾斜角α的范圍截取函數(shù)圖象，進(jìn)而得到斜率k的范圍.六、直線斜率的應(yīng)用1.若點(diǎn)A，B，C都在某條斜率存在的直線上，則任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)都可以確定這條直線的斜率，即kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)；反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC)，則直線AB與AC(或AB與BC或AC與BC)的傾斜角相同，又過同一點(diǎn)A(或B或C)，所以點(diǎn)A，B，C在同一條直線上.注意：若點(diǎn)A，B，C中的任意兩點(diǎn)所在直線的傾斜角都為90°，且這兩條直線有公共點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線.2.形如y?bx?a的范圍(最值)問題，可以利用y?b七、兩條直線平行、垂直的判定1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法(1)利用直線的斜率判斷：(2)利用直線的方向向量判斷：分別求出兩直線的方向向量，通過判斷兩向量是否共線，得到兩直線是否平行的結(jié)論.2.判斷兩條直線是否垂直的方法(1)利用直線的斜率判斷：在兩條直線都有斜率的前提下，看它們的斜率之積是否等于1即可.特別地，當(dāng)一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，這兩條直線也垂直.(2)利用直線的方向向量判斷：設(shè)直線l1的方向向量為n，直線l2的方向向量為m，則l1⊥l2?n⊥m?n·m=0.八、兩條直線平行、垂直的應(yīng)用1.利用平行、垂直關(guān)系求待定參數(shù)的值或范圍(1)作出示意圖，確定問題中的平行、垂直關(guān)系，利用斜率、方向向量等條件列出相關(guān)方程(組)并求解.(2)充分分析圖形特征，有多種情況的，要分類依次求解.(3)解題時(shí)要注意考慮斜率不存在的情況.1.2直線的方程一、直線的方程形式與適用條件名稱點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式一般式方程形式y(tǒng)y0=k(xx0)y=kx+by?y1(x1≠x2，y1≠y2)xa+y(a≠0，b≠0)Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)已知條件直線上一定點(diǎn)(x0，y0)，斜率k斜率k，直線在y軸上的截距b直線上兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)直線在x軸上的非零截距a，直線在y軸上的非零截距b系數(shù)A，B，C適用范圍不垂直于x軸的直線不垂直于x軸的直線不垂直于x軸和y軸的直線不垂直于x軸和y軸，且不過原點(diǎn)的直線任何位置的直線二、直線方程的斜截式、一般式與兩直線的位置關(guān)系斜截式：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2一般式：l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時(shí)為0)；l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時(shí)為0)l1，l2相交k1≠k2A1B2A2B1≠0l1∥l2k1A1l1，l2重合k1A1l1⊥l2k1·k2=1A1A2+B1B2=0三、直線方程的選擇和求解1.求直線方程時(shí)對(duì)方程形式的選擇一般有以下幾類：①已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選取點(diǎn)斜式方程，求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的斜率.注意斜率不存在的情況.②已知直線的斜率，一般選用斜截式方程，求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的截距.③已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，一般選用兩點(diǎn)式方程或點(diǎn)斜式方程，若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則用截距式方程.2.過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法(1)確定已知直線斜率，再利用平行(垂直)關(guān)系得出所求直線的斜率，最后由直線的點(diǎn)斜式求方程.(2)利用待定系數(shù)法.已知直線Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)，則與其平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=0(A，B不同時(shí)為0，C1≠C)，與其垂直的直線方程可設(shè)為BxAy+C2=0(A，B不同時(shí)為0)，再由直線所過的點(diǎn)確定C1或C2即可.四、利用直線方程中系數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題1.根據(jù)斜截式方程中k，b的幾何意義確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的大致圖象.2.方程中含參的直線過定點(diǎn)類問題常用的三種方法：①將方程化為點(diǎn)斜式：yy0=k(xx0)，其中k為參數(shù)，從而求得直線恒過定點(diǎn)(x0，y0).②分離參數(shù)法：將方程中的參數(shù)分離，把含x，y的關(guān)系式作為參數(shù)的系數(shù)，即有參數(shù)的放在一起，沒參數(shù)的放在一起，因?yàn)榇耸阶訉?duì)任意的參數(shù)的值都成立，所以令參數(shù)的系數(shù)和不含參數(shù)的式子為零，解方程組可得x，y的值，從而得到直線所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).③賦值法：因?yàn)閰?shù)取任意實(shí)數(shù)時(shí)方程都成立，所以可給參數(shù)任意賦兩個(gè)值，得到關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組可得x，y的值，從而得到直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo).五、直線方程的應(yīng)用1.實(shí)際問題中，經(jīng)常會(huì)遇到過定點(diǎn)的直線，此時(shí)可以先設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程，再綜合其他知識(shí)解決問題，需要注意直線的斜率是否存在和直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是否存在、是不是0等特殊情況.2.在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、線段長度等問題時(shí)，通常要先設(shè)出直線方程，再借助其他知識(shí)(如函數(shù)、基本不等式等)解決問題.1.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.兩條直線的位置關(guān)系與相應(yīng)方程組的解(1)利用方程組解的個(gè)數(shù)可以判斷兩直線的位置關(guān)系.