平面高一數(shù)學(xué)系列

人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第8章

立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面1平面的概念及畫法

生活中也有一些物體給我們以平面的直觀感覺(jué)，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.

幾何里所說(shuō)的“平面(plane)”就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸，平面是向四周無(wú)限延展的.無(wú)限延展不計(jì)大小絕對(duì)的平平面的特征不計(jì)厚薄黑板面課桌面平靜的水面1平面的概念及畫法我們也可以畫出平面的一部分來(lái)表示平面，即平行四邊形表示平面．當(dāng)平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫成豎向．ABCD我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面．如平面α，平面β等并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角內(nèi)；

也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示如圖1也可以表示為平面ABCD，平面AC或平面BD平面的畫法和表示1平面的概念及畫法相交平面示意圖立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見(jiàn)的畫成實(shí)線，看不見(jiàn)的畫成虛線.即眼見(jiàn)為實(shí)，眼不見(jiàn)為虛.【練習(xí)】判斷下列各題的說(shuō)法正確與否1.一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；

()2.平面上一條直線可以把這個(gè)平面分成兩部分；()3.10個(gè)平面疊在一起要比一個(gè)平面厚；

()4.菱形的面積可以等于4cm2；

()5.一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.()√××√√1平面的概念及畫法2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

通過(guò)元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，分別用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)音、圖形語(yǔ)言來(lái)描述，點(diǎn)A，直線l，m、平面α的位置關(guān)系．文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

2點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系3平面的基本性質(zhì)

在生活中，我們常常可以看到這樣的現(xiàn)象：自行車用一個(gè)腳架和兩個(gè)車輪著地就可以"站穩(wěn)"，三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī).由這些事實(shí)和類似經(jīng)驗(yàn)，可以得到下面的基本事實(shí)：基本事實(shí)1

過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．“不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面”不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C所確定的平面，可以記成“平面ABC”．ABCα應(yīng)用——確定平面；判定兩平面是否重合；證明點(diǎn)線共面

如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上.上述經(jīng)驗(yàn)和類似的事實(shí)可以歸納為以下基本事實(shí)：ABα基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)2也可以用符號(hào)表示為

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?

l?α．應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)3平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)3

如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．lP基本事實(shí)3說(shuō)明：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線．兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，可以讓我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的“平”和“無(wú)限延展”．基本事實(shí)3也可以用符號(hào)表示為

P∈α，且P∈β?α∩β=l，且P∈l．3平面的基本性質(zhì)應(yīng)用——判斷直線是否在平面內(nèi)；判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).3平面的基本性質(zhì)利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：推論一

經(jīng)過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．a(chǎn)【證明】如圖，設(shè)點(diǎn)A是直線a外一點(diǎn)，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C，則由基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．再由基本事實(shí)2，直線a也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過(guò)直線a和點(diǎn)A．即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平．3平面的基本性質(zhì)利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：推論二

經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．【證明】如圖，設(shè)點(diǎn)A、B分別是直線a、b上異于P的點(diǎn)，則由基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)A、B、P三點(diǎn)確定一個(gè)平面α．再由基本事實(shí)2，直線a和直線b也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過(guò)直線a和直線b．即兩條相交直線確定一個(gè)平面．利用基本事實(shí)1和2再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”，可得到下面三個(gè)推論：推論三

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．【證明】因?yàn)楫?dāng)兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)，且不相交時(shí)叫做平行線，所以兩條平行直線a和b必在某個(gè)平面α內(nèi)，就是說(shuō)過(guò)兩條平行直線有一個(gè)平面.如果過(guò)a和b還有一個(gè)平面β，那么在a上的任意一點(diǎn)A一定在β內(nèi)這樣過(guò)點(diǎn)A和直線b有兩個(gè)平面α和β，這和推論1矛盾，所以過(guò)平行直線a和b的平面只有一個(gè)．即兩平行線確定一個(gè)平面．3平面的基本性質(zhì)3平面的基本性質(zhì)例2、下列命題正確的是（）Ａ.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；Ｂ.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；Ｃ.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面；Ｄ.四邊形確定一個(gè)平面．A，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；B，點(diǎn)在直線上時(shí)不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；C，由右圖可知，C正確：（詳解見(jiàn)下頁(yè)）D，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤；

綜上知選C3平面的基本性質(zhì)例3、證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．

已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求證：直線l1、l2、l3在同一平面內(nèi)．證明：因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α.所以直線l1、l2、l