高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性導(dǎo)學(xué)案2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式-1

2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握點(diǎn)到直線的距離公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用；2.經(jīng)歷點(diǎn)到直線距離公式的探索過(guò)程；體會(huì)推導(dǎo)過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；3.通過(guò)探索公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)；感受數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)潔美。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式；難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)．課前預(yù)習(xí)自主梳理要點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離要點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離求點(diǎn)到直線的距離時(shí),直線方程應(yīng)為一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式;直線方程不同時(shí)為0中或時(shí),公式也成立,但由于此時(shí)直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直),故也可采用數(shù)形結(jié)合法求點(diǎn)到直線的距離.要點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離已知平面的法向量為是平面內(nèi)的定點(diǎn),是平面外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作平面的垂線1,交平面于點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為.自主檢測(cè)1.判斷正誤，正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”．(1)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).()(2)直線外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()(3)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離．()(4)連接兩條平行直線上的點(diǎn)，即得兩平行線間的距離．()2.l1，l2是分別經(jīng)過(guò)A(1，1)，B(0，－1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程為（）A．x＋2y－3＝0 B．x－2y－3＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y－3＝03.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．4.若動(dòng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線的方程為（）A． B．C． D．5.（多選）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則的值為（）A． B． C． D．新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在公路附近有一家鄉(xiāng)村飯館,現(xiàn)在需要鋪設(shè)一條連接飯館和公路的道路.請(qǐng)同學(xué)們幫助設(shè)計(jì)一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長(zhǎng)度最短?設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中點(diǎn)到直線距離的問(wèn)題情境，引出在坐標(biāo)系下探究點(diǎn)到直線距離公式的問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系舊知，制定解決問(wèn)題的策略，最終探索出點(diǎn)到直線的距離公式，讓學(xué)生感悟運(yùn)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法。那么“應(yīng)該如何求點(diǎn)到直線的距離呢？”距離問(wèn)題是幾何學(xué)的基本問(wèn)題之一.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式，知道兩點(diǎn)間的距離可以由兩點(diǎn)坐標(biāo)表示.在平面直角坐標(biāo)系中，我們用坐標(biāo)描述點(diǎn)，用方程刻畫(huà)直線，當(dāng)點(diǎn)與直線的位置確定后，點(diǎn)到直線的距離就可以由點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的方程確定.如何確定呢?我們知道，在解析幾何中，點(diǎn)在直線上，則滿足直線方程.如果點(diǎn)不在直線上，還可以研究點(diǎn)到直線的距離.在就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——點(diǎn)到直線的距離公式.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問(wèn)題1：如圖，已知點(diǎn)，直線，如何求點(diǎn)到直線的距離?分析：要求點(diǎn)到直線的距離，即求點(diǎn)與垂足間的垂線段距離.追問(wèn)1：如何求出的距離？點(diǎn)到直線的距離，就是從點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，其中是垂足(圖2.35)．因此，求出垂足的坐標(biāo)，追問(wèn)2：如何求出點(diǎn)的坐標(biāo)？利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，就可以得到點(diǎn)到直線的距離．追問(wèn)3：如何求垂線的方程？設(shè)，由，追問(wèn)4：如何求垂線的斜率？以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為，即．解方程組①得直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即垂足的坐標(biāo)為．設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程是坐標(biāo)法的直接體現(xiàn)，思路自然，但運(yùn)算化簡(jiǎn)過(guò)程稍顯繁雜.師生一起做一方面可以給學(xué)生起到示范作用，另一方面也讓學(xué)生掌握這種運(yùn)算.運(yùn)算需要訓(xùn)練和積累.于是．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念．因此，點(diǎn)到直線的距離．可以驗(yàn)證，當(dāng)，或時(shí)，上述公式仍然成立．問(wèn)題5：公式有什么結(jié)構(gòu)特征？公式的分子：保留直線方程一般式的結(jié)構(gòu)，只是把的坐標(biāo)代入到了直線方程中，體現(xiàn)了公式與直線方程關(guān)系.特別地，如果在直線上，點(diǎn)到直線的距離為0，此時(shí)，式子中的分子為0，整個(gè)式子也等于0.運(yùn)算結(jié)果與實(shí)際相符.這么一來(lái)，這個(gè)公式可以表示平面內(nèi)任一點(diǎn)到任一直線的距離.注意，因?yàn)樗蟮氖蔷嚯x，所以要加絕對(duì)值保證結(jié)果為正.分母則是未知數(shù)系數(shù)的平方和再開(kāi)根.