已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，其中A1，B1不同時(shí)為0，A2，B2不同時(shí)為0，則方程組A1一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行(2)兩條直線相交的判定方法：①聯(lián)立直線方程解方程組，若有一組解，則兩直線相交；②若兩直線斜率都存在且不相等，則兩直線相交；③若l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1與l2相交?A1B2A2B1≠0.2.求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，其關(guān)鍵是解方程組，解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法.注意：若一條直線的方程是斜截式或易化為斜截式，則常常應(yīng)用代入消元法解方程組；若直線的方程都是一般式，則常常應(yīng)用加減消元法解方程組.3.設(shè)直線l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同時(shí)為0)，則過l1，l2交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ為參數(shù))，然后根據(jù)條件求待定系數(shù).二、距離公式1.兩點(diǎn)間的距離：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|=(x①此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān).②原點(diǎn)O(0，0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|=x22.點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)到直線Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0)的距離d=|Ax3.兩條平行線間的距離：兩條平行直線l1：Ax+By+C1=0與l2：Ax+By+C2=0(A，B不同時(shí)為0，C1≠C2)間的距離d=|C三、利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題1.利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的步驟(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將已知元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.四、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用1.利用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，一般先分析確定相應(yīng)的點(diǎn)和直線，再利用公式計(jì)算求解.2.當(dāng)所給條件不能明顯確定所需的點(diǎn)和直線時(shí)，可考慮應(yīng)用待定系數(shù)法，有時(shí)要結(jié)合幾何圖形的直觀性，綜合分析解決問題.五、平行線間距離公式的應(yīng)用1.兩條平行線間距離的求法(1)直接利用公式求解，代入公式時(shí)注意兩直線方程中x，y的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等.(2)利用“轉(zhuǎn)化與化歸”思想將求兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.2.兩條平行直線間距離公式的應(yīng)用已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程，一般先設(shè)出直線方程，再利用兩平行直線間的距離公式求解.六、常見的對(duì)稱問題及應(yīng)用1.對(duì)稱點(diǎn)的求法(1)求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)若點(diǎn)M(x1，y1)關(guān)于點(diǎn)P(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)為N(x，y)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=2a?(2)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)關(guān)于直線l：Ax+By+C=0(A，B均不為0)的對(duì)稱點(diǎn)為N(x，y)，則可根據(jù)M，N連線垂直于直線l，以及線段MN的中點(diǎn)在直線l上列方程組y?y(3)幾個(gè)常用結(jié)論①點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y).②點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x).③點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax，y)，關(guān)于直線y=b的對(duì)稱點(diǎn)為(x，2by).2.對(duì)稱直線的求法(1)求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線時(shí)，可在已知直線上任取兩點(diǎn)，求其對(duì)稱點(diǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)問題，通過求出的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)確定對(duì)稱直線的方程；也可以利用關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩直線平行且已知點(diǎn)到兩直線的距離相等來求解.(2)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線求直線l1關(guān)于直線l對(duì)稱的直線l2時(shí)，若l1與l無交點(diǎn)，則可以利用l1，l2兩直線平行且它們與直線l的距離相等來求解；若l1與l有交點(diǎn)，則可以求直線l1上任一點(diǎn)(l1與l的交點(diǎn)除外)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，那么該對(duì)稱點(diǎn)以及l(fā)1與l的交點(diǎn)在直線l2上，由此可確定l2的方程.3.在直線l上求一點(diǎn)P，使P到兩定點(diǎn)的距離之和最小的求法(1)若兩定點(diǎn)A，B在直線l的異側(cè)，則當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與l的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和最小，最小值為|AB|.如圖①，在直線l上任取一點(diǎn)P'，則|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.(2)若兩定點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，交直線l于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和最小.圖①

