新教材北師大版數(shù)學課后落實6-6-3球的表面積和體積

課后素養(yǎng)落實(五十三)球的表面積和體積(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為()A．eq\f(8π,3)B．eq\f(32π,3)C．8πD．eq\f(8\r(2)π,3)C[設球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(R2－1)))eq\s\up12(2)＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面積S＝4πR2＝8π.]2．設正方體的表面積為24cm2，一個球內(nèi)切于該正方體，A．eq\r(6)πcm3 B．eq\f(32,3)πcm3C．eq\f(8,3)πcm3 D．eq\f(4,3)πcm3D[由正方體的表面積為24cm2，得正方體的棱長為2cm，故這個球的直徑為2cm，故這個球的體積為eq\f(4,3)πcm3.]3．若一個圓錐的底面半徑和一個半球的半徑相等，體積也相等，則圓錐的高與球的半徑之比為()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶5A[設半球的半徑為r，圓錐的高為h，則eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(4,3)πr3×eq\f(1,2)，所以h＝2r，故選A.]4．等體積的球和正方體的表面積S球與S正方體的大小關系是()A．S正方體>S球 B．S正方體<S球C．S正方體＝S球 D．無法確定A[設正方體的棱長為a，球的半徑為R，由題意，得V＝eq\f(4,3)πR3＝a3，∴a＝eq\r(3,V)，R＝eq\r(3,\f(3V,4π))，∴S正方體＝6a2＝6eq\r(3,V2)＝eq\r(3,216V2)，S球＝4πR2＝eq\r(3,36πV2)<eq\r(3,216V2).]5．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，A．1cm B．2cmC．3cm D．4cmC[設球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得3×eq\f(4,3)πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.]二、填空題6．兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________．eq\f(364π,3)[設大，小兩球半徑分別為R，r，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R－r＝1，,4πR2－4πr2＝28π，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,r＝3.))所以體積和為eq\f(4,3)πR3＋eq\f(4,3)πr3＝eq\f(364π,3).]7．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長為________．eq\r(3)[設球的半徑為R，正方體棱長為a，則V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，得到R＝eq\f(3,2)，正方體體對角線的長為eq\r(3)a＝2R，則a＝eq\r(3)，所以正方體的棱長為eq\r(3).]8．已知正方體的棱長為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是________．8π[過正方體的對角面作截面如圖．故球的半徑r＝eq\r(2)，∴其表面積S＝4π×(eq\r(2))2＝8π.]三、解答題9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．[解]該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．如圖，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1，現(xiàn)分別沿EF，GH將矩形折疊使得AD與BC重合，求折疊后的幾何體的外接球的表面積．[解]由題意得，折疊后的幾何體為正三棱柱，且該三棱柱的底面邊長為1，ABC-A1B1C1.設上下底面的中心分別為O1，O2，則球心O為O1，O2的中點，連接OC，O2C則O2C＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)×1＝eq\f(\r(3),3)，OO2＝1，∴OC＝eq\r(O2C2＋O2O2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up8(2)＋1)＝eq\f(2\r(3),3)，即球半徑R＝eq\f(2\r(3),3)，∴該幾何體的外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\f(4,3)＝eq\f(16π,3).11．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為()A．eq\f(81π,4)B．16πC．9πD．eq\f(27π,4)A[如圖所示，設球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，∵正四棱錐P－ABCD中AB＝2，∴AO′＝eq\r(2).∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝(eq\r(2))2＋(4－R)2，解得R＝eq\f(9,4)，∴該球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(81π,4)，故選A.]12．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)B[如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心．球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝eq\f(1,2).∴底面圓半徑r＝eq\r(OA2－OM2)＝eq\f(\r(3),2)，故圓柱體積V＝πr2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(3π,4).]13．已知三棱錐A-BCD的所有棱長都為eq\r(2)，則該三棱錐的外接球的表面積為________．3π[如圖，構(gòu)造正方體ANDM-FBEC.因為三棱錐A-BCD的所有棱長都為eq\r(2)，所以正方體ANDM-FBECeq\f(\r(3),2).易知三棱錐A-BCD的外接球就是正方體ANDM-FBEC的外接球，所以三棱錐A-BCD的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2).所以三棱錐A-BCD的外接球的表面積為S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up10(2)＝3π.]14．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1Aeq\r(2)[連接BC1，與B1C交于點O，則O為平面BCC1B1的中心．由題意知，球心為側(cè)面BCC1B1的中心O，BC1為截面圓的直徑，所以∠BAC＝90°，則△ABC的外接圓圓心N位于BC的中點，同理，△A1B1C1的外接圓圓心M位于B1C1的中點，設正方形BCC1B1的邊長為x，在Rt△OMC1中，OM＝eq\f(x,2)，MC1＝eq\f(x,2)，OC1＝R＝1(R為球的半徑)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＝1，即x＝eq\r(2)，即AB＝AC＝1，所以側(cè)面ABB1A1的面積為eq\r(2)×1＝eq\r(2).]15．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度．[解]由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．根據(jù)切線性質(zhì)知，當球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為eq\r(3)r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而