數(shù)學人教A版選修2-2課堂探究1.2導數(shù)的計算（第1課時）

課堂探究探究一利用求導公式求函數(shù)的導數(shù)用公式求函數(shù)導數(shù)的方法(1)若所求函數(shù)符合導數(shù)公式，則直接利用公式求解．(2)對于不能直接利用公式的類型，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)的關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如y＝eq\f(1,x4)可以寫成y＝x－4，y＝eq\r(5,x3)可以寫成等，這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導公式求導，以免在求導過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤．【典型例題1】求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝－3；(2)y＝x4；(3)y＝eq\r(3,x2)；(4)y＝2x；(5)y＝log5x；(6)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)).思路分析：解答本題可先將解析式調(diào)整為基本初等函數(shù)的形式，再利用公式求導．解：(1)y′＝(－3)′＝0；(2)y′＝(x4)′＝4x3；(3)y′＝(eq\r(3,x2))′＝＝＝＝eq\f(2,3\r(3,x))；(4)y′＝(2x)′＝2xln2；(5)y′＝(log5x)′＝eq\f(1,xln5)；(6)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))))′＝(sinx)′＝cosx.探究二導數(shù)幾何意義的應(yīng)用1．曲線y＝f(x)在點P處的切線只有一條，但過點P求曲線y＝f(x)的切線時，點P不一定是切點，故應(yīng)設(shè)出切點坐標，并求切點坐標，有幾個切點就有幾條切線．2．解決此類問題應(yīng)充分利用切點滿足的三個關(guān)系：一是切點坐標滿足曲線方程；二是切點坐標滿足對應(yīng)切線的方程；三是切線的斜率是曲線在此切點處的導數(shù)值．【典型例題2】(1)曲線y＝cosx在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線方程為__________．(2)曲線y＝lnx在點P處的切線方程為x－ey＝0，則切點為__________．解析：(1)∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切線斜率k＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).∴切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，即切線方程為y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(\r(3)π,6)＋eq\f(1,2).(2)y′＝(lnx)′＝eq\f(1,x)，設(shè)切點為P(x0，y0)，則k＝eq\f(1,x0)＝eq\f(1,e)，∴x0＝e.∴y0＝lnx0＝lne＝1.∴切點為(e,1)．答案：(1)y＝－eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(\r(3)π,6)＋eq\f(1,2)(2)(e,1)探究三導數(shù)的綜合應(yīng)用導數(shù)的綜合應(yīng)用的解題技巧(1)導數(shù)的幾何意義為導數(shù)和解析幾何的溝通搭建了橋梁，很多綜合問題我們可以數(shù)形結(jié)合，巧妙利用導數(shù)的幾何意義，即利用切線的斜率建立相應(yīng)的未知參數(shù)的方程來解決，這往往是解決問題的關(guān)鍵所在．(2)導數(shù)作為重要的解題工具，常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、不等式等知識結(jié)合為綜合大題出現(xiàn)．遇到解決一些與距離、面積相關(guān)的最值、不等式恒成立等問題，可以結(jié)合導數(shù)的幾何意義進行分析．【典型例題3】求證：雙曲線xy＝1上任何一點處的切線與坐標軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù)．思路分析：本題考查求導公式與其他知識的綜合應(yīng)用．要證明三角形面積為定值，應(yīng)先求出直線在兩坐標軸上的截距，因此應(yīng)先寫出直線的方程，要寫直線方程，首先求出直線的斜率，于是可設(shè)出切點的坐標Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，問題便迎刃而解．解：∵xy＝1，得y＝eq\f(1,x)，∴y′＝－eq\f(1,x2).在雙曲線xy＝1上任取一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,x0)))，則過點P的切線的斜率k＝－eq\f(1,x02).切線方程為y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x02)(x－x0)，即y＝－eq\f(1,x02)x＋eq\f(2,x0).設(shè)該切線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，則A(2x0,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,x0))).故S△OAB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)|2x0|·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,x0)))＝2.∴雙曲線上任意一點處的切線與坐標軸構(gòu)成的三角形的面積為常數(shù)．探究四易錯辨析易錯點：不能正確地利用導數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解【典型例題4】已知曲線f(x)＝ex在P(x0，f(x0))處的切線為y＝kx，則k的值等于__________．錯解：∵f′(x)＝ex，切點為(x0，f(x0))，∴k＝.錯因分析：不能利用導數(shù)的幾何意