圖②4.在直線l上求一點(diǎn)P，使P到兩定點(diǎn)的距離之差最大的求法類比3中方法，利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”解決，必要時(shí)進(jìn)行點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化.七、與距離有關(guān)的最值問題1.與距離有關(guān)的最值問題的解題策略(1)利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.(2)利用所求式子的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離或者兩平行線間的距離問題.一般地，形如(x?a)(3)利用距離公式將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，通過配方求最值.1.4圓的方程一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2+(yb)2=r2，其中圓心為(a，b)，半徑為r.2.圓的一般方程：當(dāng)D2+E24F>0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0為圓的一般方程，表示以?D2，?E說明：對(duì)于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，①當(dāng)D2+E24F<0時(shí)，它不表示任何圖形；②當(dāng)D2+E24F=0時(shí)，它表示一個(gè)點(diǎn)?D【注意】二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的圖形為圓時(shí)，需滿足A=B≠0，C=0，且DA2+E二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(xa)2+(yb)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)的位置關(guān)系及判斷方法：位置關(guān)系利用距離判斷利用方程判斷點(diǎn)M在圓上|CM|=r(x0a)2+(y0b)2=r2x02+y02+Dx點(diǎn)M在圓外|CM|>r(x0a)2+(y0b)2>r2x02+y02+Dx點(diǎn)M在圓內(nèi)|CM|<r(x0a)2+(y0b)2<r2x02+y02+Dx三、圓的方程的求解1.幾何法利用相關(guān)幾何性質(zhì)確定圓心和半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.相關(guān)幾何性質(zhì)如下：①圓心與切點(diǎn)的連線垂直于圓的切線；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③圓的半徑r，弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2；④圓的弦的垂直平分線過圓心；⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與l的交點(diǎn)即為圓心.2.待定系數(shù)法(1)根據(jù)題意設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)；(3)解方程(組)，求出參數(shù)的值；(4)將求得的參數(shù)的值代入所設(shè)的方程中，即可得到所求圓的方程.1.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.5.1直線與圓的位置關(guān)系一、直線與圓的位置關(guān)系1.設(shè)圓C：(xa)2+(yb)2=r2(r>0)，直線l：Ax+By+C=0(A，B不同時(shí)為0).圓心C(a，b)到直線l的距離d=|Aa+Bb+C|A2消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為Δ.位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)210幾何法d<rd=rd>r代數(shù)法Δ>0Δ=0Δ<0二、直線與圓的位置關(guān)系1.判斷直線和圓的位置關(guān)系主要有幾何法和代數(shù)法兩種方法.幾何法側(cè)重圖形的幾何性質(zhì)，較代數(shù)法步驟簡捷，所以一般選用幾何法.2.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面，一是點(diǎn)到直線的距離與圓半徑大小的關(guān)系；二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此，若給出圖形，可直接根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法求解，幾何法計(jì)算量小，代數(shù)法可一同求出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)已知條件做出恰當(dāng)?shù)倪x擇.三、與圓有關(guān)的切線問題1.過點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程的求法過定點(diǎn)P作已知圓的切線，當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí)，無切線；當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，有且只有一條切線；當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，有兩條切線.(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，求點(diǎn)P與圓心連線的斜率，若斜率存在且不為0，記其為k，則切線斜率為1k(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí)，設(shè)切線斜率為k，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑r解出k即可(若僅求出一個(gè)k值，則還有一條斜率不存在的切線).2.切線長的求法過圓外一點(diǎn)P可作圓的兩條切線，我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)之間的距離稱為切線長.切線長可由勾股定理來計(jì)算.如圖，從圓外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓C：(xa)2+(yb)2=r2(r>0)的切線，則切線長為(x3.過圓上一點(diǎn)的切線僅有一條，可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上，則過點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x+y0y=r2；(2)若點(diǎn)P(x0，y0)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，則過點(diǎn)P的圓的切線方程為(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=r2；(3)若點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)上，則過點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x+y0y+D·x0+x24.