從向量法的推導(dǎo)過(guò)程中，我們也能發(fā)現(xiàn)實(shí)際是與已知直線垂直的方向向量的模.問(wèn)題6：上述方法中，我們根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義，將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，思路自然但運(yùn)算量較大．反思求解過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因了嗎?由此能否給出簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法?師生活動(dòng)：學(xué)生能想到引起復(fù)雜運(yùn)算的原因，一是求點(diǎn)Q的坐標(biāo)復(fù)雜，二是代入兩點(diǎn)間距離公式造成了運(yùn)算的復(fù)雜.在上述方法中，若設(shè)垂足的坐標(biāo)為，則．②對(duì)于②式，你能給出它的幾何意義嗎?結(jié)合方程組①，能否直接求出，進(jìn)而求出呢?請(qǐng)你試一試！上述運(yùn)算思路師生共同探討分析提出，運(yùn)算過(guò)程由學(xué)生自己完成.設(shè)計(jì)意圖：在直接推導(dǎo)完成后引導(dǎo)學(xué)生反思引起復(fù)雜運(yùn)算的原因，一方面培養(yǎng)他們反思習(xí)慣與反思能力，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并研究緣由；另一方面也為尋找簡(jiǎn)化方法作鋪墊.對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的反思與觀察需要教師作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，針對(duì)原有問(wèn)題需要回避什么，如何回避.這種設(shè)計(jì)意在培養(yǎng)學(xué)生思考分析問(wèn)題的基本路徑，提升運(yùn)算能力，體會(huì)整體代換思想.追問(wèn)5：針對(duì)上述原因，觀察反思求解過(guò)程，能否找到回避計(jì)算點(diǎn)Q的坐標(biāo)從而簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法？問(wèn)題7：向量是解決空間距離、角度問(wèn)題的有力工具，能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離呢?追問(wèn)6：點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)所成向量與向量有何關(guān)系呢？追問(wèn)7：的模投影向量的模？如圖，點(diǎn)到直線的距離，就是向量的模．追問(wèn)8：如何利用直線方程得到與直線的方向向量垂直的單位向量n呢?設(shè)是直線上的任意一點(diǎn)，是與直線的方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量，．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念思考如何利用直線的方程得到與的方向向量垂直的單位向量?設(shè)，是直線上的任意兩點(diǎn)，則是直線的方向向量．把，兩式相減，得．由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可知，向量與向量垂直．向量就是與直線的方向向量垂直的一個(gè)單位向量．我們?nèi)?，從而．因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以．所以．代人上式，得．因此．追問(wèn)9：請(qǐng)你比較一下上述推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離公式的坐標(biāo)法和向量法，它們各有什么特點(diǎn)？除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？思考比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過(guò)向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡(jiǎn)化了運(yùn)算．除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎?師生活動(dòng)：師生共同分析總結(jié)：坐標(biāo)法思路自然，運(yùn)算過(guò)程略顯繁瑣；向量法需要較強(qiáng)的整體觀，構(gòu)造性強(qiáng)，但可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.其他推導(dǎo)方法讓學(xué)生課后查閱資料獨(dú)立完成.設(shè)計(jì)意圖：利用向量投影，通過(guò)向量運(yùn)算求得點(diǎn)到直線的距離公式，簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.學(xué)生通過(guò)對(duì)比公式推導(dǎo)的不同方法可以體會(huì)向量法的優(yōu)點(diǎn)，提高運(yùn)用向量研究解決幾何中距離問(wèn)題的意識(shí)與能力.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例5求點(diǎn)到直線的距離．直線有什么特性?由此你能給出簡(jiǎn)便解法嗎?例6已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，求的面積．你還有其他解法嗎?環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升本節(jié)課學(xué)習(xí)的公式有哪些？點(diǎn)到直線的距離為：兩條平行直線與間的距離為2.回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)過(guò)程，你能對(duì)本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容與結(jié)論，不同的研究思路與研究方法作個(gè)梳理嗎？本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式，它是解析幾何中非常重要的一個(gè)公式.推導(dǎo)公式中完整介紹了兩種方法：第一種方法是坐標(biāo)法，將點(diǎn)到直線距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間的距離公式得到結(jié)論，這種方法思路自然但運(yùn)算復(fù)雜；第二種方法是向量法，運(yùn)用向量的投影和數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)，雖然運(yùn)算量不大，但是需要一定的整體觀和構(gòu)造技巧.能利用點(diǎn)到直線的距離公式，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意運(yùn)用公式前，將直線方程化為一般式.師生活動(dòng)：先由或生對(duì)研究對(duì)象與結(jié)論，以及研究思路作梳理，并由部分學(xué)生進(jìn)行匯報(bào)，其他同學(xué)對(duì)不同的究方法的特點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)充.設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生理解推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)不同思路、不同方法的差異，體會(huì)不同推導(dǎo)方法蘊(yùn)含的思想.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教科書(shū)習(xí)題第6,11,12,13,14題.備用練習(xí)1.與點(diǎn)距離為，且與點(diǎn)距離為的直線的條數(shù)為（）A． B． C． D．2.已知點(diǎn)，，若圓：上恰有兩點(diǎn)，到直線的距離為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3.如果點(diǎn)P到點(diǎn)，及直線的