過圓外一點(diǎn)的切線有兩條，可熟記下列結(jié)論(1)若點(diǎn)P(x0，y0)為圓x2+y2=r2(r>0)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖1，則直線AB的方程為x0x+y0y=r2.(2)若點(diǎn)P(x0，y0)為圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，如圖2，則直線AB的方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2.(3)若點(diǎn)P(x0，y0)為圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F>0)外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為x0x+y0y+D·x0+x2四、直線與圓相交的弦長及圓的中點(diǎn)弦問題1.直線與圓相交的弦長的求法幾何法利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系r2=d2+l2代數(shù)法若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，則求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長弦長公式法設(shè)直線l：y=kx+b與圓的兩交點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l=|x1x2|==1+12.解決與中點(diǎn)弦有關(guān)問題的方法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在圓上得到兩個(gè)方程，通過作差求出弦所在直線的斜率，此法即為點(diǎn)差法；(3)利用圓本身的幾何性質(zhì)，即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問題.五、與圓有關(guān)的最值問題1.利用圓的方程解決最值問題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義，然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān)知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來分析并解決問題，常涉及的幾何量有直線的斜率、截距，兩點(diǎn)間的距離等.(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換，若點(diǎn)P(x，y)在圓(xa)2+(yb)2=r2(r>0)上，則設(shè)x=a+rcos(θ為參數(shù))，代入目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)求最值.六、解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知.(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求出未知.(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.1.5.2圓與圓的位置關(guān)系一、圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系的判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示????d與r1，r2的關(guān)系d>r1+r2d=r1+r2|r1r2|<d<r1+r2d=|r1r2|d<|r1r2|(2)代數(shù)法：設(shè)圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2聯(lián)立兩圓方程得x則方程組解的情況與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下：方程組的解2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)2個(gè)1個(gè)0個(gè)兩圓的位置關(guān)系相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含二、兩圓公切線條數(shù)和兩圓的位置關(guān)系1.兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下：位置關(guān)系兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含圖示????公切線條數(shù)43210三、兩圓的位置關(guān)系1.一般利用幾何法解決兩圓位置關(guān)系的相關(guān)問題，其關(guān)鍵是正確找出圓心和半徑，分析兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑的和(或差的絕對(duì)值)的大小關(guān)系.四、兩圓的公共弦問題1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E124F1>0)，圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2聯(lián)立，得x①②，得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③若兩圓的交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B的坐標(biāo)適合方程①②，也適合方程③，因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程.有以下結(jié)論：i.當(dāng)兩圓相交時(shí)，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程，即公共弦所在直線的方程.ii.當(dāng)兩圓外離時(shí)，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.iii.當(dāng)兩圓相切時(shí)，(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是兩圓的一條公切線方程.iv.若兩圓(不重合)是等圓，則(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程.2.兩圓公共弦的長度的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.(2)幾何法：①將兩圓的方程作差，求出公共弦所在直線的方程；②求出其中一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離；③利用勾股定理求出公共弦的長度.3.求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程的方法一般地，過圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D12+E1圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E2x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R，λ≠1)，或者x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2]=0，再由其他條件求出λ即得圓的方程.典型例題訓(xùn)練1．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考一模）已知圓與軸相切，則（

）A． B． C．2 D．32．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知圓，若雙曲線的一條漸近線與圓C相切，則（

）A． B． C． D．83．（2023秋·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）若圓截直線得弦長為，則（

）A． B． C． D．4．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）已知直線與圓相交于M，N的最小值為（

）A． B． C．4 D．65．（2023·北京房山·統(tǒng)考一模）在中，，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023秋·北京通州·高三統(tǒng)考期末）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）若圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C． D．8．（2023·北京延慶·統(tǒng)考一模）若直線與圓相切，則等于（

）A． B． C． D．9．（2023·北京海淀·一模）設(shè)為直線的動(dòng)點(diǎn)，為圓的一條切線，為切點(diǎn)，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．10．（2023秋·北京石景山·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（

）A． B． C． D．11．（2023秋·北京朝陽·高三統(tǒng)考期末）過直線上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓相切，則k的最大值為（

）A． B． C．1 D．12．（2023秋·北京東城·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)在直線上，則當(dāng)，變化時(shí)，直線的斜率的取值范圍是（

）A．B．C． D．13．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在圓上，過作圓切線，則的傾斜角為（

）A． B． C． D．14．（2022春·北京密云·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)直線的方向向量為，的法向量為，則“”是“”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）過直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對(duì)稱時(shí)，線段的長為（

）A．4 B． C． D．216．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）已知?jiǎng)又本€與圓交于，兩點(diǎn)，且．若與圓相交所得的弦長為，則的最大值與最小值之差為（

）A． B．1 C． D．217．（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考一模）若點(diǎn)是圓上的任一點(diǎn)，直線與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．18．（2023·北京順義·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A，B在圓上，且，P為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．19．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．3 C．5 D．720．（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為21．（2023秋·北京房山·高三統(tǒng)考期末）已知半徑為1的動(dòng)圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．422．（2023·北京海淀·統(tǒng)考一模）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則m的值為（

）A． B． C． D．23．（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）已知直線:被圓:所截得的弦長為整數(shù)，則滿足條件的直線有（

）A．6條 B．7條 C．8條 D．9條24．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．（2023·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)，直線，則過點(diǎn)P且與直線l相交的一條直線的方程是．26．（2023城·期末）設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為．27．（2023昌平統(tǒng)考期末）若直線與圓有公共點(diǎn)，則的最小值為.28．（2023·順義·高三統(tǒng)考期末）已知圓，點(diǎn)A、B在圓M上，且為的中點(diǎn)，則直線的方程為．29．（2023豐臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，若為2個(gè)元素組成的集合，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．30．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的取值范圍是.參考答案1【解】圓的圓心為，半徑為.因?yàn)閳A與軸相切，所以.故選：C2．【解】變形為，故圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，不妨取，由點(diǎn)到直線距離公式可得，解得，負(fù)值舍去.故選：C3．【解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，圓的半徑為，因?yàn)槿魣A截直線所得弦長為，所以，直線過圓心，則，解得.故選：C.4．【解】由圓的方程，可知圓心，半徑，直線過定點(diǎn)，因?yàn)?，則定點(diǎn)在圓內(nèi)，則點(diǎn)和圓心連線的長度為，當(dāng)圓心到直線距離最大時(shí)，弦長最小，此時(shí)，由圓的弦長公式可得，故選：C5．【解】由題意，可得，點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，取的中點(diǎn)，則，所以，故選：D6．【解】由于半徑為1的圓（設(shè)為圓）經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，到直線距離為，所以圓的圓心到直線距離的最大值為.故選：C7．【解】聯(lián)立得，故A、B坐標(biāo)為，即.故選：D8．【解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，則且圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線與圓相切，則圓心到直線距離等于半徑，即：，解得.故選：A9．【解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則的面積，要使的面積的最小，則最小，又，即最小即可，此時(shí)最小值為圓心到直線的距離，，即的面積的最小值為．故選：C．10．.【解】由，圓心坐標(biāo)為，由，所以直線的斜率為，因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，所以直線的垂直垂直平分線方程為：，故選：A11．【解】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)因?yàn)檫^直線上任意一點(diǎn)，總存在直線與圓相切所以點(diǎn)在圓外或圓上，即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：A.12．【解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，即，則表示圓心為，半徑為1的圓上的點(diǎn)，如圖：由圖可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率得到最值，設(shè)，由圓與直線相切，故有圓心到直線的距離為半徑1，即，解得：，由圖分析得：直線的斜率的取值范圍是.故選：B.13．【解】由題意得，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，此時(shí)直線方程為，與圓相交，不合題意，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)切線的方程為，則